Удобный способ вычисления десятичных дробей

Вычитание десятичных дробей: правила, примеры, решения

Изучаем другие действия, которые можно совершать с десятичными дробями. В этом материале мы узнаем, как правильно подсчитать разность десятичных дробей. Отдельно разберем правила для конечных и бесконечных дробей (как периодических, так и непериодических), а также посмотрим, как считать разность дробей столбиком. Во второй части мы объясним, как вычесть десятичную дробь из натурального числа, обыкновенной дроби, смешанного числа.

Отметим заранее, что в этой статье рассмотрены только случаи, когда меньшая дробь вычитается из большей, т.е. результат этого действия положителен; другие случаи относятся к нахождению разности рациональных и действительных чисел и должны быть объяснены отдельно.

Основные правила вычитания десятичных дробей

Процесс вычисления как конечных, так и бесконечных периодических десятичных дробей можно свести к нахождению разности дробей обыкновенных. Раньше мы говорили о том, что десятичные дроби можно записывать в виде обыкновенных дробей. Исходя из этого правила, разберем несколько примеров нахождения разности.

Найдите разность 3 , 7 — 0 , 31 .

Решение

Переписываем десятичные дроби в виде обыкновенных: 3 , 7 = 37 10 и 0 , 31 = 31 100 .

Что делать потом, мы уже изучали. Мы получили ответ, который переводим обратно в десятичную дробь: 339 100 = 3 , 39 .

Подсчеты, связанные с десятичными дробями, удобно производить столбиком. Как же пользоваться этим методом? Покажем, решив задачу.

Вычислите разность между периодической дробью 0 , ( 4 ) и периодической десятичной дробью 0 , 41 ( 6 ) .

Решение

Переведем записи периодических дробей в обыкновенные и подсчитаем.

0 , 4 ( 4 ) = 0 , 4 + 0 , 004 + . . . = 0 , 4 1 — 0 , 1 = 0 , 4 0 , 9 = 4 9 . 0 , 41 ( 6 ) = 0 , 41 + ( 0 , 006 + 0 , 0006 + . . . ) = 41 100 + 0 , 006 0 , 9 = = 41 100 + 6 900 = 41 100 + 1 150 = 123 300 + 2 300 = 125 300 = 5 12

Итого: 0 , ( 4 ) — 0 , 41 ( 6 ) = 4 9 — 5 12 = 16 36 — 15 36 = 1 36

Если нужно, ответ мы можем представить в виде десятичной дроби:

Ответ: 0 , ( 4 ) − 0 , 41 ( 6 ) = 0 , 02 ( 7 ) .

Разберем далее, как найти разность, если у нас в условиях стоят бесконечные непериодические дроби. Такой случай также можно свести к нахождению разности конечных десятичных дробей, для чего понадобится округлить бесконечные дроби до определенного разряда (обычно самого меньшего из возможных).

Найдите разность 2 , 77369 … — 0 , 52 .

Решение

Вторая дробь в условии – конечная, а первая – бесконечная непериодическая. Мы можем округлить ее до четырех знаков после запятой: 2 , 77369 … ≈ 2 , 7737 . После этого можно выполнять вычитание: 2 , 77369 … − 0 , 52 ≈ 2 , 7737 − 0 , 52 .

Как считать разность десятичных дробей столбиком

Вычитание столбиком – быстрый и наглядный способ узнать разность конечных десятичных дробей. Процесс подсчета очень схож с аналогичным для натуральных чисел.

Чтобы подсчитать разность десятичных дробей столбиком, необходимо:

1. если в указанных десятичных дробях отличается количество знаков после запятой, уравняем его. Для этого допишем к нужной дроби нули;
2. запишем вычитаемую дробь под уменьшаемой, разместив значения разрядов строго друг под другом, а запятую под запятой;
3. выполним подсчет столбиком так же, как мы это делаем для натуральных чисел, запятую при этом игнорируем;
4. в ответе отделим нужное количество чисел запятой так, чтобы она располагалась на том же месте.

