Центр тяжести способ определения положения центра тяжести

Способы определения положения центров тяжести

Лекционный курс

Техническая механика

Занятие 1-2 (4 ч)

1. Теоретические основы механики.

2. Виды движения твердого тела

3. Износ и деформация

5. Типы и назначение редукторов

6. Назначение и классификация подшипников

7. Устройство и назначение инструментов и КИП, используемых при техническом обслуживании и ремонте оборудования

1. Теоретические основы механики

Механика— одна из древнейших наук. Она развивалась по мере накопления человечеством знаний об окружающем мире, своевременно отвечая на многочисленные запросы практики. В Древнем Египте при строительстве пирамид уже пользовались рычагами, наклонными плоскостями, блоками. Эмпирические знания помогли открыть законы механики. В древности не существовало деления науки по отраслям, поэтому механика, как и философия, естествознание, являлась составной частью учения о природе и обществе. И только в IV в. до н. э. начинается отделение частных наук от общего естествознания.

Таблица 1 — Ученые, внесшие вклад в открытие и совершенствование законов механики

Ученые в области механики

Имя	Годы жизни	Вклад Открытия
Архимед	(ок. 287 — 212 гг. до н. э.)	Основоположник механики как науки. Получил точное решение задач о равновесии сил, приложенных к рычагу, об определении центра тяжести тел.
Леонардо да Винчи	(1452 — 1519)	Ввел понятие момента силы. Изучал трение скольжения, движение падающего тела,
Николай Коперник	(1473 — 1543)	Заменил геоцентрическую систему Птолемея гелиоцентрической системой мира
И. Кеплер	(1571 — 1630)	Сформулировал три закона движения планет, которые привели к открытию Ньютоном закона всемирного тяготения.
Галилео Галилей	(1564 — 1642)	исследования в области механики твердого тела, гидродинамики и небесной механики.
Исаак Ньютон	(1643 — 1727)	Открытие и развитие законов динамики. Сформулированы общие принципы классической механики
Ломоносов М. В	(1711 — 1765)	развитие механики
Леонард Эйлер	(1707 — 1783)	Работы в области математики, гидромеханики и небесной механики следует отметить исследования по механике твердого и упругого тела. Заложил основы сопротивления материалов и теории упругости.
Иоганн Бернулли, Даниил Бернулли
Д’Аламбер
Ж. Лагранж
Вариньона и Пуансо	Развитие и статики
Шарль Кулон	1736 —1806	Найдены опытным путем и сформулированы в 1771 законы трения

Огромное значение для дальнейшего развития механики имели работы отечественных ученых XIX и XX вв.: М. В. Остроградского, П. Л. Чебышева, С. В. Ковалевской, А. М. Ляпунова, И. В. Мещерского, К. Э. Циолковского, А. Н. Крылова, Н. Е. Жуковского и др.

Современное развитие машиностроения требует решения специальных задач. Бурно развивается наука о прочности и деформируемости элементов сооружений и деталей машин — сопротивление материалов. В отличие от теоретической механики, в сопротивлении материалов рассматривают задачи, в которых наиболее существенными являются свойства деформируемых тел В то же время вследствие общности основных положений сопротивление материалов может рассматриваться как раздел механики, который можно назвать механикой деформируемых тел.

Теоретическая механика—наука, которая изучает механическое движение тел и устанавливает общие законы этого движения.

Теоретическая механика подразделяется на статику, кинематику и динамику.

Рисунок 1 – Разделы теоретической механики

Статика— это раздел теоретической механики, в котором изучаются законы приведения и условия равновесия сил, действующих на материальные точки. Встречающиеся в природе материальные тела обладают способностью под действием приложенных сил в той или иной мере деформироваться, т. е. менять форму вследствие изменения взаимного расположения образующих их частиц. Однако у большинства твердых тел (изготовленных из металлов, дерева) в нормальных условиях эти деформации пренебрежимо малы.

