Числовые последовательности и способы их задания
Числовые последовательности и способы их задания.
Определение 1. Функцию y = f ( x ), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f ( n ) или y 1 , y 2 , y 3 , . y n , . или ( y n ).
В данном случае независимая переменная – натуральное число.
Способы задания числовой последовательности.
Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.
Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . .
Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, . .
Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . .
Любой n -й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.
Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2 n .
Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n 2 ;
1, 4, 9, 16, 25, . n 2 , . .
Пример 3. Стационарная последовательность: y = C ;
Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, . 5, . .
Пример 4 . Последовательность y = 2 n ;
2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , . 2 n , . .
Указывается правило, позволяющее вычислить n -й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.
Пример 1 . Арифметическая прогрессия: a 1 = a , a n +1 = a n + d , где a и d – заданные числа, d — разность арифметической прогрессии. Пусть a 1 =5, d =0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; . .
Пример 2. Геометрическая прогрессия: b 1 = b , b n +1 = b n q , где b и q – заданные числа, b 0, q 0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b 1 =23, q =½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; . .
Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y 1 =1, y 2 =1, y n -2 + y n -1 , если n =3, 4, 5, 6, . . Она будет иметь вид:
1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . .
Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:
3.2. Закрепление нового материала. Решение задач.
Для закрепления знаний выбираются примеры в зависимости от уровня подготовки учащихся.
Пример 1. Составить возможную формулу n -го элемента последовательности ( y n ):
а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2 n +1.
б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4 n .
Пример 2 . Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 + y n -1 , если n = 3, 4, 5, 6, . .
Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.
Пример 3. Последовательность ( y n ) задана рекуррентно: y 1 =1, y 2 =2, y n = 5 y n -1 — 6 y n -2 . Задать эту последовательность аналитически.
Найдём несколько первых элементов последовательности.
Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; . которую можно представить в виде
2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 . .
n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. .
Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2 n -1 .
Пример 4. Дана последовательность y n =24 n +36-5 n 2 .
а) Сколько в ней положительных членов?
б) Найти наибольший элемент последовательности.
в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?
Данная числовая последовательность – это функция вида y = -5 x 2 +24 x +36, где x
а) Найдём значения функции, при которых -5 x 2 +24 x +36>0. Решим уравнение -5 x 2 +24 x +36=0.
D = b 2 -4 ac =1296, X 1 =6, X 2 =-1,2.
Уравнение оси симметрии параболы y = -5 x 2 +24 x +36 можно найти по формуле x =, получим: x =2,4.
Неравенство -5 x 2 +24 x +36>0 выполняется при -1,2 В этом интервале находится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значит в заданной последовательности пять положительных элементов последовательности.
б) Наибольший элемент последовательности определяется методом подбора и он равен y 2 =64.
в) Наименьшего элемента нет.
1. Составьте возможную формулу n -го элемента последовательности ( y n ), если последовательность имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12, . .
2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y 1 =1, y 2 =3, y n = y n -2 + y n -1 .
3. Найдите формулу n -го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,4 и разностью 0,9.
4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 3,5 и знаменателем —
5 . В арифметической прогрессии a 5 = -150, a 6 = -147. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.
6 . Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии
7. Дана последовательность y n =12 n + 8 — 2,5 n 2 .
а) Сколько в ней положительных элементов?
б) Найти наибольший элемент последовательности.
в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?
Источник
Технологическая карта по математике на тему «Способы задания и свойства числовых последовательностей»
Тема: Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Понятие о непрерывности функции
— ввести определение предела последовательности и предела функции; познакомить с правилами вычисления пределов функции в точке и на бесконечности;
— развивать мышление, логику, речь, внимание;
— воспитывать аккуратность, дисциплинированность.
Последовательность — одно из самых основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д.
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием » числовая последовательность «, узнаем, какие могут быть последовательности.
Цель урока : Найти способы нахождения любого члена последовательности.
Задачи урока : Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.
Определение: Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел (слайд: последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать: дни недели, названия месяцев, номера домов, классы в школе, номера счетов).
Элементы этого числового множества называются членами последовательности и обозначают: первый член — а 1 , второй — а 2 , n- й член — а n и т.д. Вся последовательность обозначается : а 1 , а 2 , а 3 , …, а n или (а n ).
Последовательность может содержать как конечное , так и бесконечное число членов.
Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной , а последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, — бесконечной последовательностью.
Иногда бесконечную числовую последовательность вводят, используя понятие функции:
Определение: Функцию у = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f(n), или у1, у2, у3. уn или у(n).
Определение: бесконечной числовой последовательностью называется функция, которая определена на множестве натуральных чисел.
1) 1,2,3,4. n. — последовательность простых чисел
2) 1, 4, 9, 16. n2 . — последовательность квадрата натуральных чисел
3)2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел;
4)1, 3, 5, 7, 9, : — последовательность нечетных чисел;
5) арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия
Обозначение: у 1 , у 2 , у 3 , у 4 , у 5 . где:1, 2, 3, 4, 5, это n :-порядковый номер члена последовательности.
(у n )- последовательность, у n — n -ый член последовательности.
