Учащийся второго класса изучают 8 предметов сколькими способами

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета.

Решение: А(способов).

На странице альбома 6 свободных мест для фотографий.

Сколькими способами можно вложить в свободные места

Решение: а) А

б) А

Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 и 6?

Объяснение: если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел которые можно составить из этих цифр равно числу размещений из 7 элементов по 3 А. Однако, среди данных семи чисел есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 нужно исключить те, у которых первым элементом является цифра 0.Их число равно числу размещений из 6 элементов по 2.

Значит, искомое число равно: А.

Решение: А

Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых: а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

Решение: а) А

б) А

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от 0?

Решение: А

А теперь рассмотрим такой сюжет:

Выясним, какие букеты можно составить.

Если в букет входит гвоздика a, то можно составить такие букеты:

Abc, abd, abc, acd, ace, adc.

Если в букет не входит гвоздика a, а входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:

Bcd, bce, bdc.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика a,гвоздика b, то можно составить букет

Мы показали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти.

Говорят, что составлены всевозможные сочетания из 5-ти элементов по 3.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов и обозначается с

в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы.

С

Поэтому пример про гвоздики можно быстро решить так:

Решение: С

Из 15 человек туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: С

Из вазы с фруктами, где лежат 9 яблок и 6 груш, нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: 3 яблока из 9-ти можно выбрать С способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать Сспособами. Поэтому по правилу умножения выбор фруктов можно сделать Сспособами.

Решение: С =

Задачи для закрепления.

В классе 7 человек успешно занимаются математикой.

Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: С

В лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить в командировку 5 человек.

Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий должен остаться.

Решение: а) Сб)С

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и три девочки.

Сколькими способами это можно сделать?

Решение: С

В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение: С.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов сколькими способами можно составить расписание на один день, что бы в нем было 4 различных предмета?

Боря-?,на 20% б, чем у Алеши

Вова-?,на 25% м,чем у Алеши

Ск. марок у Бори и Вовы?

Найдем сначала,ск марок у Алеши:

Ответ:у Бори 96 марок,у Вовы 60 марок.

60+40 = 100 игрушек изготовят оба класса за 1 урок

200 ÷ 100 = 2 урока им нужно, чтобы сделать 200 игрушек

Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби.
Для этого разложим знаменатель на множители
х³-2х²+2х=х(х²-2х+2)
Дискриминант квадратного трехчлена х²-2х+2 отрицательный, поэтому на множители не раскладывается

Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители
х+2=А·(х²-2х+2)+Mx²+Nx
х+2=(А+M)x²+(N-2A)x+2A
Слева многочлен первой степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х²
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа
A+M=0
N-2A=1
2A=2

Источник

Урок «Комбинаторика» (9-11 класс)

Часто приходится иметь дело с задачами выбора элементов из некоторой совокупности и расположения этих элементов в определенном порядке. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Роль таких задач важна не только в математике, но и физике, химии, биологии, технике и экономике. Комбинаторные задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, математической статистики и т. д.

Трудно переоценить значимость той роли, которую играет обучение методам решения комбинаторных задач в общеобразовательной школе. Освоение методов решения таких задач способствует развитию умственных способностей и математического кругозора ученика. Комбинаторные задачи несут широкие возможности для способов решения таких задач, которые могут служить как формы общих методов решения задач.

Для ознакомления первого правила комбинаторики-правила суммы мы предлагаем разбор следующей задачи:

Задача 1. На столе лежат 3 черных и 5 красных карандашей. Сколькими способами можно выбрать карандаш любого цвета?

Решение: Выбрать карандаш любого цвета можно 5+3=8 способами.

Правило суммы в комбинаторике:

Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент в- n способами, причем любой выбор элемента а отличен от любого выбора элементов в, то выбор «а или в» можно сделать m + n способами.

Задача 2. В классе 10 учащихся занимаются спортом, остальные 6 учащихся посещают танцевальный кружок. 1)Сколько пар учащихся можно выбрать так, чтобы один из пары был спортсменом, другой танцором? 2)Сколько возможностей выбора одного ученика?

Решение: 1)Возможность выбора спортсменов 10, а на каждого из 10 спортсменов выборов танцора 6. Значит, возможность выбора пар танцора и спортсмена 10·6=60.

2) Возможность выбора одного ученика 10+6=16.