При рассмотрении общих условий равновесия деформациями большинства твердых тел в первом приближении можно пренебречь. В связи с этим в механике вводится понятие «абсолютно твердое тело».

Абсолютно твердое тело — тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным. АВ = const. Другим основным понятием статики является понятие силы.

Сила -векторная величина, представляющая собой меру механического воздействия одних тел на другие.

Механическое воздействие — взаимодействие материальных тел, в результате которого с течением времени происходит изменение взаимного положения этих тел в пространстве (механическое движение) или изменение взаимного положения частиц этих тел (деформация). Например, при штамповке деталей верхний штамп, падая, останавливается в результате взаимодействия с нижним штампом. Если же между ними положить заготовку, то в результате такого взаимодействия происходит деформация заготовки.

Материальной точкой называется абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь, мысленно сосредоточив всю массу этого тела в точке. Например, движение спутника вокруг планеты можно рассматривать как движение материальной точки, так как размеры спутника ничтожно малы по сравнению с размерами планеты.

Системой сил называется совокупность нескольких сил, действующих на данное тело.

Две системы называются эквивалентными, если, действуя на одно и то же твердое тело, они производят одинаковое механическое воздействие.

Внешние силы действуют на тело со стороны других материальных тел.

Внутренние силе действуют на части данного тела со стороны других частей этого же тела.

Если под действием данной системы сил свободное тело находится в покое, то такая система сил называется уравновешенной, или системой, эквивалентной нулю.

Если система сил эквивалентна одной силе, эта сила называется равнодействующей данной системы сил.

Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной точке, называется сосредоточенной силой.

Сила, действующая на определенную часть поверхности тела, называют распределенной.

При движении одного тела по поверхности другого в плоскости соприкосновения возникает сила сопротивления относительному скольжению этих тел. Первым явления трения исследовал Леонардо да Винчи.

Законы трения

1.Сила трения Fтр направлена в сторону, противоположную относительной скорости скольжения.

2.Сила трения не зависит от площади трущихся поверхностей.

3.Модуль силы трения пропорционален нормальному давлению.

Различают силу трения при покое и при движении:

Таблица 2 – Коэффициенты трения покоя и скольжения различных материалов

покоя скольжения Kамень по камню 0,6… 0,7 — Бетон по галечнику 0,5… 0,6 — Веревка по дереву 0,5… 0,8 0,5 Дерево по дереву 0,4… 0,7 0,3 Металл по дереву 0,4… 0,6 0,3 … 0,5 Бетон по песку 0,3… 0,4 — Kамень по дереву 0,4… 0,4 — Kожа по металлу 0,3… 0,35 0,3 Асбестовая обкладка по стали (чугуну) 0,25 — Бронза по чугуну 0,16 — Бронза по чугуну с обильной смазкой 0,12 — Сталь по льду 0,03 0,015 Сталь по чугуну, сталь по стали, чугун по чугуну 0,12 … 0,2 0,1

Трение качения или трением второго рода — сопротивление, возникающее при качении одного тела по другому.

Таблица 3 – Коэффициенты трения качения различных материалов

трения качтения для различных материалов

Материал	Kоэффициент трения качения k, см
Дерево по дереву	0,05 … 0,08
Дерево по стали	0,03 … 0,04
Чугун по чугуну	0,005
Мягкая сталь по мягкой стали	0,005
Закаленная сталь по закаленной стали	0,001

Пространственной система сил — линии действия которых имеют любые направления в пространстве.

Вектором момента силы относительно некоторого центра называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы, проведенного из этого центра, на вектор силы

Силы притяжения отдельных частиц тела направлены к центру Земли. Так как размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать параллельными. Равнодействующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть вес тела, а центр этой системы параллельных сил, в котором приложен вес тела, называется центром тяжести тела. Чтобы найти положение центра тяжести тела, необходимо изучить, как складываются параллельные силы и определяются координаты точки приложения их равнодействующей.

