Размещения (продолжение)
Пример 1. Учащиеся 2 класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идет о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем
Итак, мы нашли, что расписание можно составить 3024 способами. 
Пример 2. Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из этих цифр, равно числу размещений из 7 элементов по 3. Однако среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 надо исключить те, у которых первым элементом является цифра 0. Их число равно числу размещений из 6 элементов по 2.
Значит, искомое число трехзначных чисел равно 
Из данных цифр можно составить 180 трехзначных чисел (без повторения цифр).
Упражнения
754. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
755. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
756. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?
757. Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в эстафете 4X100 м, побежит на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
758. В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. Сколькими способами это можно сделать?
759. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут — занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?
760. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места:
а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий?
761. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?
762. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:
а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8?
763. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?
764. Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их повторения) различных трехзначных чисел, которые являются:
Источник
Методика изучения темы: « Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в школьном курсе математики 7- 9 классов» Из опыта работы учителя математики МОУ – СОШ №5 (стр. 3 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 |
Если размещения из п элементов по п отличаются друг от друга только порядком элементов, то они представляют собой перестановки из п элементов
Пример1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета
Решение: Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идет о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем
А94 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024
Расписание можно составить 3024 способами
Пример2. Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6 ?
Решение Если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел ( без повторения цифр), которые можно составить из этих цифр, равно числу размещений
из 7 элементов по 3. Однако среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтом из размещений из 7 элементов по3 надо исключить те, у которых первым элементом является 0. Их число равно числу размещений их 6 элементов по 2. =
Значит искомое число трехзначных чисел равно
А73 — А62 = 
— 
= 5 ∙ 6 ∙ 7 — 5 ∙ 6 = 180.
3. Закрепление полученных знаний в процессе решения задач
№ 000. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Решение. Число способов равно А43 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
№ 000. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Т. к.любой из участников может быть как секретарем, так и председателем, то число способов их избрания равно
А302 = 
= = 29 ∙ 30 = 870
№ 000 Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1,3,5,7,9. б) 0,2,4,6,8?
Решение а) А54 = 
= 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120
б) ) А54 — А43 = 5! – 4! = 120 – 24= 96
Домашнее задание № 000, № 000, № 000, № 000.
6урок Тема: « Сочетания»
Цель: Дать понятие о сочетаниях, познакомить с формулой для вычисления сочетаний, научить применять эту формулу для подсчета числа сочетаний.
1 Проверка домашнего задания.
№ 000. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?
Решение: А74 = 
= 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 способов
№ 000 Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в эстафете 4х100м, побежит на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
Решение: А124 = 
= 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙12 = 90 ∙132 = 11 880
№ 000. В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: А105 = 
= 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10 = 30 240
№ 000. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой 20 одноместных столов?
Решение: А206 = 
= 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200
Организовать проверку домашнего задания можно разными способами: устно проверить решение домашних упражнений, решения некоторых из них записать на доске, а пока идет запись решений провести опрос уч-ся по вопросам:
1. Что означает запись п!
2.Что называется перестановкой из п элементов?
3.По какой формуле считают число перестановок?
4. Что называют размещением из п элементов по к?
5. По какой формуле считают число размещений из п элементов по к?
2 Объяснение нового материала
Пусть имеются 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами а, в, с, д, е. Требуется составить букет из трех гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.
Если в букет входит гвоздика а , то можно составить такие букеты:
авс, авд, аве, асд, асе, аде.
Если в букет не входит гвоздика а, но входит гвоздика в , то можно получить такие букеты:
Наконец, если в букет не входит ни гвоздика а, ни гвоздика в, то возможен только один вариант составления букета:
Мы указали все возможные способы составления букетов, в которых по – разному сочетаются три гвоздики из 5. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3, мы нашли, что С53 = 10.
Выведем формулу числа сочетаний из п элементов по к, где к ≤ п.
Выясним сначала , как С53 выражается через А53 и Р3. Мы нашли, что их 5 элементов можно составить следующие сочетания по 3 элемента :
авс, авд, аве, асд, асе, аде, всд, все, вде, сде.
В каждом сочетании выполним все перестановки. Число перестановок из 3 элементов равно Р3. В результате получим все возможные комбинации из 5 элементов по 3, которые различаится либо самими элементами, либо порядком элементов, т. е. все размещения из 5 элементов по 3. Всего мы получим А53 размещений.
Рассуждая в общем случае получим Спк = Апк : Рк,
Пользуясь тем, что Апк = 
, где к ≤ п., получим Спк = 
.
Это формула для вычисления числа сочетаний из п элементов по к при любом
Пример1. Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение : Каждый выбор трех красок отличается от другого хотя бы одной краской. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3
С153 = 
= (13∙ 14∙15 ) : (1∙ 2 ∙ 3 ) = 455
Приме2 В классе учатся 12 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории около школы требуется выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: Выбрать 3 мальчиков из 12 можно С123, а двух девочек из 10 можно выбрать С102. Т. к. при каждом выборе мальчиков можно С102 способами выбрать девочек, то сделать выбор учащихся, о котором говориться в задаче можно
С123 ∙ С102 = ∙ 
= 220 ∙ 45 = 9900
3) Закрепление нового материала, в процессе решения задач
У Саши в домашней библиотеке есть 8 исторических романов. Петя хочет взять у него 2 любых романа. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: С82 = 
= (7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56 : 2 = 28
В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира команду из 4 человек?
Решение: С164 = 
= (13∙ 14∙15 ∙16 ) : (1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820
№ 000 Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта спротзала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами можно это сделать?
