Свойства сложения и вычитания
О чем эта статья:
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
- 2 — это первое слагаемое,
- 5 — второе слагаемое,
- 7 — это сумма.
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
- Переместительное свойство сложения
От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
a + b = b + a - Сочетательное свойство сложения
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
(a + b) + c = a + (b + c) - Свойство нуля при сложении
Если к числу прибавить нуль, получится само число.
a + 0 = 0 + a = a
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
Рассмотрим пример 9 — 4 = 5, в котором:
При этом саму запись (9 — 4) тоже можно назвать разностью.
Примеры использования свойств сложения и вычитания
Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:
Пример 1
Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:
а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15
б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22
в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43
Пример 2
Применить разные свойства при вычислении разности:
а) 25 — 0 — 2 = 25 — 2 = 23
б) 18 — (1 + 4) = 18 — 1 — 4 = 17 — 4 = 13
Пример 3
Найти значение выражения удобным способом:
а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 10) + (3 + 9) = 21 + 11 = 32
б) 16 — (4 + 3) + 7 = 16 — 4 — 3 + 7 = (16 — 4) — 3 + 7 = 12 — 3 + 7 = 9 + 7 = 16
Источник
Приемы быстрых вычислений
«Лучше усваиваются те знания,
которые поглощаются с аппетитом»
Анатоль Франс, французский писатель
Приемы быстрых вычислений
В самом обыкновенном устном счете, как и во многом другом, можно видеть много интересного, необычного и чудесного.
Математика – это инструмент для изучения других наук и различных сфер жизни, это не просто «сухие» цифры, формулы, а как сказал Аристотель: «Математика… выявляет порядок, симметрию, определенность, а это – важнейшие виды прекрасного».
Вряд ли кто-нибудь будет оспаривать необходимость вычислительной культуры современного человека.
Не потеряли своей актуальности слова М.В. Ломоносова о том, что арифметику за тем уже изучать стоит, что она ум в порядок приводит.
С приходом в нашу жизнь и школу калькуляторов, современные школьники перестали использовать устные формы вычислений. Между тем устный счет в их развитии нельзя заменить никакими калькуляторами.
Необходимо находить время на уроках для знакомства с приемами устного счета, тогда школьники не будут пользоваться калькуляторами.
В предлагаемой статье рассмотрены некоторые приемы быстрых вычислений, которые могут пригодиться не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.
Способы быстрого сложения чисел
Способы быстрого сложения чисел:
порядковое сложение чисел 15+39+26=(10+30+20)+(5=9+6)=60+20=80.
Прибавление к одному числу отдельных, разрядов другого числа, всегда начиная с высших:
Сложение с использованием свойств действий с числами
При выполнении быстрого сложения чисел самым простым, на мой взгляд, является прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших
Способы быстрого вычитания чисел
Способы быстрого вычитания:
Вычитание с использованием свойств действий с числами
Ученики чаще принимают метод с использованием свойств действий с числами.
Способы быстрого вычитания чисел
Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого
Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих.
Если уменьшаемое или вычитаемое близки, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:
Удобно выполнять вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих:
Способы быстрого умножения чисел
Чтобы умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки, затем единицы и оба результата складывают:
Умножение на двухзначное число.
Если оба множителя двухзначные числа, то разбиваем один из них на десятки и единицы. Разбивать надо множитель, у которого десятки и единицы выражены меньшими числами:
Индийская тайна быстрого умножения
Необходимо умножить два числа близкие к 100: 98х96
Найдем дополнения каждого множителя за 100 – соответственно 2 и 4.
Вычтем из 1-го множителя дополнения второго:
98-4=94 (или наоборот)
Это первые цифры произведения
Перемножим дополнения 2х4=8 (08) – это последние цифры произведения : 98х96=9408.
Умножение на 2 слева направо
При умножении на 2 запоминаем единицу, если цифра больше четырех, поэтому правило следующее: умножаем очередную цифру на 2 и произведение увеличиваем на единицу, когда последующая цифра больше 4, и записываем только цифру единицу результата, если это не первая цифра множителя; для первой цифры записываем полностью значение результата.