Способы определения положения центров тяжести

Способ разбиения на фигуры, положение центров тяжести которых известно, применяется в случаях, когда тело можно разбить на конечное число простых элементов.

Способ дополнения является частным случаем способа разбиения. Применяется, когда тело можно разбить на простейшие фигуры, положения центров тяжести которых известны, но некоторые из геометрических фигур представляют собой пустоты.

Способ интегрирования применяется в случаях, когда для определения положения центра тяжести не могут быть применены первые два способа.

Экспериментальный способ осуществляется двумя методами — подвешивания и взвешивания.

Метод подвешивания заключается в том, что плоское тело, которое нельзя разбить на простейшие фигуры с известным положением центров тяжести, подвешивают на нити. Вдоль этой нити на плоскости тела прочерчивают линию. Затем эту плоскую фигуру подвешивают за другую точку, после чего вновь проводят вертикальную линию (вдоль линии подвеса). В точке пересечения этих двух линий и находится центр тяжести.

Кинематика — раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения вне связи с силами, вызывающими это движение.

Изучается простейшая форма движения — механическое движение. Механическое движение всегда рассматривается относительно выбранной системы отсчета, которая может быть подвижной или условно неподвижной.

Например, при рассмотрении механического движения тел, находящихся на Земле, за неподвижную систему осей координат выбирают систему осей, неизменно связанных с Землей.

Дата добавления: 2018-04-05 ; просмотров: 1525 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Техническая механика

Методы нахождения центра тяжести

Наиболее часто для нахождения центра тяжести тела или фигуры применяют следующие методы:

• метод симметрии;
• метод разбиения;
• метод отрицательных масс.

Рассмотрим приемы, применяемые в каждом из перечисленных методов.

Метод симметрии

Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси x и z лежали в плоскости симметрии (см. рисунок 1) .

В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести G_i с абсциссой y_i = +a соответствует такая же элементарная частица с абсциссой y_i = -a , тогда:

Отсюда вывод: если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Аналогично можно доказать и следующие положения:

• Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;
• Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела находится в точке их пересечения;
• Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

Метод разбиения

Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют приведенные ранее формулы для определения общего центра тяжести тела.

Допустим, что мы разбили тело силой тяжести G на три части G’ , G» , G»’ , абсциссы центров тяжести этих частей x’_C, x»_C, x»’_C известны.
Формула для определения абсциссы центра тяжести всего тела:

Перепишем ее в следующем виде:

Последнее равенство запишем для каждой из трех частей тела отдельно:

Сложив левые и правые части этих трех равенств, получим:

Но правая часть последнего равенства представляет собой произведение Gx_C , так как

Следовательно, x_C = (G’x’_C + G»x»_C + G»’x»’_C)/G , что и требовалось доказать.
Аналогично определяются координаты центра тяжести на координатных осях y и z :

Полученные формулы аналогичны формулам для определения координат цента тяжести, выведенные выше. Поэтому в исходные формулы можно подставлять не силы тяжести элементарных частиц G_i , а силы тяжести конечных частей; под координатами x_i , y_i , z_i понимают координаты центров тяжести частей, на которые разбито тело.

Метод отрицательных масс

Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.

Практические методы определения центра тяжести тел

На практике для определения центра тяжести плоских тел сложной формы часто применяют метод подвешивания , который заключается в том, что плоское тело подвешивают на нити за какую-нибудь точку. Прочерчивают вдоль нити линию, и тело подвешивают за другую точку, не находящуюся на полученной линии.
Затем вновь проводят линию вдоль нити.
Точка пересечения двух линий и будет являться центром тяжести плоского тела.

