Уравнение координатного способа задания движения

iSopromat.ru

Рассмотрим три существующих способа задания движения материальной точки: координатный, векторный и естественный.

Чтобы иметь возможность определить параметры движения точки необходимо задать закон ее движения.

В зависимости от известных величин и поставленной задачи могут быть использованы следующие способы задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.

Координатный

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t.

Естественный

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t). Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Координатный способ задания движения точки.

В этом случае положение движущейся точки в пространстве определяют тремя ее декартовыми координатами относительно выбранной неподвижной прямоугольной системы осей (рис. 41). При движении точки эти координаты являются однозначными и непрерывными функциями времени, т.е. уравнения движения получают в виде:

, , (14)

При координатном способе задания движения точки, траектория в непосредственном виде не дается, но может быть получена из уравнений движения. Исключая из уравнений движения время, получаем два соотношения между координатами , которые определяют линию, описываемую в пространстве движущейся точкой, т.е. ее траекторию.

Если движущаяся точка остается за все время движения в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за координатную , получаем два уравнения движения , .

Уравнения движения точки в координатной форме представляют собой уравнение траектории в параметрической форме, где за независимый параметр принято время. Исключая его из уравнений движения, получаем уравнение траектории.

При движении точки в плоскости можно пользоваться не только декартовыми координатами. В этом случае можно ввести в рассмотрение полярные координаты (рис. 42).

Положение точки в этом случае будут определять полярный угол и вектор , т.е. уравнения движения точки в полярных координатах имеют вид: .

Векторный способ задания движения точки.

В этом случае положение точки в пространстве определяется только радиусом – вектором, проведенным из начала декартовой системы координат (рис. 43). Уравнение движения в этом случае имеет вид:

(15)

Векторный способ задания движения удобен для установления общих зависимостей, так как позволяет описать движение точки одним векторным уравнением вместо трех скалярных.

Источник

iSopromat.ru

Рассмотрим определение скорости и ускорения точек при координатном способе задания движения, а также, модуль и направление скоростей и ускорений и их проекции на оси координат:

Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени:

Модуль и направление скорости определяются выражениями

Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени

Модуль и направление ускорения определяются выражениями

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Координатный способ задания движения точки

Рассматривается движение точки М в неподвижной системе отсчёта OXYZ (рис. 2.1). Единичные векторы (орты) i , j , k показывают положительные направления отсчёта координат X, Y, Z. Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию, которую называют траекторией движения точки. По виду траектории все движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Положение точки М в неподвижной системе отсчёта (НСО) определяется тремя координатами X, Y, Z. При движении точки М её координаты изменяются с течением времени. Следовательно, коорди

Рис. 2.1

наты X, Y, Z движущейся точки М являются функциями времени t.

Систему трёх уравнений X = f₁(t); Y = f₂(t); Z = f₃(t) называют уравнениями движения точки в пространстве в декартовых координатах.

Рис. 2.2

Пример: X = 10·t 2 + 1; Y = 7·t 3 + t 2 + 1; Z = 10·sin(·t). Действительно, имея эти уравнения, можно для любого момента времени найти значения соответствующих координат X, Y, Z и по ним определить положение точки в пространстве в этот момент времени.

Движение точки М на плоскости (рис. 2.2) определяется двумя уравнениями: X = f₁(t); Y = f₂(t). Эти выражения называют уравнениями движения точки на плоскости в декартовой системе отсчёта.

Пример. Заданы уравнения движения точки в плоскости OXY. X = 3·t 2 + t 2 + t; Y = 7·cos(·t).

Уравнения движения, определяющие координаты точки в любой момент времени, рассматривают как параметрические уравнения траектории точки. При исключении параметра t из уравнений движения получают уравнение траектории точки в координатной форме (Y = f(t)).

Рис. 2.3

Пример. Заданы уравнения: X = 4·t (см); Y = 16·t 2 – 1 (см) движения точки в плоскости OXY. Определить вид траектории движения точки, построить её график и найти положение точки на траектории движения в момент времени t₁ = 0,5 с.

Решение. Из уравнения X = 4·t находим t = X/4. Значение времени t подставляем в уравнение Y = 16·t 2 – 1. Получаем

Y = 16·(X/4) 2 – 1 = X 2 – 1.

Выражение Y = X 2 – 1 есть уравнение параболы (y = a · x 2 + b · x + c) с вершиной в точке с координатами (0, – 1). В момент времени t₁ = 0,5 с определяем координаты:

Y(t₁) = 16·(t₁) 2 – 1 = 16·(0,5) 2 – 1 = 3 см >0.

Показываем положение точки на траектории её движения (рис. 2.3).