4286х2=8572, потому что 4х2=8 и пишем 8, так как последующая цифра не больше 4.
Далее: 2х2=4, следующая цифра больше 4, последнее произведение увеличиваем на единицу, и записываем 5.
Затем 8х2=16, но с учетом значения последней цифры, пишем 2: 5619х2=11238.
Действительно, 5х2=10, но следующая цифра больше 4, поэтому
Далее, 6х2=12, пишем только 2, так как последующая цифра меньше 4.
Далее, 1х2=2, но последующая цифра больше 4, поэтому пишем 3.
И наконец, 9х2=18, пишем 8.
Чтобы ускорить нахождение произведения, можно первый множитель разбить на грани, но несколько цифр в каждой последовательности умножаем числа каждой грани, записываем для первой грани полностью результат с учетом значения первой цифры следующей грани, для остальных граней записываем значение полученного результата, отбрасывая первую цифру, если число цифр результата больше числа цифр грани:
Разбиваем первый множитель на грани:
Далее, 32х2=64, но с учетом первой цифры следующей грани записываем 65. Затем 96х2=192 (количество цифр произведения 3, а грань состоит из двух цифр), первая цифра следующей грани не больше 4, поэтому записываем 92, затем записываем 90=45х2.
Способы быстрого умножения чисел.
Умножение на 4 и на 8
Чтобы число умножить на 4; 8, его последовательно удваивают:
Так как 5= 10/2, поэтому, чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2, то есть к числу приписывают нуль и делят десять пополам:
Умножение на 0,5
Так как 0,5=1/2, поэтому чтобы умножить число на 0,5, его нужно разделить пополам:
Умножение на 1,5 и 15
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину:
Чтобы число умножить на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:
Часто в повседневной жизни нам приходится умножать число на 1,5 или на 15.
Это легко сделать так: 48х1,5=48+24=72;
Умножение на 15
Можно использовать соотношение 15=30/2, получаем, что ах15=ах30/2.
Предварительно представляем а, если оно нечетное, в виде суммы или разности нечетного числа и единицы:
Умножение на 11
Прием умножения на 11 поражает своей красотой.
36х11, для этого достаточно подписать 36 по 36, но сдвинув его на одну цифру вперед, вот так 36
А затем выполнить сложение в столбик.
Эту операцию можно проводить с любыми цифрами, будь то трехзначное или четырехзначное число.
Умножить на 11 можно и другим способом. Достаточно «раздвинуть» числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем, если эта сумма больше 9, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.
На 11 умножить можно и так: приписать к умножаемому числу 0, а затем прибавить его:
Умножение на 25, 50, 75, 125
Принимая во внимание, что
Соответствующим образом преобразовываем второй множитель:
Приемы сокращенного умножения
На 5: 46х5=46/2х10=230;
На 25: 83х25=80/4х100+3х25=2075;
На 125: 48х125=48/8х1000=6000;
На 155: ах155=100а+50а+5а
Умножение двух чисел, «близких» к 100
Когда каждый из множителей меньше 100, тогда:
(100-а)(100- b )=100х100-100а-100 b +а b =(100-а- b )х100+ ab .
(100+а)(100+ b )=100(100+ a + b )+а b
Подсчитаем число сотен произведения 100-(а+ b )=100-11=89
Возведение в квадрат чисел,
цифра единиц которых равна пять
а5ха5=(10а+5)(10а+5)=100а 2 +2х10х5а+25=100(а 2 +а)+25=100ха(а+1)+25==(а(а+1))25.
Получаем правило: для умножения числа, которое заканчивается цифрой пять на само себя, необходимо число десятков умножить на последующее число и к полученному произведению приписать произведение цифр единиц, то есть 25.
Аналогичным образом находится произведение двух чисел, которых количество десятков одинаковое, а сумма цифр единиц равна десяти.
