Уравнение бернулли способы его решения

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка . Оно записывается в виде \[y’ + a\left( x \right)y = b\left( x \right),\] где \(a\left( x \right)\) и \(b\left( x \right)\) − непрерывные функции.

Если \(m = 0,\) то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением . В случае когда \(m = 1,\) уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными .

В общем случае, когда \(m \ne 0,1,\) уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки \[z = >.\] Новое дифференциальное уравнение для функции \(z\left( x \right)\) имеет вид \[z’ + \left( <1 - m>\right)a\left( x \right)z = \left( <1 - m>\right)b\left( x \right)\] и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка .

Нетрудно заметить, что данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Чтобы решить его, выполним подстановку \[z = > = \frac<1>.\] После дифференцирования получаем: \[z’ = <\left( <\frac<1>> \right)^\prime > = — \frac<><<>>.\] Разделим исходное уравнение на \(\) и заменим \(y\) на \(z:\) \[\frac<><<>> + \frac<1><> = 1.\] При делении на \(\) мы потеряли решение \(y = 0.\) (Это можно проверить прямой подстановкой.)

Дифференциальное уравнение для новой переменной \(z\) имеет вид: \[ — z’ + \frac = 1\;\;\text<или>\;\;z’ — \frac = — 1.\] Мы получили линейное уравнение для функции \(z\left( x \right),\) которое можно решить, например, с помощью интегрирующего множителя: \[ > \right)dx> >> > = <>> >> > = <> > = <<<\left| x \right|>>>> > = <\frac<1><<\left| x \right|>>.> \] Легко проверить, что таким интегрирующим множителем будет являться функция \(\large\frac<1>\normalsize.\) В самом деле: \[ — \frac \cdot \frac<1> > = — \frac<<>> > = <<\left( > \right)^\prime >.> \] Видно, что левая часть уравнения после умножения на \(\large\frac<1>\normalsize\) будет являться производной от произведения \(z\left( x \right)u\left( x \right).\)

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения для функции \(z\left( x \right)\) определяется формулой \[ + C>><> > = <\frac<<\int <\frac<1> \cdot \left( < - 1>\right)dx> + C>><<\frac<1>>> > = <\frac<< - \ln \left| x \right| + C>><<\frac<1>>> > = \right).> \] Принимая во внимание, что \(y = <\large\frac<1>\normalsize>,\) записываем ответ в форме: \[y = \frac<1> <\right)>>,\] или в неявном виде: \[yx\left( \right) = 1.\] Следовательно, окончательный ответ имеет вид: \[yx\left( \right) = 1,\;\;y = 0.\]

Сначала мы проверим, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли: \[ <4xyy' = + ,>\;\; <\Rightarrow \frac<<4xyy'>><<4xy>> — \frac<<>><<4xy>> = \frac<<>><<4xy>>,>\;\; <\Rightarrow y' - \frac<<4x>> = \frac<<4y>>.> \] Как видно, мы имеем уравнение Бернулли с параметром \(m = -1.\) Следовательно, можно сделать замену \(z = > = .\) Производная будет равна: \(z’ = 2yy’.\) Далее, умножим обе части дифференциального уравнения на \(2y:\) \[ <2yy' - \frac<<2>><<4x>> = \frac<<2xy>><<4y>>,>\;\; <\Rightarrow 2yy' - \frac<<>><<2x>> = \frac<2>.> \] Заменяя \(y\) на \(z,\) преобразуем уравнение Бернулли в линейное дифференциальное уравнение: \[z’ — \frac<<2x>> = \frac<2>.\] Вычислим интегрирующий множитель: \[ <<2x>>> \right)dx> >> > = <<2>\int <\frac<>> >> > = <<2>\ln \left| x \right|>> > = <<<<<\left| x \right|>^2>>>>> > = <\frac<1><<<<\left| x \right|>^2>>> > = <\frac<1><<>>.> \] Найдем общее решение линейного уравнения: \[ + C>><> > = <\frac<<\int <\frac<1><<>> \cdot \frac<2>dx> + C>><<\frac<1><<>>>> > = <\frac<<\frac<1><2>\int <\frac<>> + C>><<\frac<1><<>>>> > = <\left[ <\frac<1><2>\ln \left| x \right| + C> \right] > = <\ln \sqrt x + C.> \] Учитывая, что \(z = ,\) решение можно записать в виде: \[ \ln \sqrt x + C> > = < \pm x\sqrt <\ln \sqrt x + C>.> \] Теперь определим константу \(C,\) соответствующую начальному условию \(y\left( 1 \right) = 2.\)
Видно, что только решение с положительным знаком удовлетворяет данному условию. Следовательно, \[ > = <\sqrt <\ln 1 + C>> = <\sqrt C = 2.>\] В результате получаем: \(C = 4.\)

Итак, решение задачи Коши выражается функцией \[y = x\sqrt <\ln \sqrt x + 4>.\]

Источник

Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений

Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.

В случае, если m = 0 , уравнение является линейным, а в случае, если m = 1 , уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.

Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
Методом Бернулли.

Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.

Уравнение делим на :

Обозначим . Тогда , откуда . Переходя к новой переменной, получим уравнение

которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.

Решение методом Бернулли.

Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v . Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение

Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:

Приравняв выражение в скобках нулю, то есть

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v .

Функцию u следует находить из дифференциального уравнения

которое также является уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.

1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³ :

Введём обозначение , тогда , и приходим к уравнению

Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v , z‘ = u‘v + uv‘ :

Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:

Полученную функцию v подставим в уравнение:

2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v . Подставив его и y‘ = u‘v + uv‘ в данное дифференциальное уравнение, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v :

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u :

И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Решение. Это уравнение, в котором m = −1 . Применив подстановку y = u ⋅ v , получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v :

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u :

Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v . Получаем

Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:

и проинтегрируем обе части уравнения:

Далее используем подстановку

Таким образом, получаем функцию u :

и решение данного дифференциального уравнения:

Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

при условии .

Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую — нелинейные:

Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v , y‘ = u‘v + uv‘ :

Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:

Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:

Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:

Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u :

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:

И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом — переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³ , получим