Еще один способ определения центра тяжести, применяемый на практике, называется метод взвешивания . Этот метод часто применяется для определения центра тяжести крупных машин и изделий – автомобилей, самолетов, колесных тракторов и т. п., которые имеют сложную объемную форму и точечную опору на грунт.
Метод заключается в применении условий равновесия, исходя из того, что сумма моментов всех сил, действующих на неподвижное тело равна нулю.
Практически это осуществляется взвешиванием одной из опор машины (задние или передние колеса устанавливаются на весы), при этом показания весов, по сути, являются реакцией опоры, которая учитывается при составлении уравнения равновесия относительно второй точки опоры (находящейся вне весов).
По известной массе (соответственно – весу) тела, показанию весов в одной из точек опоры, и расстоянию между точками опоры можно определить расстояние от одной из точек опоры до плоскости, в которой расположен центр тяжести.
Чтобы найти подобным образом линию (ось), на которой расположен центр тяжести машины, необходимо произвести два взвешивания по принципу, изложенному выше для метода подвешивания (см. рис. 1а) .

Положение центра тяжести некоторых фигур

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей, иначе говоря, в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Пусть дан треугольник АBD (см. рисунок 2) .
Разобьем его на элементарные (бесконечно узкие) полоски, параллельные стороне AD . Центр тяжести каждой полоски будет лежать на медиане Bd (т. е. в середине каждой полоски) , следовательно, на этой медиане будет лежать и центр тяжести всей площади треугольника. Разбив треугольник на элементарные полоски, параллельные стороне AB , увидим, что искомый центр тяжести лежит и на медиане aD .
Проделав аналогичное действие с треугольником относительно стороны ВD , получим тот же результат – центр тяжести находится на соответствующей медиане.
Следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на точке пересечения его медиан, поскольку эта точка является единственной общей точкой для всех трех медиан данной геометрической фигуры.

Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 1:2 от основания. Следовательно, центр тяжести треугольника расположен на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

Дуга окружности. Возьмем дугу окружности АВ радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3) . Систему координат выберем так, чтобы начало координат было в центре окружности, а ось x делила дугу пополам, тогда y_C = 0 вследствие симметрии дуги относительно оси x . Определим координату центра тяжести x_C .

Разобьем дугу АВ на элементарные части l_i , одна из которых изображена на рисунке. Тогда, согласно сделанным выше выводам,

Дугу l_i вследствие малости примем за отрезок прямой. Из подобия треугольника OD_iC_i и элементарного треугольника S (на рисунке заштрихован) получим:

поскольку RΣΔy_i = AB , а Σl_i = l – длина дуги АВ . Но АВ = 2R sinα , а l = 2Rα , следовательно,

При α = π/2 рад (полуокружность) , x_C = 2R/π .

Круговой сектор. Возьмем сектор радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3а) . Проведем оси координат, как показано на рисунке (ось x направлена вдоль оси симметрии сектора), тогда y_C = 0 .

Определим x_C , для чего разобьем сектор на ряд элементарных секторов, каждый из которых из-за малости дуги l_i можно принять за равнобедренный треугольник с высотой R . Тогда центр тяжести каждого элементарного сектора будет находиться на дуге радиуса 2R/3 и задача определения центра тяжести сектора сводится к определению центра тяжести этой дуги.
Очевидно, что

При α = π/2 рад (полукруг) : x_C = 4R/(3π) .

Пример решения задачи на определение центра тяжести

Задача:
Определить положение центра тяжести сечения, составленного из двутавра № 22 и швеллера № 20, как показано на рисунке 4 .

Решение.
Из курса инженерной графики известно, что номер проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженного в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутавра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси y , то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т. е. x_C = 0 .
По справочнику определим площади и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения: А₁ = 15,2 см 2 ; y₁ = 22/2 = 11 см.
Для швеллерного сечения: А₂ = 12 см 2 ; y₂ = 22 + d – z₀ = 22 + 0,32 – 1,25 = 21,07 см ,
где d – толщина стенки швеллера; z₀ – размер, определяющий положение центра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения координаты центра тяжести всего сечения:

Источник