35х35=1225, так как 3х4=12;
125х125=15625, так как 12х13=156;
42х48=2016, так как 4х5=20 и 2х8=16.при возведении в квадрат любых чисел можно воспользоваться свойством:
а 2 =а 2 — b 2 + b 2 =(а- b )(а+ b )+ b 2
Обычно в качестве b выбираем такое число, чтобы а+ b и a — b было круглым числом.
76 2 =(76+4)(76-4)+4 2 =80х72+4 2 =5760+16=5760 ( b=4) ;
76 2 =(76+6)(76-6)+6 2 =82х70+36=5740+36=5776 ( b =6).
34 2 =(34+6)(34-6)+6 2 =40х28+36=1156;
987 2 =(987+13)(987-13)+13 2 =1000х974+169=974169.
Способы быстрого деления чисел.
Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:
Нахождение частного, когда делитель равен 15, осуществляется по схеме:
Устный счет – это практическое явление, необходимое для развития вычислительных навыков и как следствие устной сдачи экзаменов.
Устное вычисление прекрасно стимулируют развитие памяти у детей и взрослых, увеличивают скорость мышления и улучшают сообразительность, тренируют внимание.
Школьники, развивающие навыки устного счета, очень быстро обгоняют по интеллекту своих одноклассников, полагающихся на калькуляторы.
Гибкость ума является предметом гордости людей, а способности производить быстрые вычисления в уме вызывают удивление.
Источник
Математика. 2 класс
Конспект урока
Математика, 2 класс
Урок № 16. Свойства сложения. Применение переместительного и сочетательного свойств сложения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Что такое сочетательное свойство сложения?
-В каких случаях можно использовать свойства сложения?
Глоссарий по теме:
Переместительное свойство сложения: слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.
Сочетательное свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):
1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др. –8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.44-47
2. Математика. КИМы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Глаголева Ю.И., Волкова А.Д.-М.: Просвещение, Учлит, 2017, с.18, 19
3. Математика. Проверочные работы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Волкова С.И.-М.: Просвещение, 2017.- с.28, 29
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сравним выражения и их значения:
Сумма чисел шесть и девять равна сумме чисел девять и шесть.
Сумма чисел сорок пять и пять равна сумме чисел пять и сорок пять.
Значения выражений равны, так как от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Вспомним, как в математике называется данное свойство сложения?
Правильно, оно называется переместительным свойством сложения.
В школьном спортзале 3 волейбольных мяча, 5 баскетбольных мячей и 4 футбольных мяча. Сколько всего мячей в спортзале?
Первый способ решения.
Сначала узнаем, сколько волейбольных и баскетбольных мячей, затем прибавим число футбольных мячей. Запишем: к сумме чисел три и пять прибавить четыре, получится двенадцать.
Второй способ решения.
Прибавим к числу волейбольных мячей сумму баскетбольных и футбольных мячей. Запишем: к трем прибавить сумму чисел пять и четыре равно двенадцать.
В обоих случаях получили одинаковый результат, значит, выражения равны между собой. Можем записать так: (3+5)+4=3+(5+4)
Теперь ты знаешь еще одно свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой. Это свойство называется сочетательным свойством сложения.
Знание этих двух свойств сложения позволит нам решать примеры на сложение удобным способом.
Решим выражение: 1+7+9+3=?
Мы знаем, что слагаемые можно менять местами и соседние слагаемые заменять их суммой. Воспользуемся свойствами сложения и найдем сумму.
В данном случае удобно сложить попарно 1 и 9, 7 и 3. А затем сложить полученные результаты. Получим 20.
Делаем вывод: используя переместительное и сочетательное свойства сложения можно складывать числа в любом порядке, как удобнее.
1. Вычислите суммы удобным способом
30 + 3 + 7 + 40 = _________ 4 + 10 + 6 + 70=_______________
1. 30 + 3 + 7 + 40 = (3+7)+(30+40)=80 2. 4 + 10 + 6 + 70= (10+70)+(4+6)
2. Совместите название математического свойства с его значением и выражением
Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.
Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.
Источник
