Укажите способы установления значения истинности высказываний содержащих кванторы заполнив таблицу

Практическое занятие 1.8. Высказывания с кванторами.

Вопросы и задания для подготовки к занятию:

1. Разбейте следующие предложения на две группы. По какому признаку Вы это сделали? Запишите эти предложения, используя обозначения.
   1. Существуют четные числа;
   2. Любое четное число оканчивается на 2;
   3. Некоторые числа круглые;
   4. Найдутся натуральные числа меньшие 5;
   5. Для каждой пары натуральных чисел верно переместительное свойство сложения.
2. Lля доказательства каких из следующих утверждений необходимо провести рассуждения в общем виде, а для каких — достаточно привести пример?
   1. в любом параллелограмме сумма величин противоположных углов равна 180°;
   2. найдется ромб, диагонали которого равны;
   3. в некоторых треугольниках все высоты делят противополож ную сторону пополам;
   4. для любого натурального числа п имеет место неравенство п 2 +1=0;
   5. существуют тупоугольные треугольники;
   6. любое число, делящееся на 4, делится на 2.
   7. все натуральные числа больше 2;
   8. любая фигура имеет центр симметрии;
   9. в некоторых треугольниках сумма внутренних углов больше 180°.
3. Запишите следующие высказывания:
   1. все элементы множества Х обладают свойством Р;
   2. некоторые элементы множества Х обладают свойством Р;
   3. некоторые элементы множества Х не обладают свойством Р;
   4. ни один элемент из множества Х не сбладает свойством Р.
4. Образуйте отрицания следугсщих высказываний:
   1. некоторые глаголы отвечают на вопрос «что делать?»;
   2. все однозначные числа больше 5;
   3. существует натуральлое число, являющееся решением уравнения х + З = О;
   4. некоторые геометрические фигуры являются многоугольниками;
   5. любое дерево есть растение; с) каждый треугольник является равнобедренным;
   6. по крайней мере одно из целых чисел превышает число 102;
5. Прочтите следующие записи, заменив символические обозначе­ния кванторов общности и существования их словесными выраже­ниями:
   1. (х  R) х2 -1 = (х + 1) (х — 1);
   2. (у  R) 5 + у = 5;
   3. (у R) у + 3 > 0;
   4. (х N) х + 3
      

      Структура истинности	(х  Х) А(х)	(х  Х) А(х)
      И

   5. Установите, какие из нижеприведенных высказываний истинны, а какие ложны:
      1. Во всяком четырехугольнике диагонали равны.
      2. Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти.
      3. При делении на 5 некоторых натуральных чисел в остатке полу­чается 7.
      4. Любое однозначное число является решением неравенства х + 2 > 1.
      5. все треугольники подобны между собой;
      6. некоторые равнобедренные треугольники являются прямоугольными;
      7. все четные числа делятся на 8;
      8. все числа, делящиеся на 8, четны.
   6. Докажите или опровергните следующие высказывания:
      1. Существуют уравнения, множество решений которых пусто.
      2. Всякое целое число является натуральным.
      3. Сумма любых двух четных чисел есть число четное.
      4. Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения 7:х = 2
   7. Данные ниже высказывания взяты из учебников математики для начальных классов. Выясните, какие из них содержат (в явном или не­явном виде) квантор и как следует устанавливать их значение истинно­сти (указать только способ м обосновать его выбор):
      1. От перестановки слагаемых сумма не изменяется.
      2. Два соседних слагаемых можно заменять их суммой.
      3. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.
      4. Существуют четные числа.
      5. Некоторые числа делятся на 4.
      6. Среди многоугольников есть треугольники.
   8. Сформулируйте высказывания, которые являются отри­цаниями данных высказываний. Для каждого из данных и получен­ных высказываний укажите, истинно само высказывание или его отрицание:
      1. я вчера решил заданную на дом задачу;
      2. все слова могут быть разделены на слоги;
      3. один в поле не воин;
      4. число 27 делится на 7;
      5. 3 плюс 6 равно 9;
      6. 253 —четное число;
   9. Сформулируйте, используя законы де Моргана, отрицания сле­дующих утверждений:
      1. Четырехугольник ABCD — прямоугольник или параллело­грамм.
      2. Число 12 — четное и делится на 3.