Рассмотрим решение задачи, через которое сформулируем новое правило – правило произведения, неоднократно используемое при изучении последующего материала.

Задача 1. Из города А в город В ведут 3 дороги. А из города В в город С ведут 4 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Решение: Можно рассуждать таким образом: для каждой из трех путей из А в В имеется четыре способа выбора дороги из В в С. Всего различных путей из А в С равно произведению 3·4, т.е. 12.

Задача 2. В школьной столовой имеются 2 первых, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из первых, вторых и третьих блюд?

Решение: Первое блюдо можно выбрать 2 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 вторых блюд. Первые два блюда можно выбрать 2·5=10 способами. И, наконец, для каждой 10 этих выборов имеются четыре возможности выбора третьего блюда, т. е. Существует 2·5·4 способов составления обеда из трех блюд. Итак, обед может быть составлен 40 способами.

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

Рассмотрим на примере перестановку без повторений.

Задача: На полке лежат 3 книги. В каком порядке можно расставить эти книги?

Решение: Обозначим их буквами а, в, с. Эти книги можно расставить на полке по – разному:

авс, асв, вас, вса, сав, сва.

Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов. При решении этой задачи можно воспользоваться правилом умножения. Выбор первого места на полке три. Для каждого выбора первого места есть две возможности выбора второго места. Из трех книг один выбран для первого места. Остаются 2 остальные книги. Наконец, для каждого выбора первых, вторых мест только один выбор третьего места.

Опредление: Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Р n .

Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них всего п выборов. На второе место любой из оставшихся, т. е. n -1 выбор. На третьем месте любой из оставшихся после первых двух выборов, т. е. n -2 выбора и т. д. В результате получим: Р n = n ·( n -1)·( n -2)…2·1.

Если произведение обозначим 1·2·3…( n -1)· n = n !, то число всевозможных перестановок из к элементов вычисляется по формуле:

Сколькими способами можно расставить 7 бегунов на 7 дорожках?

Решение: Р 7 =1·2·3·4·5·6·7=5040 Ответ: 5040 способов.

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если цифры не повторяются?

Решение: Так как натуральное число не может начинаться с цифры 0, исключаем те числа, которые начинаются с цифры 0. Количество таких чисел

Р 5 – Р 4 = 1·2·3·4·5-1·2·3·4 = 120-24=96 Ответ: 96 чисел.

На собрание пришли 3 девочки и 4 мальчика. Сколькими способами можно их рассадить, если девочки хотят сидеть рядом?

Решение: Если рассмотреть девочек как одну, всего перестановок будет Р 5 . В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р 3 перестановок девочек. Искомое число перестановок:

Р 5 ·Р 3 = 5!·3!=1·2·3·4·5·1·2·3=720 Ответ: 720 способов.

Задача: Даны четыре различных шара: белый, зеленый, красный и синий. Их нужно поместить в 3 пустые ячейки. Сколько всего будет способов размещения шаров?

Решение: Сначала выпишем все варианты, которые начинаются с белого шара, затем – с зеленого и т. д.

бзк, бкз, бзс, бсз, бкс, бск.

збк, зкб, зсб, збс, зкс, зск.

кбз, кзб, ксб, кбс, кзс, ксз.

сбз, сзб, скб, сбк, скз, сзк.

Всего способов 24. В первую ячейку можно выбрать четырьмя способами. Во вторую – тремя, в третью – двумя. Всего способов 4·3·2=24. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.

Определение: Размещением из n элементов по к (к≤ n ) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

Каждое множество при размещении отличается порядком элементов или их составом.

Число размещений из n элементов по к обозначают А n .

Первый элемент можно выбрать n способами, второй n -1 и последний к-й элемент n -(к-1) способами.

А n = n ( n -1)( n -2)… ( n -( k -1))

Учащиеся одного класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предметов.

Решение: Расписание на один день отличаются либо порядком следования предметов, либо самими предметами. Значит, здесь речь идет о размещении

из 8 элементов по 4.

А 8 = 8·7·6·5=1680 Ответ: 1680 способов.

Сколькими способами тренер может распределить 10 спортсменов, на эстафете 4·100 на первом, во втором, третьем и четвертом этапах?

Решение: А 10 = 10·9·8·7·=5040 Ответ: 50400 способов.