(а n )- последовательность, а n — n -ый член последовательности.
а n -1 -предыдущий член последовательности,
а n +1 — последующий член последовательности.
Числовая последовательность считается заданной , если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.
Способы задания последовательностей:
1. Словесный — это описание последовательности и ее свойств с помощью слов.
(у n )- последовательность натуральных чисел, кратных трём.
2. Аналитический . Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена.
( Например: у n = 3 n )
3. Рекуррентный (от латинского — возвращаться).
Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n- й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.
Примерами рекурентных соотношений являются арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (аn), заданная рекуррентно соотношениями: а 1 = а, а n+1 = а n + d
(а и d – заданные числа, d – разность арифметической прогрессии)
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность (b n ). Заданная рекуррентно соотношениями: b 1 = b, b n+1 = b n · q
( b и q – заданные числа, b≠0, q ≠ 0; q знаменатель геометрической прогресси прогрессии).
Пример: Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:у 1 =1; у 2 = 1; у n = у n-2 + у n-1
Решение. n –й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов. Значит, последовательно получаем:
4. Графический — это способ задания последовательности числовых прямых, диаграмм, графиков.
Вычислите первые 5 членов последовательности и изобразите их точками координатной плоскости:
в) a n = n 2 +2 n +1
Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы её задания.
Ответьте на вопросы:
Что такое последовательность?
Какие виды последовательностей вы узнали?
Какие способы задания вы узнали?
Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Производные основных элементарных функций.
дать понятие производной функции о её геометрическом и физическом смысле, изучить формулы нахождения производных элементарных функций;
развивать мышление, память;
воспитывать трудолюбие, аккуратность.
Определение числовой последовательности, способы задания числовых последовательностей.
Ребята, отгадайте ключевое слово урока
1) С её появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;
2) Ньютон назвал её «флюксией» и обозначал точкой;
3) Бывает первой, второй,… ;
4) Обозначается штрихом.
Итак, сегодня на уроке мы поговорим о производной функции о её геометрическом и физическом смысле, изучим формулы нахождения производных элементарных функций;
Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, биологии, географии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.
Сообщение цели урока.
Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? ( Дети формулируют цель.)
Цель нашего урока – дать понятие производной функции о её геометрическом и физическом смысле, изучить формулы нахождения производных элементарных функций.
Что называется приращением аргумента, приращением функции.
2. Дать определение производной функции f(x) в точке.
В чем состоит геометрический смысл производной функции
В чем состоит физический смысл производной функции.
5. Формулы нахождения производных функций.
Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.
1 . Понятия «приращение функции» и «приращение аргумента»
Допустим, х – некоторая произвольная точка, которая лежит в какой-либо окрестности точки х 0 . Приращением аргумента в точке х 0 называется разность х-х 0 . Обозначается приращение следующим образом: ∆х ( дельта икс, Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ).
Приращением функции f в точке x 0 , соответствующим приращению ∆х называется разность f(x) – f(x 0 ). Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом, получаем, по определению:
Иногда, ∆f еще называют приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция была, к примеру, у=f(x).
Приращение функции обозначают Δу или Δf .
Основная проблема заключается в том, что человеку трудно представить себе абстрактное понятие, то, чего он никогда не видел. Поэтому для начала изобразим приращение в простом и понятном графическом виде:
Таким образом, все эти непонятные иксы, игреки и дельты становятся вполне конкретными точками на плоскости. И мы понимаем, что фраза из определения приращения «Разность х 1 — х 0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x 0 к x 1 ), а разность f(х 1 ) — f(x 0 ) называют приращением функции» имеет вполне определенный смысл.
Из графика видно, что приращение аргумента это всего лишь разность между двумя числами, одно из которых соответствует х 1 ,а другое x 0 . А численно приращение аргумента равно длине отрезка Δx.
И, соответственно, приращение функции это разность между двумя числами, одно из которых соответствует y 1 , а другое y 0 . А численно приращение функции равно длине отрезка Δy.
2. Определение производной функции.
Пусть функция y = f(x) определена в промежутке x .
Определение: Производной функцией f в точке х 0 называется число, к которому стремиться разностное отношение.
= 
, при Δx→0
Производная обозначается символами y ‘ (x 0 ), f ‘ (x 0 ) ;
Читается f'(x) (эф штрих от икс).
Нахождение производной называется дифференцированием функции, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».
3 . Физический смысл производной .
Исходя из определения производной, можно сказать:
1) мгновенная скорость прямолинейного движения есть производная от пути S по времени t: v (t)= S'(t);
2) мгновенная скорость химической реакции есть производная от функции X по аргументу t: v (t) = x'(t).
Таким образом, можно сделать вывод: Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
В этом состоит физический смысл производной.
Геометрический, смысл производной.
Рассмотрим график функции f(x) и построим на этом графике произвольным образом точку М. В данной точке М проведем касательную к графику функции f(x)
Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом состоит геометрический смысл производной.
Посмотрите на следующий рисунок .
Как видите, приращение показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции к приращению аргумента определяет угол наклона секущей, проходящей через начальное и конечное положение точки.
Источник
