Центр тяжести способы определения координат центров тяжести тел

Содержание

Способы определения координат центров тяжести тел
Способы определения координат центра тяжести.
Способы определения координат центров тяжести тел

Способы определения координат центров тяжести тел

Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное твердое тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит, соответственно, в данной плоскости, оси или центре.

2. Разбиение. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).

Пример. Определить координаты центра тяжести пластины, изображенной на рис. 6.3.

Решение: Для нахождения центра тяжести пластины разбиваем ее на три прямоугольника и отмечает центры тяжести каждого из них: C₁, C₂ и C₃. Затем определяем координаты центров тяжести каждого прямоугольника и их площади:

Тогда координаты центра тяжести пластины, согласно формулам из раздела 6.2, будут равны:

см; см.

Ответ: см; см.

3. Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.

Пример. Определить центр тяжести круглой пластины, имеющей вырез радиусом r = 0,6 R (рис. 6.4).

Решение: Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины O₁. Площадь пластины без выреза S₁= πR 2 , , площадь выреза S₂ = πr 2 = π0,36R 2 . Площадь пластины с вырезом S₂ = =πR 2 (1 — 0,36)= 0,64πR 2 ; .

Пластина с вырезом имеет ось симметрию О₁x, следовательно, y_c=0.

4. Интегрирование. Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы , для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид: .

Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:

; ; .

Аналогично, формулы для определения координат центра тяжести площади:

; .

Формулы для определения положения центра тяжести линии имеют вид:

; ; .

Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике.

Пример. Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2α (рис. 6.5).

Решение: Дуга окружности симметрична оси Ох, следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох, y_с = 0. Выделим на дуге AB элемент длиной , положение которого определяется углом j. Координата x этого элемента будет равна .

Тогда, согласно формуле определения центра тяжести линии, получим:

где – длина дуги AB.

6. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.

Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля (рис. 6.6).

; ; .

Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.

Источник

Способы определения координат центра тяжести.

1. Симметрия.Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

2. Разбиение.Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

3. Дополнение.Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

Центры тяжести некоторых однородных тел.

1)Центр тяжести дуги окружности.Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 37).

Рис.37

Найдем координату x_C по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ длиною , положение которого определяется углом φ. Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения x и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L — длина дуги АВ, равная . Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

где угол α измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника ABD (рис. 38) прямыми, параллельными AD, на узкие полоски; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника.

Рис.38

Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан.

При этом, как известно,

Пример 1.Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 40.

Рис.40

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их: V₁=5·10·10=500 см 3 ; V₂=5·5·2=50 см 3 .

Поэтому координаты центра тяжести тела

см;

Пример 3.У квадратного листа 20×20 см вырезано квадратное отверстие 5×5 см (рис.42). Найдем центр тяжести листа.

Рис.42

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

см