Учащиеся второго класса изучают 8 предметов сколькими способами можно составить расписание

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета.

Решение: А(способов).

На странице альбома 6 свободных мест для фотографий.

Сколькими способами можно вложить в свободные места

Решение: а) А

б) А

Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 и 6?

Объяснение: если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел которые можно составить из этих цифр равно числу размещений из 7 элементов по 3 А. Однако, среди данных семи чисел есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 нужно исключить те, у которых первым элементом является цифра 0.Их число равно числу размещений из 6 элементов по 2.

Значит, искомое число равно: А.

Решение: А

Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых: а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

Решение: а) А

б) А

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от 0?

Решение: А

А теперь рассмотрим такой сюжет:

Выясним, какие букеты можно составить.

Если в букет входит гвоздика a, то можно составить такие букеты:

Abc, abd, abc, acd, ace, adc.

Если в букет не входит гвоздика a, а входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:

Bcd, bce, bdc.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика a,гвоздика b, то можно составить букет

Мы показали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти.

Говорят, что составлены всевозможные сочетания из 5-ти элементов по 3.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов и обозначается с

в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы.

С

Поэтому пример про гвоздики можно быстро решить так:

Решение: С

Из 15 человек туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: С

Из вазы с фруктами, где лежат 9 яблок и 6 груш, нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: 3 яблока из 9-ти можно выбрать С способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать Сспособами. Поэтому по правилу умножения выбор фруктов можно сделать Сспособами.

Решение: С =

Задачи для закрепления.

В классе 7 человек успешно занимаются математикой.

Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: С

В лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить в командировку 5 человек.

Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий должен остаться.

Решение: а) Сб)С

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и три девочки.

Сколькими способами это можно сделать?

Решение: С

В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение: С.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Открытый урок на тему:»Элементы комбинаторики. Комбинаторные задачи» Для студентов 2 курса

КОНСПЕКТ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

ПО МАТЕМАТИКЕ НА II КУРСЕ

Дата проведения: 25.11.2016 Учитель: Мусатова Н.В.

Тема занятия: элементы комбинаторики

Закрепить формулы для нахождения числа перестановок, числа размещений и числа сочетаний в ходе решения задач.

Развивать умение анализировать и обобщать.

Развивать навыки самоконтроля, культуры общения, умение работать в коллективе; воспитывать такие качества характера, как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.

Тип занятия: интерактивный семинар

Формы работы: групповая, фронтальная.

Методы работы: интерактивный метод, беседа.

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

Технические средства: проектор, экран, персональный компьютер, презентации на электронном носителе.

Математика: учебн. пособие / В.С. Михеев [ и др. ] ; под ред. В.М. Демина. – Ростов н/Д: Феникс, 2013.

Просветов Г.И. Теория вероятностей и статистика для школьников: задачи и решения: Учебно-практическое пособие. — М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2012.

Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7 — 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2015.

В русских сказках повествуется, как, доехав до распутья, богатырь читает на камне: «Прямо поедешь — голову сложишь, направо поедешь — коня потеряешь, налево поедешь — меча лишишься». А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число этих комбинаций. Как называется раздел математики, который занимается решением таких задач?

С какими новыми понятиями вы столкнулись при изучении этой темы?

Сегодня мы с вами продолжим работать над темой «Элементы комбинаторики».

Откройте тетради, запишите число и тему урока « Элементы комбинаторики, решение комбинаторных задач».

Какие цели мы должны поставить перед собой на сегодняшнем занятии?

Какой теоретический материал для этого необходимо повторить?

Комбинаторика. Слово «комбинаторика» происходит от латинского « combinare » , что означает «соединять, сочетать»

Область применения методов комбинаторики очень широка.

Комбинаторные задачи. Факториал. Формулы для нахождения числа перестановок, числа размещений, числа сочетаний.

Применять основные формулы комбинаторики в ходе решения задач.

Определение комбинаторики как раздела математической науки. Выяснить отличие комбинаторных задач от других видов математических задач. Определение факториала. Повторить формулы комбинаторики.

2. Актуализация опорных знаний обучающихся (7 мин.)

(слайд 4 Блиц-опрос)

Сформулируйте определение комбинаторики как раздела математической науки.

Какое основное отличие комбинаторных задач от всех других видов математических задач?

Что такое факториал?

Приведите примеры комбинаторных задач.

А существуют ли другие способы решения комбинаторных задач?

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств

Вопрос любой комбинаторной задачи начинается словами «Сколькими способами можно осуществить тот или иной выбор?»

Факториал — это произведение n натуральных чисел от 1 до n включительно.

Сколькими способами 9 человек могут стать в очередь в театральную кассу? (перестановки)

Учащиеся I курса изучают 12 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 6 различных предметов? (размещения)

В группе 5 студентов успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? (сочетания)

Да, с помощью составления дерева возможных вариантов , т. Е. перебора всех возможных вариантов.

