Решение комбинаторных задач
Презентация на тему : » Решение комбинаторных задач «.
Просмотр содержимого документа
«Решение комбинаторных задач»
Решение комбинаторных задач
Выполнила: ученица 9Б класса МБОУ «СОШ № 47» Советского р-на города Казани Николаева Светлана Андреевна 2017-2018 учебный год
- Это раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана с другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и применяется в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).
- Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?
1) Таня — Петя, 2) Таня — Коля, 3) Таня — Витя, 4) Таня — Олег, 5) Оля — Петя, 6) Оля — Коля, 7) Оля — Витя, 8) Оля — Олег , 9) Наташа — Петя, 10) Наташа — Коля, 11) Наташа — Витя, 12) Наташа — Олег, 13) Света — Петя, 14) Света — Коля, 15) Света — Витя, 16) Света — Олег.
У мамы m яблок и n груш. Каждый день в течение пяти дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
- Имеем набор <я, я, г, г, г>. Всего перестановок пятиэлементного множества
- 5, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются
- местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок:
- 2 · 3. Получаем в итоге
- 5/2*3=3*4*5/2*3=10 Ответ: 10 способов.
Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Пронумеруем места в купе (с № 1 по № 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элементов (кто именно и на каком месте поедет). Число способов равно числу размещений из 4 по 3:
Можно рассуждать, непосредственно применяя правило произведения: для первого члена семьи можно выбрать любое из 4 мест, для второго — любое из 3 оставшихся, для третьего — любое из двух оставшихся, всего 4*3*2 = 24 способа рассадить семью в купе.
Ответ: 24 способа.
Сколькими способами можно расставить на полке 8 различных книг?
8! = 1*2*3*4*5 6*7*8= 40320. Ответ:40320
Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.
Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A7^3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.
- Ответ: 210.
У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имел равно 300, а ему дают не более трех имен?
Решение. 1) если выбрали одно имя то количество способов его выбрать = 300
2) если два имени:
300!/(2!*(300-2)!)=44850 (комбинация из 300 по 2)
300!/(3!*(300-3)!)=4455100 (комбинация из 300 по 3)
Ответ: 4500250 способов
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?
На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:
A107 – A96 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320
В урне лежат 10 жетонов с числами 1,2,3, . 10. Из нее, не выбирая, вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел не меньше 9
- Решение. Неблагоприятные исходы: (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4) (в этих случаях сумма чисел меньше 9). Всего исходов . Значит, всего благоприятных исходов С3\10. С3\10 – 4=120 – 4=116
Ответ: в 116 случаях
На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, и с сыром и с колбасой – 28 человек; и с колбасой и с ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?
Решение задачи становится очевидно, если описать условие с помощью диаграммы Венна (в виде пересекающихся кругов, изображающих множества), приняв следующие обозначения:
- А — множество туристов, которые взяли с собой бутерброды с колбасой;
- В — множество туристов, которые взяли с собой бутерброды с сыром;
- С — множество туристов, которые взяли с собой бутерброды с ветчиной.
- Начертим диаграмму…
- На этой диаграмме видно:
- а) Количество туристов, взявших с собой бутерброды всех трех видов (25).
- б) Количество туристов, взявших с собой бутерброды каких-либо двух видов (с учетом туристов, взявших с собой бутерброды всех трех видов) – соответственно 3, 1 и 6 человек (чтобы общее число этих людей в соответствии с условием было равно 28, 26 и 31 человек).
- в) Количество туристов, взявших с собой бутерброды какого-либо одного вида (с учетом туристов, перечисленных в пунктах а и б) – соответственно 13, 9 и 10 человек (чтобы общее число этих людей в соответствии с условием было равно 47, 38 и 42 человека).
- Тогда общее число любителей бутербродов составит 25 + 3 + 1 + 6 + 13 + 9 + 10 = 67 человек, Следовательно, пирожки взяли с собой 92 – 67 = 25 человек.
Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну — на правую так, чтобы выбранные перчатки были разных размеров?
- На левую руку можно выбрать любую из 6 перчаток на левые руки. На правую – любую из пяти перчаток на правую руку. Значит, всего способов 6 * 5=30.
Ответ: 30 способов
На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс или сочник, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в школьной столовой?
Решение. Собираем все варианты в таблицу.
- Булочка (Б)Ватрушка (В)Пирожок (П)Сок (С)Чай (Ч)
- В таблице 2 строки и 3 столбца, которые образуют 6 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоит один из возможных вариантов завтрака. Значит, всего вариантов столько, сколько клеток в таблице, то есть 6. Напиток можно выбрать двумя способами (сок или чай), а еду тремя способам.
2 ∙ 3 = 6 столовая предлагает 6 вариантов завтрака.
Ответ : 6 способов
Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
- Представим задачу в виде графа. Очевидно, что какой бы путь не выбрал объект, продвигаясь из пункта А в пункт В, по достижении пункта В он может выбрать любой из трех путей, позволяющих ему добраться из В в С.
Следовательно, путей, ведущих из А в С и проходящих через В, существует 5 * 3 = 15. Ответ : 15 способ
В купе железнодорожного вагона имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом к паровозу, 3 – спиной к паровозу, а остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?
- Разместим четверых желающих пассажиров лицом к паровозу (на 5 местах). Это можно сделать А способами, разместим троих желающих пассажиров спиной к паровозу. Это можно А сделать способами, Осталось 3 «безразличных» пассажира и для них 3 места. Их можно разместить 3 способами. Значит, всего способов размещения А*А=43200.
Ответ: 43200 способов
В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими способами можно купить 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?
число сочетаний из 10 по 8
В магазине «Все для чая» есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?
Выберем любой из 15 комплектов предыдущей задачи. Его можно дополнить ложкой четырьмя различными способами. Поэтому общее число возможных комплектов равно 60 (60 = 15 • 4 = 5 • 3 • 4). Ответ : 60 способов
Источник
У англичан принято давать детям несколько имен сколькими способами можно назвать ребенка если общее
2) Сколькими способами можно разложить 10 книг на 5 бандеролей по две книги в каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?
Решение:Р(2,2,2,2,2)=10!/5!(2!)^5
И можете мне объяснить как решаются еще две задачи.
в) Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
в) Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?
| Danilka |       Здравствуйте,помогите с задачками: 1. В классе,в котром учаться Петя и Ваня-31 человек.Сколькими способами можно выбрать футбольную команду так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно? 2. В партии из 10 деталей имееться 8 стандартных.Из этой партии на удачу взято 2 детали.Найдите закон рапределения случайной величины,ранвных числу стандартных деталей в выработке. |
| Всего сообщений: 4 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 23 мая 2009 8:16 | IP |
| Olegmath2 |
1. В классе, в котором учатся Петя и Ваня — 31 человек. Сколькими способами можно выбрать футбольную команду так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно? Пусть I – множество всех футбольных команд, которые можно составить из данного класса. Разобьём множество I на три попарно непересекающихся подмножества A, B и D, где A – множество всех футбольных команд, в состав которых входят Петя и Ваня, Подставим полученные значения в равенство (*): Отсюда |B|=84672315-(10015005+34597290)= 40060020. Вторая задача относится к теме «Теория вероятностей». |
| Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 23 мая 2009 11:50 | IP |
RKI  |
1) У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если ему дают не более трех имен, а общее число имен равно300? Посчитаем число способов дать ребенку одно имя. Таких способов n1 = 300 Посчитаем число способов дать ребенку два имени (причем порядок имен важен). Таких способов n2 = 300*299 Посчитаем число способов дать ребенку три имени (причем порядок имен важен). Таких способов n3 = 300*299*298 Источник |
