Укажите способы задания множеств приведите примеры

Понятие множества. Способы задания множеств

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тема 1.1. Понятие множества и элемента множества. Способы задания множества

Множество — это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Множества принято обозначать: A, B, C, …,Z. Элементы множества принято обозначать: a, b, c, …,z. — пустое множество «Объект a принадлежит множеству А» «Объект a НЕ принадлежит множеству А»

МНОЖЕСТВА Конечные Бесконечные N, Z, Q, R

Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он тому множеству или не принадлежит Способы задания множества Перечислением элементов Характеристическое свойство множества – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит Пример: Пример:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 807 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 284 человека из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 603 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-076198

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В проекте КоАП отказались от штрафов для школ

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

В МГУ разрабатывают школьные учебники с дополненной реальностью

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Способы задания множеств.

ПЛАН

1. Понятие множества.

2. Способы задания множеств.

3. Отношения между множествами.

4. Операции над множествами.

5. Свойства операций над множествами.

6. Понятие «система счисления».

7. Непозиционная система счисления.

8. Позиционная система счисления.

9. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Понятие множества.

Для сокращенной записи будем использовать следующие символы:

• a Î A — а является элементом множества А;

• a Ï A — а не является элементом множества А;

• — пустое множество;

• <a, d, с> — множество, состоящее из трех элементов a, d и с;

• <х|Р(х)> — множество, состоящее из таких элементов х, для которых истинно утверждение Р(х);

• A È B — объединение множеств A и В;

• A Ç B — пересечение множеств А и В;

• A Ì B — А является подмножеством В;

• — дополнение множества А до универсального множества;

• U — универсальное множество;

• a R b — между a и b существует бинарное отношение R.

Множество является самым широким понятием в математике и поэтому принимается без определения. Множество считается заданным, если относительно каждого объекта можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов (элементов множества), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли — всё это примеры множеств.

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.

Пустое множество ( ) не содержит ни одного элемента, например, множество крылатых слонов, множество корней уравнения sin x = 2 и т.д.

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

Счётное множество — множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным (множество книг в библиотеке) или бесконечным (множество целых чисел, его элементы можно пронумеровать следующим образом:

элементы множества: . -5, — 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .

номера элементов: . 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 . ).

Несчётное множество — множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным.

Выпуклое множество — множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок АВ. Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством.

Способы задания множеств.

Если объект a является элементом множества A, то говорят, что a принадлежит A, и записывают a A . Запись a Ï A означает, что a не принадлежит A.

Множество может быть задано следующим образом:

• перечислением всех его элементов по их названиям (так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);

Множество можно задать перечислением всех его элементов в любом порядке. Если множество A, например, состоит из первых четырех букв русского алфавита, то записывают

• заданием общей характеристики (общих свойств) элементов данного множества (например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачьих и т.д.);

Множество может быть задано с помощью характеристического свойства, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. Если множество A задано с помощью характеристического свойства P, то записывают A = <x|p(x)>

Например, запись A = <x|x R,—7

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

R — множество действительных чисел.

Пример 1.1. Запишем различными способами множество A, элементами которого являются натуральные числа, не превосходящие числа 6.

Решение. Натуральными числами, не превосходящими числа 6, являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому множество A можно записать так: A = <1, 2, 3, 4, 5, 6>, или A = <1, 3, 5, 2, 4, 6>, или A = <6, 5, 4, 3, 2, 1>, или перечислением элементов в каком-либо другом порядке.

По условию множество A задано описанием характеристического свойства его элементов «Быть натуральным числом, не превосходящим числа 6». Используя это свойство, множество можно записать так: A = <x|x N,x б>.

Пример 1.2. Прочитаем различными способами следующие записи:

а) 37 N ;

Решение. а) Число 37 является натуральным. Число 37 принадлежит множеству N. Число 37 — элемент множества N. Число 37 содержится во множестве N. Множество N содержит число 37.

б) Число 2,5 не является натуральным. Число 2,5 не принадлежит множеству N. Число 2,5 не является элементом множества N. Число 2,5 не содержится во множестве N. Множество N не содержит числа 2,5.

Пример 1.3. Используя понятие характеристического свойства, зададим следующие множества:

Решение. Множества A, B и C заданы способом перечисления элементов. Используя характеристические свойства, указанные множества можно задать следующим образом:

A — множество согласных букв русского алфавита;

B — множество цветов радуги;

C — множество дней недели.

Пример 1.4. Изобразим на числовой прямой элементы следующих множеств:

б) A = <x|x Z,—4 x

Источник

Множество и его элементы. Подмножества

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Множество людей в салоне самолёта

Множество деревьев в парке

Множество планет Солнечной системы

Множество электронов в атоме

Множество натуральных чисел

Множество «синих-синих презелёных красных шаров»

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Помидоры на грядке

Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)

Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]

Полосатые летающие слоны

Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Множество всех континентов Земли:

Множество букв слова «математика»:

Множество натуральных чисел меньших 5:

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

A = $\$ — множество всех действительных положительных x

B = $\$ — множество всех натуральных n, кратных 5

C = $\<(x,y)|x^2+y^2 \ge 1,x \in \Bbb R,y \in \Bbb R\>$ – множество всех действительных точек координатной плоскости (x,y), расстояние от которых до начала координат не больше 1 (круг с центром в начале координат, радиусом 1).

D = – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Множество A называют подмножеством множества B (A $\subseteq$ B), если всякий элемент множества A также является элементом множества B:

$$ A \subseteq B \iff (a \in \Bbb A \Rightarrow a \in \Bbb B) $$

Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Знак $\subseteq$ является аналогом $\ge$, т.е. «нестрогим» неравенством. Это значит, что множества A и B могут и совпадать (любое множество является подмножеством самого себя).

Между множествами можно также ввести отношение «строгое подмножество», $A \subset B$, в котором B заведомо «шире» множества A (аналог строгого неравенства $\lt$).

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество натуральных чисел меньших 5 является подмножеством натуральных чисел меньших $10: A = \, B = \, A \subseteq B$

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество полосатых летающих слонов – как пустое множество — является подмножеством чего угодно: приматов, чисел, прямоугольников. Что удобно для размышлений о смысле всего.

Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.

Булеан конечного множества из n элементов содержит $2^n$ элементов:

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

Задано множество натуральных чисел, входящих в полуинтервал $9 \lt n \le 12$.

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

г) Множество всех целых решений уравнения $x^3+x^2+4 = 0$

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

Задано бесконечное множество точек, принадлежащих данной гиперболе $y = \frac<4>$ в данном интервале $-4 \le x \le -1$. На графике:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

Источник