   Практическое занятие 1.9. Отношение следования и равносильности между предложениями. Структура теоремы. Виды теорем.

   Вопросы и задания для подготовки к занятию:

   1. Отношение следования между высказывательными формами.
   2. Отношение равносильности между высказывательными формами.
   3. Теорема и ее логическая структура.
   4. Обратная теорема.
   5. Противоположная теорема.
   6. Закон контрапозиции.
   7. На множестве Х = <2, 3, 4, 5, .6, 7, 8>заданы предикаты: А (х): «х 4» и В (х): «х 2». Найдите значения истинности высказываний А (а) и В (а) при каждом из значений а Х. На основании ответов, полученных выше выясните, истинно ли высказывание «из А (х) следует В (х)». Если да, то запишите этот факт, используя символ «». Можно ли утверждать, что истинно высказывание «Из В (х) следует А (х)»? Почему?
   8. Известно, что высказывания: а) А (х) В (х), б) В (х) А (х) истинны. В каком отношении находятся множества Т_А и Т_В?
   9. На множестве Х = < 1, 2, 3, . 9>заданы предикаты А (х): «х > 2», В (х): «х > 5», С (х): «х — однозначное число». Сделайте соответствующие записи и докажите, что на множестве Х: а) пре­дикат А (х) следует из предиката В (х); б) предикат С (х) следует из предиката А (х); в) из предиката В (х) следует предикат А (х).

   Задания для самостоятельной работы:

   1. В классе имеются два отличника: Попова и Смирнов — и пять спортсменов: Попова, Деменченко, Смирнов, Виноградов, 3иниченко. Следует ли предложение «Учащийся класса — спорт­смен» из предложения «Учащийся класса -отличник»?
   2. Докажите, что каждое из нижеприведенных утверждений ложно:

   а) если треугольник равнобедренный, то он равносторонний;

   б) если треугольник прямоугольный, то он равнобедренный;

   в) если треугольник равнобедренный, то он остроугольный.

   1. Сформулируйте следующие высказывания в виде «если . то . »:

   а) А — достаточное условие для В;

   б) А — необходимое условие для В;

   в) В — достаточное условие для А;

   г) В — необходимое условие для А.

   1. Среди следующих предложений укажите истинные; ответы обоснуйте:

   а) Число п — натуральное, следовательно, и 15а — натуральное числе

   б) Число 15а — натуральное, следовательно, а — натуральное число

   в) Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник.

   г) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник — прямоугольник.

   д) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы все его углы были равны.

   е) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы все его углы были равны.

   1. Равносильны ли следующие предложения А (х) и В(х), если:

   а) А(х) — «число делится на 9», В(х) — «сумма цифр в записи числа делится на 9».

   б) А(х) — «каждое слагаемое суммы делится на 4», В(х) — «сумма делится на 4».

   1. Докажите, что предложение «в прямоугольнике F диагонали взаимно перпендикулярны» и «прямоугольник F — квадрат» равносильны. Утверждения о равносильности сформулируйте тремя различными способами.
   2. Вставьте слова «и» либо «или» так, чтобы следующие высказывания были истинными:

   а) аb=0  a=0. b=0;

   б) аb  0  а 0 . b  0;

   г) хА  В  хА…хВ.

   1. Какие из следующих предложений можно переформулировать, употребив слова «необходимо» либо «достаточно»:

   а) Если в четырехугольнике все углы равны, то четырехугольник является прямоугольником.

   б) Сумма двух четных чисел есть число четное.

   в) Всякое число, которое делится на 3 и на 5, делится на 15.

   1. Какие из нижеприведенных высказываний истинные:

   а) Для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 6.

   б) Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы оно делилось на 6

   в) Для того чтобы число делилось на 100, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 10.

   г) Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5.

   1. В следующих теоремах выделите условие и заключение и сформулируйте их в виде: «если . то . »:

   а) во всяком треугольнике против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны,

   б) перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых есть также перпендикуляр к другой;

   в) сумма величин углов треугольника равна 180°;

   г) сум­ма величин смежных углов равна 180°;

   д) параллелограмм имеет центр симметрии.