3. Сколько существует пятизначных телефонных номеров, в каждом из которых все цифры различны и первая цифра различна отнуля? 5

Решение: Число размещений из десяти элементов по пять – А 10 . Число размещений

начинающихся с цифры ноль – А 9 . Число телефонных номеров равно:

А 10 – А 9 =10·9·8·7·6 – 9·8·7·6 = 27216 Ответ: 27216 номеров.

Задача: На столе лежат 5 разноцветных карандашей. Сколько способов для выбора 3 из них?

Решение: Обозначим карандаши буквами а, в, с, d , е. Можно составить такие сочетания: авс, ав d , abe , acd , ace , ade , bcd , bce , bed , cde .

Всего: 10 способов.

Определение: Сочетанием из n элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из данных n элементов.

Число сочетаний из n элементов по к обозначается С n .

В сочетаниях не имеет значения порядок элементов, сочетания отличаются составом элементов.

Допустим, имеется множество, содержащее n элементов, и из его элементов составлены

всевозможные сочетания по к элементов. Число таких сочетаний равно С n . В каждом сочетании можно выполнить Рк перестановок. В результате мы получим все размещения,

которые можно составить из n элементов по к. Их число равно А n .

Значит, А n = Cn · P к. Отсюда С n = А n

Умножим числитель и знаменатель, на ( n -к)!

1·2·3·…· k ·( n — k )! k !( n — k )!

Из 12 учеников нужно выбрать 3 ученика на улусный новогодний бал. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним учеником. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 12 элементов по 3:

С 12 = 1·2·3·…·9·10·11·12 = 220 Ответ: 220 способов

В классе 10 девочек и 8 мальчиков. Нужно выбрать троих дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор, если:

а) среди них должен быть 1 мальчик;

б) это могуть быть любые 3 ученика?

Решение: а) выбрать одного мальчика можно С 8 способами:

Выбрать из 10 девочек 2 дежурных можно С 10 способами:

Способов из 3 дежурных, среди которых 1 мальчик, всего:

С 8 ·С 10 = 8·45=360 Ответ: 360 способов.

б) любых 3 учеников из 18 учащихся можно выбрать

С 18 = 1·2·3…15·16·17·18 = 816 Ответ: 816 способов.

В корзине имеются 15 груш и 7 яблок. Нужно выбрать 5 груш и 3 яблока. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Способов выбора 5 груш:

С 15 = 1·2·…·10·11·12·13·14·15 = 360360 = 3003

Способов выбора 3 яблок:

Всего указанный выбор можно сделать С 15 ·С 7 способами:

С 15 ·С 7 = 3003·35=105105 Ответ: 105105 способов.

Сколькими способами можно расставить в ряд на одной полке 7 книг?

Сколькими способами можно выбрать трех человек на 3 различные должности из восьми кандидатов?

Из 11 футболистов нужно делегировать 3 человека. Сколькими способами это можно сделать?

Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?

На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 по 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?

Сколькими способами 6 учеников, сдающих зачет, могут занять места в кабинете, в котором стоят 20 одноместных столов?

Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отличная от нуля?

В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуются прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Из лаборатории в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться?

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Для ремонта школы прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трех из них надо отправить на четвертый этаж, а четырех — на пятый этаж. Сколькими способами это можно сделать?

В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?

Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов, и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки.

а) сколько встреч было между футболистами?

б) сколько встреч было между хоккеистами?

в) сколько встреч было между футболистами и хоккеистами?

г) сколько встреч было всего?

20. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что

рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой.

21. В классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу.

Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару обязательно

должны составить мальчик и девочка? б) без указанного условия?

22. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и

3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля,

если известно, что:

а) все певицы и певцы прекрасно ладят между собой;

б) певцы А и Б ни за что не будут петь вместе;

в) 6 певцов накануне сорвал голос на футболе, и одной певице придется петь мужскую

23. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может

выбрать из них для предстоящего турнира:

а) команду из 4 человек;

б) команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть

на первой, второй, третьей и четвертой досках?

24. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных;

б) старосту и помощника старосты.

25. Из 20 вопросов к экзамену Вова 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в

остальных что– то знает, а что- то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) сколько существует вариантов билетов?

б) сколько из них тех, в которых Вова знает все вопросы?

в) сколько из них тех в которых есть вопросы всех трех типов?

Источник