Разберем конкретный пример использования этого метода на практике.

Найдите разность 4 452 , 294 — 10 , 30501 .

Решение

Для начала выполним первый шаг – уравняем количество десятичных знаков. Допишем два нуля в первую дробь и получим дробь вида 4 452 , 29400 , значение которой идентично исходной.

Запишем получившиеся числа друг под другом в нужном порядке, чтобы получился столбик:

Считаем как обычно, игнорируя запятые:

В получившемся ответе поставим запятую в нужном месте:

Наш результат : 4 452 , 294 − 10 , 30501 = 4 441 , 98899 .

Как вычесть натуральное число из десятичной дроби и наоборот

Найти разность между конечной десятичной дробью и натуральным числом легче всего описанным выше способом – столбиком. Для этого число, из которого мы вычитаем, необходимо записать в виде десятичной дроби, в дробной части которой стоят нули.

Вычислите 15 — 7 , 32 .

Запишем уменьшаемое число 15 в виде дроби 15 , 00 , поскольку дробь, которую нам нужно вычесть, имеет два знака после запятой. Далее выполняем подсчет столбиком, как обычно:

Таким образом, 15 − 7 , 32 = 7 , 68 .

Если из натурального числа нам нужно вычесть бесконечную периодическую дробь, то мы опять же сводим эту задачу к аналогичному вычислению. Заменяем периодическую десятичную дробь на обыкновенную.

Вычислите разность 1 — 0 , ( 6 ) .

Решение

Указанной в условии периодической десятичной дроби соответствует обычная 2 3 .

Считаем: 1 − 0 , ( 6 ) = 1 − 2 3 = 1 3 .

Полученный ответ можно перевести в периодическую дробь 0 , ( 3 ) .

Если данная в условии дробь непериодическая, поступаем так же, предварительно округлив ее до нужного разряда.

Отнимите 4 , 274 … от 5 .

Решение

Указанную бесконечную дробь мы округлим до сотых и получим 4 , 274 … ≈ 4 , 27 .

После этого вычисляем 5 − 4 , 274 … ≈ 5 − 4 , 27 .

Преобразуем 5 в 5 , 00 и запишем столбик:

В итоге 5 − 4 , 274 … ≈ 0 , 73 .

Если перед нами стоит обратная задача – вычесть натуральное число из десятичной дроби, то мы выполняем вычитание из целой части дроби, а дробную часть не трогаем совсем. Мы поступаем так и с конечными, и с бесконечными дробями.

Найдите разность 37 , 505 – 17 .

Решение

Отделяем от дроби целую часть 37 и вычитаем требуемое число из нее. Получаем 37 , 505 − 17 = 20 , 505 .

Как вычесть десятичную дробь из смешанного числа или обыкновенной дроби и наоборот

Эту задачу также необходимо свести к вычитанию обыкновенных дробей – как в случае со смешанными числами, так и с десятичными дробями.

Вычислите разность 0 , 25 — 4 5 .

Решение

Представим 0 , 25 в виде обыкновенной дроби – 0 , 25 = 25 100 = 1 4 .

Теперь нам нужно найти разность между 1 4 и 4 5 .

Считаем: 4 5 − 0 , 25 = 4 5 − 1 4 = 16 20 − 5 20 = 11 20 .

Запишем ответ в виде десятичной записи: 0 , 55 .

Если в условии стоит смешанное число, из которого надо вычесть конечную или периодическую десятичную дробь, то поступаем аналогично.

Условие: отнимите 0 , ( 18 ) от 8 4 11 .

Перепишем периодическую дробь в виде обыкновенной. 0 , ( 18 ) = 0 , 18 + 0 , 0018 + 0 , 000018 + . . . = 0 , 18 1 — 0 , 01 = 0 , 18 0 , 99 = 18 99 = 2 11

Получается, что 8 4 11 — 0 , ( 18 ) = 8 4 11 — 2 11 = 8 2 11 .

В виде десятичной дроби ответ можно записать как 8 , ( 18 ) .