   1. Выразите следующие теоремы без использования союзов «если . то. »:

   а) если многоугольник пра­вильный, то в него можно вписать окружность;

   б) если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны;

   в) если стороны параллелограмма конгруэнтны, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

   Сформулируйте для каждой из этих теорем обратную, противо­положную и обратную противоположной. установите, какие из этих теорем истинны.

   1. Верна ли следующая теорема: если произведение двух целых чисел делится на 15, то хотя бы один из сомножителей де­лится на 15? Верна ли обратная теорема?
   2. Для каждой из следующих теорем сформулируйте обрат­ную, противоположную и обратную противоположной теоремы. Выясните, какие из этих теорем истинны:

   а) если многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность,

   б) если сумма цифр какого-нибудь числа делится на 9, то это число делится на 3.

   1. Пользуясь законом контрапозиции, докажите следующие теоремы:

   а) Если р q — нечетное число, то р и q нечетны (р, q  N).

   б) Если п2 + т2  0, то т 0 или п  0.

   1. Покажите, что следующие теоремы являются конъюнкцией двух теорем:

   а) На 5 делятся те и только те числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

   б) Две прямые плоскости параллельны тогда и только тогда, когда они перпендикулярны одной и той же прямой.

   в) для того чтобы в прямоугольном треугольнике катет составлял половину гипотенузы, необходимо и достаточно, чтобы угол, лежащий против этого катета, был равен 30°.

   Практическое занятие 1.10. Умозаключения и их виды. Схемы дедуктивных умозаключений.

   Вопросы и задания для подготовки к лекции:

   1. Умозаключение и его структура.
   2. Виды умозаключений:
   1. дедуктивные умозаключения.
   2. индуктивные умозаключения.
   3. неполная индукция.
   4. аналогия.
   5. умозаключения от противного.
   1. Схемы дедуктивных умозаключений.
   2. Виды неправильных умозаключений.
   3. Известно, что если в треугольнике углы при основании равны, то он – равнобедренный. Следует ли из этого, что: треугольник с двумя углами по 40˚ — равнобедренный; треугольник с двумя сторонами по 4 см – равнобедренный.
   4. В четырехугольнике ABCD все стороны равны. Достаточно ли этого для того, чтобы утверждать, что ABCD: а) квадрат; б) ромб
   5. Выяснив, что (12+4):2=12:2+4:2, ученик решил аналогично действовать при нахождении значения выражения (12*4):2, и записал: (12*4):2=(12:2)*(4:2). Прав ли он?
   6. Даны два утверждения А(х) – «число х — четное»,В(х) – «запись число х заканчивается цифрой 4». Находятся ли они в отношении следования?
   7. В каждом из следующих умозаключений выделите посылки и заключение:
      1. если число натуральное, то оно целое; если число целое, то оно рациональное, следовательно,
      2. если число натуральное, то оно рациональное; если число натуральное, то оно целое; число 138 – натуральное, следовательно, оно целое;
      3. всякое натуральное число целое; число 138 – целое, следовательно, оно натуральное;
      4. всякое натуральное число целое; число 0,2 не является целым, следовательно, оно не является натуральным.
   8. Используя правило отрицания, закончите умозаключения так, чтобы они были дедуктивными:
      1. если четырехугольник – прямоугольник, то в нем диагонали равны. Четырехугольник ABCD -…
      2. равные треугольники имеют равные площади. Треугольники ABC и KLM -…
   9. Восстановите общую посылку в умозаключении:
      1. число 12 – натуральное, следовательно, оно положительное;
      2. число 15 – нечетное, следовательно, оно не делится на 2.

   Источник

   Читайте также:  Способ государственного устройства значение
   Оцените статью
   
   Вам также может понравиться

   

   Ясень семена способ распространения

   Ясень обыкновенный Fraxinus excelsior – так в ботанической

   

   Ярлыки способы создания ярлыков ос windows

   Создаем ярлыки на рабочем столе Windows Создаем ярлыки

   

   Японское удобрение фуджима способ применения

   Удобрения Фуджима Знаете потрясающее удобрение, палочка

   

   Японский чай способ заварки

   Технология заваривания японского чая Известно, что
   • Правообладателям
   • Политика конфиденциальности
   • Контакты