Пример. Дано: X = 3·sin(·t), см (1); Y = 3·cos(·t), см (2); t₁ = 0,25 c. Определить вид траектории движения точки и её положение на траектории движения в момент времени t₁.

Решение. Уравнения движения точки представим в следующем виде: (X) 2 = (3·sin(·t)) 2 (1 I ); (Y) 2 = (3·cos(·t)) 2 (2 I ). Для решения используем тригонометрическую формулу sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1.

Складывая левые и правые части уравнений (1 I ) и (2 I ), получим (X) 2 + (Y) 2 = 3 2 ·(sin 2 (·t) + cos 2 (·t)) = 3 2 ·1 или (X) 2 + (Y) 2 = 3 2 . Известно, что уравнение (X) 2 + (Y) 2 = R 2 есть уравнение окружности радиусом R с центром в начале координат. Таким образом, точка

Рис. 2.4

движется по окружности радиусом R = 3 см (рис. 2.4).

Определяем положение точки на траектории движения в момент времени t₁.

Показываем точку на траектории её движения (см. рис. 2.4).

ВНИМАНИЕ! Если точка не попадает на траекторию её движения, то:

1) неверно определен вид траектории движения;

2) неверно рассчитаны значения координат X(t₁), Y(t₁).

Прямолинейное движение точки М определяется одним уравнением движения X = f(t).

Пример. Дано: X = 10·t 2 + sin(2··t) + 3, см (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Определить положение точки на траектории движения в начальный момент времени t₀ = 0 и в момент времени t₁ = 1 c.

Решение.

X(t₀) = 10·(t₀) 2 + sin(2··t₀) + 3 = 10·0 2 + sin(2··0) + 3 = 3 см > 0.

X(t₁) = 10·(t₁) 2 + sin(2··t₁) + 3 = 10·1 2 + sin(2··1) + 3 = 13 см> 0.

Значения координат X(t₀), X(t₁) наносим на рис. 2.5.

Скорость точки

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта.

Скорость точки всегда направлена по касательной к траектории её движения.

Рис. 2.6

Пусть заданы уравнения движения точки в пространстве: X = f₁(t); Y = f₂(t); Z = f₃(t) (рис. 2.6).

Разложим вектор V скорости точки на составляющие по координатным осям: V = V_OX + V_OY + V_OZ. Векторы V_OX, V_OY, V_OZ называют компонентами скорости по координатным осям. Вектор Vскорости можно выразить векторным равенством:

V = i· + j· + k· ,

где , , – проекции скорости V на соответствующие координатные оси.

В инженерных расчётах рекомендуется использовать следующие обозначения проекций скорости V на координатные оси: ; ; .

Сравнивая последние формулы, запишем равенство

V = V_OX + V_OY + V_OZ = i· + j· + k· .

Из этого равенства имеем:

V_OX = i· ; V_OY = j· ; V_OZ = k· .

Проекции скорости на координатные оси системы отсчёта равны первым производным по времени от соответствующих уравнений движения:

= dX/dt; = dY/dt; = dZ/dt,

где точка (·) означает символ однократного дифференцирования функции по времени.

Зная проекции скорости на координатные оси, находят модуль скорости по формуле

.

Ориентацию вектора скорости V в системе отсчёта OXYZ определяют по направляющим косинусам:

cos(V, i) = / V; cos(V, j) = / V; cos(V, k) = / V.

Рис. 2.7

Движение точки в плоскости OXY (рис. 2.7) задаётся двумя уравнениями движения: X = f₁(t); Y = f₂(t).

Модуль и направление скорости точки в этом случае определяются по формулам:

;

cos(V, i) = / V; cos(V, j) = / V.

Рис. 2.8

Прямолинейное движение точки (рис. 2.8) задаётся одним уравнением X = f(t).

В этом случае модуль скорости точки равен абсолютной величине проекции скорости на координатную ось ОХ.

V = | | = |dX/dt|.

При > 0 точка движется в сторону увеличения координаты Х, при 2 = ;

= d₂Y/dt 2 = ;

= d₂Z/dt 2 = .

Модуль ускорения находится по следующим формулам:

a= (точка движется в пространстве);

a = (точка движется в плоскости);

a =| |(точка движется по прямой линии).

Направляющие косинусы находятся по следующим формулам:

cos(a, i) = / a; cos(a, j) = / a; cos(a, k) = / a.

Зная направляющие косинусы, вектор ускорения а ориентируют в пространстве.

Рассматривается движение точки по прямой линии согласно заданному уравнению движения X = f(t) (рис. 2.10).

Рис. 2.10

При таком движении справедливо равенство а = а_ОХ =i· . На рис. 2.10 дополнительно показано ускорение а₀–начальное ускорение точки при t₀ = 0.