Таким же образом мы действуем, когда вычитаем смешанное число или обыкновенную дробь из конечной или периодической дроби.

Подсчитайте 9 40 — 0 , 03 .

Решение

Заменяем дробь 0 , 03 на обыкновенную 3 100 .

У нас получается, что: 9 40 − 0 , 03 = 9 40 − 3 100 = 90 400 − 12 400 = 78 400 = 39 200

Ответ можно оставить так или преобразовать в десятичную дробь 0 , 195 .

Если нам требуется выполнять вычитание с участием бесконечных непериодических дробей, то нам нужно будет свести их к конечным. Со смешанными числами поступаем аналогично. Для этого запишем обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби и округлим вычитаемую дробь до определенного разряда. Проиллюстрируем нашу мысль примером:

Отнимите 4 , 38475603 … . из 10 2 7 .

Решение

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

10 2 7 = 10 · 7 + 2 7 = 72 7

Далее эту дробь запишем в десятичном виде и получим 10 , ( 285714 ) .

В итоге 10 2 7 — 4 , 38475603 . . . = 10 , ( 285714 ) — 4 , 38475603 . . . .

Теперь округлим вычитаемые числа до седьмого знака: 10 , ( 285714 ) = 10 , 285714285714 … ≈ 10 , 2857143 и 4 , 38475603 … ≈ 4 , 3847560

Тогда 10 , ( 285714 ) − 4 , 38475603 … ≈ 10 , 2857143 − 4 , 3847560 .

Единственное, что осталось сделать – вычесть одну конечную десятичную дробь из другой. Выполним подсчет столбиком:

Ответ: 10 2 7 — 4 , 38475603 . . . ≈ 5 , 9009583

Источник

Повторение курса

1. Десятичная дробь – это форма записи обыкновенной дроби, у которой знаменатель равен 10, 100, 1000 и т.д.

Например, 1/100 = 0,01; 7/10 = 0,7 ; 19/1000 = 0,019

2. Запятая в десятичной дроби отделяет:

— целую часть от дробной;

— столько знаков, сколько нулей в знаменателе обыкновенной дроби.

3. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Запишите в числитель все число без запятой, а в знаменатель – единицу и столько нулей, столько цифр было отделено запятой в десятичной дроби.

4. Как обыкновенную дробь перевести в десятичную?

1 способ (хорошо работает, когда в знаменателе дроби: 2, 5, 20, 25… и т. д., то есть когда сразу понятно, на что надо умножать): домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д., а потом записать результат в десятичном виде.

2 способ: поделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель (см. раздел сайта: 5 класс/десятичные дроби).

5. Сложение и вычитание десятичных дробей:

Сложение (вычитание) десятичных дробей выполняется так же, как сложение (вычитание) натуральных чисел, в столбик: главное, чтобы запятая во втором числе стояла под запятой в первом. Например:

6. Умножение десятичных дробей (см. раздел сайта: 5 класс/десятичные дроби/умножение десятичных дробей):

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно умножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Потом сложить количество знаков после запятой в первом множителе и во втором множителе, а затем отделить полученное количество знаков в произведении, считая справа налево. Например:

7. Деление десятичных дробей (см. раздел сайта: 5 класс/десятичные дроби/деление десятичных дробей):

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо перенести запятую в делителе вправо на столько позиций, пока он не станет целым. Потом на столько же позиций перенести запятую в делимом. Затем разделить получившиеся числа как обычно, в столбик. При этом в ответе нужно будет не забыть поставить запятую сразу же, как мы «перейдем за запятую» в делимом. Например:

1. Вычислите:

30,75 + 5,6136 21,6 — 13,823 7,05 * 0,0308 15,6672 : 3,84

5,52 + 994,48 406,01 — 75,997 507,8 * 3,005 0,03729 : 6,78

2. Найдите значение выражения:

а) (12 — 8,4) : 0,09 * 0,7 — 0,3 * (0,6 + 3,12) : (14,18 — 7,98) : 0,01

б) 10 * (0,056 : 0,8 * 700 — 40,2832) : (16 * 0,6 — 0 : 3,2) + 5,4 : 9 : 30

3. В летнем лагере за смену в 28 дней израсходовали 1 т картофеля. В первые 12 дней расход картофеля составил 38 кг в день. Каким будет расход картофеля в оставшиеся дни, если каждый день он будет одинаковым?

