Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 7593 ; Нарушение авторских прав
Определение2.1:Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Способы задания дискретной случайной величины
1) Для задания дискретной случайной величины достаточно задать семейство вероятностей pi = P(X = xi), где 
или 
.
2) Табличный способ задания дискретной случайной величины: первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания, а вторая – их вероятности:
| X | x1 | x2 | x3 | ….. | xn |
| P | p1 | p2 | p3 | ….. | pn |
Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице:
(условие нормировки).
Замечание1: В одном испытании случайная величина X принимает одно и только одно возможное значение, следовательно, события (X = xi), где образуют полную группу.
Замечание2: Если множество возможных значений бесконечно (счетно), то ряд 
сходится и его сумма равна единице.
3) Многоугольник распределения или графический способ задания дискретной случайной величины.
В прямоугольной системе координат строят точки ( xi , pi ), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
4) Задать закон распределения дискретной случайной величины можно в виде функции распределения вероятностей (интегральной функции распределения) F(x).
Пример.В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 10000 рублей и десять выигрышей по 1000 рублей. Найти ряд распределения, функцию распределения случайной величины X – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Построить многоугольник распределения.
Решение: Случайная величина X принимает значения 0,1000,10000с вероятностями:
, 
, 
.Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:
| X | |||
| P | 0,89 | 0,1 | 0,01 |
Условие нормировки выполняется: 
.
Источник
Случайные величины и способы их описания
1. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Среди задач, решаемых ТВ, очень много таких, в которых исход опыта выражается некоторым числом.
Случайной величиной (СВ) называется величина, которая при каждом осуществлении опыта принимает то или иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно.
Обозначение: X, Y, Z,… — случайные величины. Возможные значения случайных величин: x, y, z,… Каждой случайной величине соответствует некоторое множество возможных значений.
Примеры: 1) Опыт — бросание игрального кубика. СВ — число выпавших очков на верхней грани. Возможные значения: 1,2,3,4,5,6.
2) Покупается n лотерейных билетов. СВ – число выигрышей. Возможные значения: 0,1,2,…,n
3) Электрическая лампочка испытывается на длительность горения. СВ – длительность горения лампочки. Возможные значения: любое неотрицательное число.
4) Некто приходит на станцию метро и ожидает поезда. СВ – время ожидания ближайшего поезда. Возможные значения: [0;2мин].
Из примеров видно, что СВ различаются по множеству возможных значений.
Случайная величина называется дискретной(ДСВ), если множество её возможных значений счетно (в частности конечно), то есть может быть занумеровано. Примеры 1, 2 – ДСВ.
Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если её возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (или несколько промежутков) числовой оси. Примеры 3, 4 – НСВ. Различные СВ могут иметь одно и то же множество возможных значений. Поэтому для полного описания СВ необходимо знать, как часто СВ принимает то или иное свое значение.
2. Законы распределения СВ.
Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения ДСВ.
Для ДСВ закон распределения можно задать таблично, аналитически и графически.
1) Табличный способ – это таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения СВ и соответствующие вероятности принятия этих значений.
| ||||||||||||
 ) |
Эта таблица называется ряд распределения ДСВ.
(так как события X=
; X=
; …; X=
образуют полную группу)
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно (но счетно), то ряд 
сходится, и его сумма = 1.
Опыт — бросание игрального кубика. СВ — число выпавших очков на верхней грани. Ряд распределения:
| хi | ||||||
 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
2) Аналитический способ – задаётся формула, по которой находится вероятность каждого возможного значения случайной величины.
Например, если опыт проводится по схеме Бернулли, то вероятности возможных значений могут быть найдены по формуле: 
3) Графический способ.
Закон распределения можно изобразить графически, если по оси абсцисс откладывать значения СВ, а по оси ординат – их вероятности. Соединив точки (
отрезками прямых, получим ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей.
Закон распределения НСВ.
Под законом распределения НСВ понимают задание функции f(x), называемой плотностью распределения вероятности, такой, что вероятность попадания СВ в промежуток [a;b] равна P(a≤X≤b)=
.
Свойства плотности вероятности:
1) f(x)≥0 (следует из аксиом вероятности);
2) 
(вероятность достоверного события);
3) P(X=a)= 
(для НСВ говорят о вероятности попасть в промежуток, вероятность попасть в точку принимают = 0) =>
P(a ≤ X ≤ b) = P(a 
4) F(x) – неубывающая функция;
F(x)=
x |
.
4. Операции над СВ.
Введём математические операции над ДСВ. Для НСВ вводится аналогично.
Пусть X — ДСВ, принимающая возможные значения 
с вероятностями , то есть =
. Пусть Y — ДСВ, принимающая возможные значения 
с вероятностями 
, то есть 
P(Y=
.
Произведением ДСВ X и постоянной величины С, называется ДСВ С∙Х, которая принимает возможные значения C∙
с теми же вероятностями 
Суммой двух ДСВ X и Y называется ДСВ X+Y, которая принимает возможные значения 
с вероятностями 
).
Произведением двух ДСВ X и Y называется ДСВ X∙Y, которая принимает возможные значения 
с вероятностями 
.
Две СВ называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина.
Для независимых СВ X и Y выполняется:
Пусть дана ДСВ Х и функция φ(x), определенная на всей вещественной оси, тогда функцией от ДСВ Х называется ДСВ Y= φ(Х), которая принимает возможные значения 
с вероятностями 
(где сумма по всем k таким, что значения φ(
совпадают со значением 
).
Пример: пусть даны дискретные случайные величины
| 0,4 | 0,6 |
| -1 | |
| 0,3 | 0,7 |
Тогда ДСВ 5X будет иметь ряд распределения:
Источник