(Слайд 5) Ах, эти формулы

Раздать карточки с формулами

Заполняют карточки на соответствия формул

3. Закрепление изученного материала в ходе решения задач (23 мин.)

Работа в группах парами.

Группа № 1: Сколько существует перестановок букв слова «спорт» ? А если буквы с, п, о стоят рядом? (слайд 6)

Т. к. в слове «спорт» всего пять различных букв, то это будет число перестановок из пяти элементов, т.е. P ₅ = 1*2*3*4*5 = 120. Если буквы с, п, о поставить рядом, то они будут составлять единый элемент и их количество э уменьшится до трех и тогда число перестановок будет из трех элементов, т.е. P ₃ = 1*2*3 = 6.

Группа № 2: В кафе на обед предлагают два первых блюда: борщ и рассольник, три вторых блюда: гуляш, котлеты и пельмени. Укажите все возможные варианты обеда в этом кафе. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

гуляш котлета пельмени

гуляш котлета пельмени

Всего возможно 6 вариантов обеда.

Группа № 3:На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4х100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах? (слайд 8)

В данной задаче необходимо не просто перебрать число возможных вариантов, но и установить между выбранными элементами определенный порядок. Значит, необходимо использовать формулу числа размещений, т.е. А ₁₂ 4 = 12! / (12 -4)! = 12! / 8! = 9*10*11*12 = 11880.

Группа № 4: В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них три набора? (слайд 9)

Т.к. в данной задаче не важен порядок выбора наборов, то нужно использовать формулу числа сочетаний, т.е. С ₈ 3 = 8! / (8 — 3)!*3! = 8! / (5!83!) = (6*7*8) / (1*2*3) = 56.

4. Подведение итогов занятия (5 мин.)

С какими понятиями мы сегодня работали?

Что называется факториалом и как его вычислить?

Когда при решении комбинаторных задач надо пользоваться формулой числа сочетаний, а когда использовать формулу числа размещений? В чем их отличие?

Где мы можем встретиться с заданиями подобного рода?

Какие трудности у вас возникли при решении задач?

Ответы студентов на вопросы.

5. Рефлексия (2 мин.)

Продолжите предложение. (слайд 10 )

Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.

Размещением из n элементов конечного множества по k , где , называют упорядоченное множество, состоящее из k элементов.

Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k .

Учащиеся школы изучают 12 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день, чтобы в нём было 5 различных предметов?

Ответ: 95 040 способов.

Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?

В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:

N = A 3 ₁₀ = 10·9·8=720.

Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?

Состав различных групп должен отличаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, следовательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи n = 10, m = 3.

Получаем C 3 ₁₀ = 10!/3!7! = 120.

10 молодых людей решили отпраздновать окончание института товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие — по возрасту, третьи — по успеваемости, четвертые — по росту и т.д. Спор затянулся, суп успел остыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

— Друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как придется и выслушайте меня.

Все сели как попало. Официант продолжал:

— Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т.д., пока не перепробуете все возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами. Однако дождаться этого дня им не пришлось. И не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется, — ни мало, ни много, — 3 628 800. Такое число дней составляет почти 10 тысяч лет! Это, на первый взгляд, невероятно, но так оно и есть!

Задачи для самостоятельного решения (в классе и дома).

1). Сколькими различными способами могут сесть на скамейку

Ответ: а) 120 способов; б) 5 040 способов.

2). Сколько различных трехцветных флагов с тремя горизонтальными полосами можно получить, используя красный, синий и белый цвета?

3). Сколькими способами можно расставить по этапам четырёх участниц эстафеты в беге 4 х 100 м?

Ответ: 24 способа.

4). Составьте всевозможные трёхзначные числа, в которых все цифры разные, используя лишь цифры:

а) 7, 5, 1; б) 2, 0, 9.

а) Р ₃ = 3! = 6 – всего 6 чисел: 751, 715, 571, 517, 175, 157.

б) Р ₃ – Р ₂ = 3! – 2! = 4 – всего 4 числа: 209, 290, 902, 920. 5). Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, если каждая цифра может использоваться только один раз?

6). Учащиеся должны посетить во вторник по расписанию 5 уроков по следующим предметам: литература, алгебра, география, физкультура и биология. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, чтобы физкультура была пятым уроком?

Ответ: 24 способа.

7). Из цифр 2, 3, 4, 7 составлены всевозможные четырёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые:

а) начинаются с цифры 7;

б) не начинаются с цифры 4?

Ответ: а) 6 чисел; б) 18 чисел.

8). Из цифр 1, 2, 0, 5, 6 составлены всевозможные пятизначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые:

а) признак делимости на 4: если две последние цифры числа делятся на 4, то и всё число делится на 4. Следовательно, кратны 4 будут числа ***12, ***16, ***20, ***56. Количество чисел, оканчивающихся на 12, 16 и 56: Р ₃ – Р ₂ = 3! – 2! = 4 (т.к. 0 не может стоять на первом месте). Количество чисел, оканчивающихся на 20: Р ₃ = 3! = 6. Следовательно, .