4. Найдите истинные высказывания. Расположите соответствующие им ответы в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам, и расшифруйте астрономический термин. Примеры, в которых допущена ошибка, решите правильно и запишите их в тетрадь.

Р 0,4 + 3 = 3,4 Д 9,1 — 1,05 = 8,05 А 0,8 * 0,04 = 0,032

У 6 + 0,12 = 0,18 Г 0,854 — 0,85 = 0,04 К 5 : 1000 = 0,05

Н 0,25 + 0,5 = 0,3 Б 0,5 * 3 = 0,15 Т 3,6 : 9 = 0,4

О 3,28 + 1,3 = 4,58 И 4 * 1,7 = 6,8 Я 12,3 : 5 = 24,6

Е 2,6 — 0,01 = 2,59 Ж 17,2 * 10 = 1,72 С 0,056 : 0,7 = 0,08

5. У дачника было три улья. С первого улья он получил 24,8 кг мёда, со второго — на 6,4 кг меньше, чем с первого, а с третьего — половину того, что собрал с первых двух ульев вместе. Весь мёд он разложил поровну в 18 банок. По скольку килограммов мёда было в каждой банке?

6. Существует версия, что «золотое руно», за которым отправились аргонавты в Колхиду, есть не что иное, как секрет выделки одного растения. Его-то и продавали на вес золота в Древнем мире. Голубой венчик этого растения — это «цвет неба», — считали жрецы Исиды и носили одежды только из этого растения. Что это за растение? Чтобы ответить на этот вопрос, вычислите рационально:

18,7 * 3,6 — 3,6 * 8,7 + 4,4

17,3 * 18,9 — 18,9 * 3,1 + 15,8 * 18,9

37,2 * 18,2 — 18,2 * 21,3 + 19,2 * 15,9 + 15,9 * 2,6

Е=40,4 ; Д=36 ; С=8 ; Н=567 ; У=684,18 ; Л=636 ; Б=728 ; И=872.

7. Соком этого растения был отравлен король датский, отец Гамлета. Сейчас оно входит в состав мазей для лечения простуды, бронхита, плеврита, т. к. вещества, входящие в его состав, оказывают спазмолитическое действие. Что это за растение? (Результат каждого действия даёт букву.)

227,36 : (865,6 — 20,8 * 40,5) * 8,38 + 1,12 — 44

А=842,4 ; К=844,2 ; Е=23,2; С=93,5 ; Е=9,8 ; О=84,24 ; Н=82,124 ; Б=83,244 ; Л=39,244 ; Я=83,2.

8. Этого симпатичного зверька на латыни именовали «королём зелени». Назовите его:

(68,344 — 3,09 : 1,5) : 7,3 + 2,7 * 8,5 — 2,03

Б=26 ; О=2,06 ; В=2,6 ; И=66,284 ; А=681,38 ; Л=9,08 ; А=9,8 ; Ц=98 ; Н=229,5 ; Е=0,3203 ; Р=22,95 ; К=32,03 ; К=30.

9. Выполните действия и округлите полученный результат с точностью:

• до десятков: 2987,4 + 7,85; 100,1 — 47,907; 39,5 * 5,09; 163,846 : 0,79
• до единиц: 82,435 + 7,0684; 203 — 75,48; 470,5 * 0,804; 0,43236 : 0,045;
• до десятых: 205,038 + 9,47; 4,2 — 1,517; 320 * 0,0564; 0,06111 : 0,063;
• до сотых: 1,514 + 0,4872; 5,1002 — 0,005; 5,7 * 0,053; 0,649636 : 0,806

Источник