Примечания:

1. Если проекции ускорения на координатные оси положительны ( > 0, > 0, > 0), то компоненты ускорения по координатным осям (а_ОХ,a_OY, a_OZ) направлены в те же стороны, что и единичные векторы (I , j , k) системы отсчёта OXYZ.

2. Если проекции ускорения на координатные оси отрицательны ( 0 и >0 точка движется в сторону увеличения координаты Х ускоренно. Если 0 и 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х замедленно.

Если проекция ускорения на ось ОХ постоянна ( = const), то такое движение называют равнопеременным. При условии, что = const ≠ 0, уравнение равнопеременного движения точки записывают в виде

X = X₀ + ₀·t + ( ·t 2 )/2,

где X₀ – значение координаты точки в начальный момент времени; ₀ — проекция начальной скорости V₀ на координатную ось ОХ в начальный момент времени.

Если = const> 0, то такое движение называют равноускоренным.

Если = const 2 /2) + C₁ = t 2 + C₁, где С₁ – постоянная интегрирования, которую находят по начальным условиям движения. Пусть при t₀ = 0 проекция начальной скорости V₀ на ось ОХ не равна нулю: ₀≠ 0. Тогда при t₀ имеем ₀ = (t₀) 2 + C₁. Откуда С₁ = ₀. Внося значение постоянной С₁ в выражение, полученное при первом интегрировании, имеем = t 2 + ₀. Так как = dX/dt, то после разделения переменных имеем следующее дифференциальное уравнение движения dX = t 2 ·dt + ₀·dt. Интегрируя это уравнение, получим X = t 3 /3 + ₀·t+ C₂, где С₂ – постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям движения. Пусть при t₀ = 0 координата Х₀ ≠ 0. Тогда X₀ = (t₀) 3 /3 + ₀·t₀+ C₂ или С₂ = Х₀. Окончательно имеем уравнение прямолинейного движения

X = (t) 3 /3 + ₀·t + X_o.

Таким образом, если заданы уравнения движения точки в координатной форме, то можно в любой момент времени определить следующие кинематические характеристики:

1) траекторию движения;

2) положение точки на траектории движения;

3) проекции скорости на координатные оси, а, следовательно, и модуль скорости;

4) ориентацию вектора скорости в системе отсчёта по её направляющим косинусам;

5) проекции ускорения на координатные оси и модуль ускорения;

6) положение вектора ускорения в системе отсчёта по его направляющим косинусам.

Естественный способ задания

Движения точки

Рис. 2.11

Естественный способ задания движения точки применяется в случае, когда траектория движения точки заранее известна. Траекторией могут быть как прямая, так и кривая линии (рис. 2.11).

На известной траектории движения точки выбирается неподвижная точка О, которую называют началом отсчёта дуговой координаты. Положение движущейся точки М на траектории определяется дуговой координатой, т. е. расстоянием ОМ = S, отложенным по траектории от начала отсчета О.

Прямую линию на рис. 2.11 можно считать дугой окружности, радиус которой равен бесконечности.

Расстояния, отложенные в одну сторону от точки О, условно считают положительным, а в противоположную сторону – отрицательным, т. е. устанавливается направление отсчета дуговой координаты. При движении точки М расстояние S от этой точки до неподвижной точки О изменяется с течением времени, т. е. дуговая координата S является функцией времени.

Эту зависимость называют уравнением движения точки в естественных координатах.

Если вид функции S = f(t) известен, то для каждого значения времени t_i можно найти значение дуговой координаты S_i, отложить соответствующее расстояние по траектории от начала отсчета О и указать, где находится движущаяся точка М в этот момент времени.

Таким образом, движение точки определено, если известны следующие элементы: вид траектории движения точки (прямая линия, окружность, эллипс и т. д.); начало отсчёта (точка О) дуговой координаты; положительное и отрицательное (+, –) направления отсчёта дуговой координаты; уравнение движения S = f ( t ).

Дуговую координату точки не следует смешивать с длиной пути, пройденного точкой за время t.

Пример. Пусть уравнение движения точки имеет вид S = 10·sin(·t) см. При начальном времени t₀ = 0 начальная координата S₀ = 0. При t₁ = 0,5 cS(t₁) = 10 см; при t₂ = 1 cS(t₂) = 0; при t₃ = 1,5 cS(t₃) = – 10 см; при t₄ = 2 cS(t₄) = 0.

Таким образом, за время t₄ = 2 c точка М прошла путь, равный 40 см, а её дуговая координата S₄ в этот момент времени равна нулю.

Дата добавления: 2020-04-25 ; просмотров: 146 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник