Универсальный способ вычисления определителя любого порядка

Как вычислить определитель?

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два»:

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Определитель матрицы.

Определитель матрицы (детерминант матрицы) — это квадратная таблица чисел либо математических символов (Δd).

Определение. Определителем матрицы n×n является число:

где (α₁, α₂. α_n) — перестановка чисел от 1 до n, N (α₁,α₂. α_n) — число инверсий в перестановке, суммирование происходит по всем вероятным перестановкам порядка n.

Определитель матрицы A в основном обозначают как de t(A), |A|, либо ?(A).

Свойства определителя матрицы.

Свойства определителя матрицы — параметры, при помощи которых находится решение всех видов алгебраических матриц.

1. Определитель единичной матрицы равняется соответственно единице: det (E) = 1.
2. Определитель матрицы, где две строки (столбца) равны между собой, будет равен нулю.
3. Определитель матрицы, где две строки (столбца) пропорциональны друг другу также будет равен нулю.
4. Определитель матрицы, который содержит строку (столбец) с одними нулями, равен нулю.
5. Определитель матрицы с двумя или более строками (столбцами) линейно зависимыми между собой тоже равен только нулю.
6. Если произвести транспонирование, значение определителя матрицы от этого не изменится: det (A) = det (A T )
7. Определитель обратной матрицы: det (A -1 ) = det (A) -1
8. Определитель матрицы будет неизменен даже если к любой его строке (столбцу) дописать другую строку (столбец), перед этим умноженную на любое число.
9. Определитель матрицы не будет изменен, если к любой строке (столбцу) дописать линейную комбинацию других строк (столбцов).
10. При перемене местами двух строк (столбцов) матрицы определитель матрицы получает противоположный знак.
11. Общий множитель в строке (столбце) легко выносится за знак определителя:
12. Умножив квадратную матрицуn-того порядка на любое число не равное нулю, то определитель итоговой матрицы будет равен произведению определителя изначально заданной матрицы на это число в степени n: B = k · A => det (B) = k n · det (A), где A матрица n×n, k — число.
13. При условии, что каждый элемент любой строки определителя равняется сумме 2х слагаемых, исходный определитель равняется сумме 2х определителей, где вместо этой строки подставлены первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с начальным определителем:
14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы соответствует произведению его диагональных элементов.
15. Определитель произведения матриц будет соответствовать произведению определителей этих матриц: det (A·B) = det (A) · det (B).

Найти определитель матрицы.

Чтобы найти определитель матрицы необходимо знать основные свойства матриц и последовательность действий при решении матрицы.

1. Для матриц порядка n=2 определитель находят при помощи формулы: Δ=a₁₁*a₂₂—a₁₂*a₂₁
2. Для матриц порядка n=3 определитель находят через алгебраические дополнения либо при помощи метода Саррюса.
3. Матрица с размерностью >3 раскладывается на алгебраические дополнения, для которых находятся свои определители (миноры). К примеру, определитель матрицы 4 порядка вычисляется через разложение по строкам либо столбцам.

Для нахождения определителя матрицы, который содержит в матрице функции, используются стандартные методы. К примеру, найти определитель матрицы третьего порядка:

Воспользуемся разложением по первой строке:

Δ = sin(x) × [cos(x) × 2 – 0 × tg(x)] + 1×[1 × 0-2 × cos(x)] = 2sin(x) cos(x) — 2cos(x) = sin(2x) — 2cos(x)

Вычислить определитель матрицы.

Вычислить определитель матрицы можно несколькими методами, которые будут перечислены ниже.

Самым популярным способом вычисления определителя матрицы является метод подбора алгебраических дополнений. Есть более простая версия этого метода — вычисление определителя при помощи правила Саррюса. Эти методы отличны при вычислении определителя простой небольшой матрицы, а если нужно посчитать матрицу большой размерности, тогда могут применяться такие методы вычисления определителя матрицы:

• вычисление определителя методом понижения порядка,
• вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду),
• вычисление определителя методом декомпозиции.

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД (диапазон ячеек).

Источник