С124 ∙ С52 = 
∙ 
= 495 ∙ 10 = 4950
Домашняя работа № 000, № 000, № 000, № 000
7урок Тема: « Решение задач на применение формул для подсчета числа перемещений, размещений, сочетаний»
Цель: Закрепление знаний учащихся. Формирование навыков решения простейших комбинаторных задач
1 Проверка домашнего задания
№ 000 В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Решение: С72 = 
= (6∙ 7) : 2 = 21
№ 000 В магазине « Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Решение: С83 = 
= (6 ∙ 7 ∙ 8) : (1∙ 2 ∙ 3 ) = 56
№ 000 Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Решение: С106 = 
= (7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : (1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210
№ 000 В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?
Решение: С103 ∙ С42 = 
∙ 
= 120 ∙ 6 = 720
1.Что называется перестановкой из п элементов?
2.По какой формуле считают число перестановок?
3. Что называют размещением из п элементов по к?
4. По какой формуле считают число размещений из п элементов по к?
5. Что называют сочетанием из п элементов по к?
6. По какой формуле считают число сочетаний из п элементов по к?
Задачи для совместного решения
При решении каждой задачи вначале идет обсуждение: какая из трех изученных формул поможет получить ответ и почему
1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 4,6,8,9, при условии, что все цифры разные?
2. Из 15 человек в группе студентов надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
3. Из 10 лучших учащихся школы два человека надо послать на слет лидеров.
Сколькими способами это можно сделать?
Замечание : В задаче №3 не имеет значения кого выбрать: любых 2 человек из 10, поэтому здесь работает формула для подсчета числа сочетаний.
В задаче №2 выбирают упорядоченную пару, т.к. в выбранной паре, если фамилии поменять местами это будет уже другой выбор, поэтому здесь работает формула для подсчета числа размещений
Ответы к задачам для совместного решения:
№1 24 числа. №2 210 способов. №3 45 способов
Задачи для совместного обсуждения и самостоятельных вычислений
№1Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?
(Можно посчитать число сочетаний из 6 по 2)
№2 Сколькими способами можно составить расписание для учащихся 1класса на один день, если у них 7 предметов, и в этот день должно быть 4 урока?
( Число размещений из 7 по 4 )
№3 В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти 6 стульев по — новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений.
(Надо посчитать число перестановок в множестве с 6 элементами)
№4 К хозяину дома пришли гости А, В,С, Д. За круглым столом – пять разных стульев. Сколько существует способов рассаживания?
( В гости пришли 4 человека + хозяин = 5 человек рассаживаются на 5 стульях, надо посчитать число перестановок)
5. В книжке раскраске нарисованы непересекающиеся треугольник, квадрат и круг. Каждую фигуру надо раскрасить в один из цветов радуги, разные фигуры в разные цвета. Сколько существует способов раскрашивания?
( Посчитайте число размещений из 7 по 3 )
№6 В классе 10 мальчиков и 4 девочки. Надо выбрать 3 человека дежурными так, чтобы среди них было 2 мальчика и 1 девочка. Сколькими способами это можно сделать?
(Число сочетаний из 10 по 2 умножить на число сочетаний из 4 по 1)
Ответы для задач с самостоятельным вычислением
Домашнее задание № 000, № 000
8 урок Тема: « Самостоятельная работа»
Цель: Проверка знаний учащихся
1.Проверка домашнего задании
№ 000 Сколько четных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр а) 1,2,3,7 . б) 1,2,3,4.
а) Наши числа должны оканчиваться четной цифрой, такая цйфра в условии одна это цифра 2 , поставим ее на последнее место, а оставшиеся 3 цифры будем переставлять, число таких перестановок равно 3! = 6 .Значит можно составить 6 четных чисел
б) рассуждаем как в примере а) поставив на последнее место цифру 2 получим 6 четных чисел, поставив на последнее место цифру 4 получим еще 6 четных чисел,
значит всего 12 четных чисел
№ 000 Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся можно выбрать: а) двух дежурных; б) старосту и его помощника?
а) т. к. дежурными могут быть любые 2 человека из 24 , то количество пар равно
С242 = 
= 23 ∙ 24 :2 = 276
б) здесь выдирают упорядоченную пару элементов из 24 элементов, количество таких пар равно А242 = 
= 23 ∙ 24 = 552
Далее предлагается самостоятельная работа
1 вариант решает задания № 1,2,3,4,5.
2 вариант решает задания №6,7,8,9,10.
Решение простейших комбинаторных задач
1. Сколькими способами можно расставить на полке пять книг разных авторов?
2. Сколькими способами можно составить полдник из напитка и пирожка, если в меню указаны: чай, кофе, какао и пирожки с яблоком или с вишней?
3. В среду по расписанию в 9 «А» классе должно быть 5 уроков: химия, физика, алгебра, биология и ОБЖ. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
4. Имеются 2 белых лошади и 4 гнедых. Сколькими способами можно
составить пару из лошадей разной масти?
5. Каким числом способов можно разложить 5 различных монет в 5 разных карманов?
6. В шкафу на полке лежат 3 шапки различных фасонов и 4 шарфа разных цветов. Сколькими способами можно составить набор из одной шапки и одного шарфа?
7. В финал конкурса красоты вышли 4 участницы. Сколькими способами
можно установить очередность выступления участниц финала красоты?
8.Имеются 4 утки и 3 гуся. Сколькими способами можно из них выбрать две разных птицы?
9. Сколькими способами можно разложить 5 разных писем по 5 разным
конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
10. В коробке хранятся 5 красных и 4 зелёных шара. Сколькими способами можно составить пару из шаров разного цвета?
Источник
