У ювелира есть 5 изумрудов сколькими способами

Содержание

Треугольник Паскаля в комбинаторных задачах
Скачать:
Предварительный просмотр:
Обобщающий урок по теме «Элементы комбинаторики»

Треугольник Паскаля в комбинаторных задачах

В данной работе рассмотрены примеры решения комбинаторных задач и задач по теории вероятностей с помощью треугольника Паскаля.

Скачать:

Вложение	Размер
strokach_nikita_shkola_25._treugolnik_paskalya.rar	801.08 КБ

Предварительный просмотр:

Задача 1 .В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-ой диагонали и n-ой строки.

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56.

Задача 2. Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.

Задача 3. Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Найду диагональ четвёртую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 6. Вычислю факториал числа 2, получу 2. Искомое произведение равно 12.

Задача 4 . У ювелира есть пять изумрудов, восемь алмазов, четыре топаза. Сколькими способами он может сделать браслет, включив в него два изумруда, три алмаза и два топаза?

Два изумруда из пяти имеющихся можно выбрать 10 способами, три алмаза из восьми 56 способами, два топаза из четырёх 6 способами. Браслет можно сделать 3360 способами, т.е.

Задача 5 . В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Сначала найдём общее число возможных исходов, т.е. сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради из 12 тетрадей

А сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради в клетку из имеющихся 5 тетрадей?

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.

По формуле нахождения вероятности получим

Задача 6 .На плоскости даны 10 прямых, причём среди них нет параллельных и через каждую точку их пересечения проходят ровно две прямые. Сколько у них точек пересечения?

Решение: ответ находится на пересечении —

На плоскости даны 14 прямых, причём четыре из них параллельны и через каждую точку их пересечения проходят ровно две прямые. Сколько у них точек пересечения?

Решение: В предыдущей задаче было 10 непараллельных прямых и они имели 45 точек пересечения. Одна из 10 непараллельных пересекает четыре параллельные в 4 точках, т.е. добавим ещё 40 точек пересечения. В ответе получим 85 точек пересечения.

Сколько нечетных трехзначных чисел (без повторения цифр в числе) можно составить из цифр 1, 2, 3,4, 5?

Всего можно составить 60 чисел. Из них у 12 чисел запись заканчивается цифрой 1, у следующих 12 чисел на 2, ещё у 12 на 3, ещё у 12 на 4, у последних 12 на 5. Исключим 24 чётных числа, запись которых оканчивается на 2 и 4. Наш ответ 36 чисел.

В сумке 10 мячей, пронумерованных от 1 до 10. Наугад вынимают 2 мяча. Какова вероятность того, что это будут мячи с номерами 7 и 3?

Вынуть 2 мяча из 10 имеющихся можно 45 способами. Вероятность нашего события 2 из 45.

На плоскости даны 11 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит через три данные точки?

Сочетаний по три точки из одиннадцати будет 165. Три точки, не лежащие на одной прямой, составляют треугольник. Вокруг любого треугольника можно описать окружность только одну. Вокруг наших треугольников будет 165 окружностей.

Источник

Обобщающий урок по теме «Элементы комбинаторики»

Обобщающий урок
по теме
«Элементы комбинаторики»

Систематизировать изученный материал, подготовить учащихся к контрольной работе;

Развивать математическое мышление.

Не нужно нам владеть клинком,
Не ищем славы громкой.
Тот побеждает, кто знаком
С искусством мыслить тонким
Уордсворд

I. Фронтальный опрос

Вопрос 1 :
Как обозначается произведение чисел от 1 до n?

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается n! (n! =1 · 2 · 3…n)

Вопрос 2 :
Что называется размещением?
По какой формуле вычисляется размещение?
Ответ:

Размещением из n объектов по k называют любой выбор к объектов, взятых в определенном порядке из n объектов.

Число размещений из n объектов по k

обозначают и вычисляют по формуле:

1.Учащиеся 9 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?

A6 10= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5=151.200

Вопрос 3 :
Что называется перестановками?
Как обозначаются перестановки?
По какой формуле вычисляются перестановки?
Ответ:

Размещения из n э лементов по n называются перестановками.

Обозначение: P n

Формула для вычисления перестановок:

P n = A6 10 =n ·(n -1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1=n!

Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек, каждый из которых может быть водителем?