б) Кратны 5 будут числа ****0: Р ₄ = 4! = 24 и ****5: Р ₄ – Р ₃ = 4! – 3! = 18. Следовательно, 24 + 18 = 42.

Ответ: а) 18 чисел; б) 42 числа.

д/з 9). В автомашине 5 мест. Сколькими способами в этой автомашине могут разместиться 5 человек, если место водителя могут занять только двое из них?

Ответ: 48 способов.

д/з 10). Чтобы открыть сейф, нужно набрать шифр, содержащий определённую последовательность из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, и другой шифр, содержащий последовательность из букв a , b , c , d , в которых буквы и цифры не повторяются. Сколько существует комбинаций, при которых сейф НЕ открывается?

Решение: (все возможные варианты минус один вариант, с помощью которого сейф можно открыть).

Ответ: 17 279 комбинаций.

д/з 11). Сколькими способами можно расставить на полке четыре книги по алгебре и три по геометрии, причём так, чтобы все книги по алгебре (в любом порядке) стояли рядом?

Решение: .

Ответ: 576 способов.

д/з 12). Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 4, 6, не повторяя цифр.

Решение: Р ₃ = 3! = 6 – всего 6 чисел.

246 + 264 + 426 + 462 + 624 + 642 = 2 664.

13). Число a = n ! + 1, где , является квадратом натурального числа. Найдите наименьшее значение a , если:

а) a – двузначное число;

б) a – трёхзначное число.

Решение: а) a = 25 при n = 4; б) a = 121 при n = 5.

14). Решите уравнение:

а) х ! = 5040; б) х ! + ( х – 1)! = 5760.

Задачи для самостоятельного решения (в классе и дома).

1). Сколькими способами могут быть присуждены первая, вторая и третья премии трём лицам из 10 соревнующихся?

Решение: . Ответ: 720 способов.

2). На станции имеется 8 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них четыре поезда.

Ответ: 1 680 способлв.

3). Сколькими способами можно изготовить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами из материала, имеющего 5 различных цветов?

Ответ: 60 способов.

4). Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 составьте четырёхзначные числа, в которых все цифры различны, а первой цифрой является 1 и второй – 3. Сколько таких чисел?

Ответ: всего 12 чисел: 1324, 1325, 1326, 1342, 1345, 1346, 1352, 1354, 1356, 1362, 1364, 1365.

д/з 5). В вагоне имеется 10 свободных мест. В вагон вошли 6 пассажиров. Сколькими способами они могут разместиться в этом вагоне на свободных местах?

Ответ: 151 200 способов.

6). Учащиеся школы изучают 12 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день, чтобы в нём было 5 различных предметов?

Ответ: 95 040 способов.

д/з 7). Вычислите: а) ; б) ; в) .

Ответ: а) 280; б) 720; в) 10.

8). Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные трёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, которые:

а) кратны 2; б) кратны 3; в) кратны 4; г) кратны 5?

Решение: а) Кратны 2 – заканчиваются на 2: или на 4:

б) Кратны 3 числа, составленные из цифр:

в) Кратны 4 числа, оканчивающиеся на 12 или на 24.

г) Кратны 5 числа, оканчивающиеся на 5.

Ответ: а) 24 числа; б) 24 числа; в) 12 чисел; г) 12 чисел.

9). Сколько различных натуральных чисел, меньших 1000, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 3, 7 без повторения цифр в числе?

Решение: меньше 1000 – это все однозначные, все двузначные и все трёхзначные числа.

Ответ: 259 чисел.

10). Решите уравнение: а) ; б) .

11). Найдите значение выражения , где .

Задачи для самостоятельного решения (в классе и дома).

1). Из спортсменов А, Б, В, Г, Д и Е выбирается пара для участия в соревнованиях по теннису. Сколько существует способов выбора этой пары?

Ответ: 15 способов.

2). На плоскости отмечены 10 точек, причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две из них проведена прямая. Сколько проведено прямых?

Ответ: 45 прямых.

3). Сколько диагоналей имеет выпуклый двенадцатиугольник?

Решение: 1-ый способ — ;

Ответ: 54 диагонали.

4). Сколькими способами можно упаковать 17 различных книг в две пачки, по 8 и по 9 книг в каждой?

Ответ: 24 310 способов.

5). Сколько нечётных делителей имеет число 3570? Сколько чётных делителей имеет это число?

Ответ: 15 нечётных и 27 чётных делителей.

6). Дано множество . Составьте все подмножества множества Х, которые:

а) не содержат элемента а; б) не содержат элементов b и d .

7). Сколько подмножеств имеет множество, содержащее:

а) 8 элементов; б) 10 элементов?

Решение: а) 2 8 = 256; б) 2 10 = 1 024.

Ответ: 256 подмножеств; б) 1 024 подмножеств.

д/з8). Из 10 разных цветков нужно составить букет, содержащий 3 цветка, 5 цветков, 7 цветков, 9 цветков. Сколькими способами это можно сделать?

Источник