P5 = A55 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Вопрос 4.
Что называется сочетаниями? Как обозначаются сочетания и по какой формуле производятся вычисления?

Сочетаниями из n объектов по k называют любой выбор k объектов, взятых из n объектов.

В классе 25 учеников. Сколькими способами можно из них выбрать 4 учащихся для дежурства?

II. Решение задач в группах с последующим обсуждением

1.Вычислить: а) 3! б)5!

б) 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

2.В конкурсе участвуют 20 человек. Сколькими способами можно присудить первую, вторую и третью премии?

A3 20=20 · 19 · 18=6840

3.Сколько перестановок можно получить из букв, составляющих слово «апельсин».

Решение: P n=5!=1 · 2 · 3 · 4 · 5=120

4.Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 6 цветов?

III. Подведение итогов урока

Устные упражнения:
1. Делится ли число 30! на:

а) 90 б) 92 в) 94 г) 96 ?

2. Найти значение выражения:

3. Что больше: 6! · 5 или 5! · 6

для домашней зачетной работы

1 группа – «слабые»

2 группа – «средние»

3 группа – «сильные»

На тренировке занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером различных стартовых пятерок?

Сколько разных слов можно составить из слова «комбинаторика»?

Для составления букета из девяти цветов в магазине имеются розы, гвоздики, хризантемы и пионы. Сколькими способами можно составить из этих цветов букет?

Сколько существует четырехзначных номеров, не содержащих цифр 0, 5, 8?

Ответы и решения.

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторится?

Сколько чисел меньше миллиона можно записать при помощи цифр 8 и 9?

В магазине имеются в продаже яблоки, апельсины, груши и мандарины. Сколькими способами можно образовать набор из 12 фруктов?

Ответы 2 группа

2. Шестизначных чисел . , пятизначных – 32 четырехзначных – 16, трехзначных – 8, двухзначных – 4, однозначных – 2. Всего – 126

Во скольких девятизначных числах все цифры различны?

Между четырьмя игроками в домино поровну распределяется 28 костей. Сколькими способами могут распределяться кости домино( очередность выбора костей не влияет на результат).

У ювелира есть пять изумрудов. Сколькими способами он может сделать браслет, включив в него два изумруда, три алмаза и два топаза?

Ответы 3 группа

1.) 9 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 3265920

2. Первый игрок 7 костей может выбрать способами, второй игрок

способами, третий игрок способами, четвертый игрок

способами. Общее число способов =

3. Два изумруда из пяти можно выбрать

способов, три алмаза из восьми

способов, два топаза из восьми способ. Всего способов 10 · 56 · 21 = 11760

Контрольная работа по теме:

Цель: выявить степень усвоения учащимися изученного материалами и проанализировать ошибки, допущенные учащимися с целью дальнейшего их устранения: развивать навыки самостоятельной работы.

Из 30 участников собрание надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? способов Курьер должен развести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать? P7=7!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7=5040 способов. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

= 56 способов

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?

400400 способов

5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 7, 8?

P6-P5=6!-5!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6-1 · 2 · 3 · 4 · 5=720-120 =600

Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

способа

Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

P8=8!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8=40320

Учащимся дали список из 10 книг, которые нужно прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

способа

В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

способа

Сколько пятизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0, 2, 5, 6, 7?

Литература для учителя

1.Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений. , Под ред. Москва Просвещение 2003г.

2.События. Вероятности. Статистика. Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7-9 классов. , – Москва Мнемозина 2002г (к учебникам )

3.Алгебра 7-9. Элементы статистики и вероятности. , — Москва Просвещение 2003г (к учебникам и др

4. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей. Учебное пособие для 9-11 средней школы. Москва Просвещение 1990г.

5. . Математический тренинг. Москва Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС 1996г.

6. Основные понятия комбинаторики. Газета «Математика» №7 2004г.

7. Комбинаторика. Газета «Математика» №15, 16, 17 2004г.

8. Алгебра. Поурочные планы. 9 класс по учебнику , . Издательство «Учитель» 2004г.

Литература для учащихся

3.Алгебра 7-9. Элементы статистики и вероятности. , — Москва Просвещение 2003г (к учебникам и др.)

4. ероятность в играх и развлечениях. Москва Просвещение 1979г.

5.Математический энциклопедический словарь

6.Энциклопедия для детей Москва Аванта + 1998г

7.. Математический тренинг. Москва Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС 1996г.

Источник