Фактически вычисление целой части числа x представляет собой округление до ближайшего к числу x целого числа в меньшую сторону (то есть округление с недостатком).
Функцию, ставящую в соответствие каждому значению x его целую часть — число [x], называют целой частью числа x и обозначают y=[x] .
Функция целая часть числа определена для любого действительного x (x∈R).
Область значений функции y=[x] — множество целых чисел (y∈Z).
По определению целой части числа
18,4
Таким образом, x∈[-9;-6) и
На промежутке [-9;-6) [x] принимает три значения.
Подставив в равенство (*) [x]= -9, найдём x:
Так как -9∈[-9;-8), то x= -9 — корень уравнения.
2. При x∈[-8;-7) [x]= -8, откуда
-7,5∈[-8;-7), поэтому x= -7,5 — корень уравнения.
3. При x∈[-7;-6) [x]= -7, и
-6∉[-7;-6), значит x= -6 не является корнем уравнения.
Источник
Целая и дробная части действительного числа
В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других вопросах математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа.
В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9 класса [1] отведено всего 34 строки. Рассмотрим более подробно эту тему.
Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х.
Целая часть числа обозначается символом [х ] и читается так: “целая часть х” или: “целая часть от х ”. Иногда целая часть числа обозначается Е(х) и читается так: “антье х ” или “ антье от х ”. Второе название происходит от французского слова entiere – целый.
Вычислить [x], если х принимает значения:
Из определения [x] следует:
[1,5] = 1, т.к. 1002.gif»/>Z, 1 [ 3 ] = 3, т.к. 3002.gif»/>Z, 3 [-1,3]=-2, т.к. –2002.gif»/>Z, -2 [-4] =-4, т.к. -4002.gif»/>Z, -41°. [ x ] = x , если х2°. [ x ]3°. [ x + m ] = [ x ] + m , где m1.4 [ x ]1.1 [ x ] = 3. По свойству 2° данное уравнение равносильно неравенству 3
— 5 004.gif»/> х + 1,3 — 4 008.gif»/> — 6,3 [ x ] + 1 + [ x ] – 2 – [ x ] – 3 = 5 008.gif»/> [ x ] = 9 008.gif»/> 9 1.4 [ x ]006.gif»/>- 7 [ x ] + 10 = 0 Пусть [ x ] = t , тогда t006.gif»/> — 7 t + 10 = 0 008.gif»/> 012.gif»/> 008.gif»/> Ответ : [ 2 ; 3 ) 2.1 [ x ] [ x ] 2.1 По 5° : 0,4 + m 17 [ x ]О [ 0 ; 95 ) следует [ x ]О Из данного уравнения следует, что < x >= [ x ] делаем вывод : < x >, соответственно, может равняться 0 ; 0 ; Ответ : Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению < x >=Т. к. данное уравнение равносильно уравнению х = 089.gif»/>, m О Z по 5°, то на координатной плоскости следует построить множество вертикальных прямых х =
090.gif»/>090.gif»/>091.gif»/>090.gif»/>092.gif»/>090.gif»/>093.gif»/>094.gif»/>095.gif»/>096.gif»/>097.gif»/> 099.gif»/> 101.gif»/> 103.gif»/> 0 087.gif»/> 106.gif»/> Источник
Методическое пособие на тему «Целая и дробная часть числа»
История и определение целой и дробной части числа
В эпоху Средневековья жил один из величайших английских учёных монах — францисканец Уильям Оккам. Он родился в Оккаме, английском графстве Серрей, где — то между 1285 и 1300 годами, учился и преподавал в Оксфорде, а затем в Париже. Преследуемый из-за своего учения, Оккам нашел себе убежище при дворе Людовика IV Баварского в Мюнхене и, благоразумно не покидая его, прожил там вплоть до своей кончины в 1349 г.
Оккама считают одним из предшественников великих мыслителей Рене Декарта и Иммануила Канта. Согласно его философским воззрениям, реальность есть бытие конкретной вещи, поэтому «тщетно делать с большим то, что можно делать с меньшим». Это высказывание стало основой принципа экономии мышления. Уильям Оккам применял его с такой разящей силой, что он получил впоследствии столь популярное сейчас название «бритвы Оккама».
Для многих людей, не сведущих в математике, общим местом стали вопросы типа «Что же ещё можно открыть в математике?». Учитывая математическую подготовленность спрашивающих, можно предположить, что речь идёт только о математике школьного уровня. Вполне в духе Оккама мы предлагаем вопрошающим, и в первую очередь самим учащимся, некоторые задачи, варьирующие хорошо знакомые им понятия целой и дробной частей числа. На этих задачах мы покажем, как важно рассматривать не каждую задачу в отдельности, а соединять их в систему, разрабатывая общий алгоритм решения. Такой методический приём диктует нам принцип экономии мышления Оккама.
Определение: целой частью числа х называется наибольшее целое число с, не превышающее х, т.е. если [х] = с, c ≤ x c + 1.
Обозначается целая часть действительного числа x символом [x] или E(x).
Символ [x] был введён немецким математиком К. Гауссом (1771-1855) в 1808 г. для обозначения целой части числа x .
Функцию у = [х] называют функцией «Антье» ( фр. e ntier — целый) и обозначается E(x). Этот знак предложил в 1798 году французский математик А.Лежандр (1752-1833) . По некоторым значениям функции можно построить её график. Он выглядит следующим образом:
Простейшие свойства функции y = [x]:
1. Область определения функции y = [x] есть множество всех действительных чисел R.
2. Область значений функции y = [x] есть множество всех целых чисел Z .
3. Функция y = [x] кусочно-постоянная.
4. Функция y = [x] неубывающая, т. е. для любых х 1 и х 2 из R таких,
что х 1 ≤ х 2 ,имеет место неравенство [ х 1 ] ≤ [ х 2 ].
5. Для любого целого числа n и любого действительного числа x выполняется равенство: [x + n] = [x] + n.
6. Если х ─ нецелое действительное число, то справедливо следующее равенство [-x] = -[x] — 1.
7. Для любого действительного числа х верно соотношение
[x] ≤ x ─ целое число, т. е. х Z.
Возникает вопрос: «Если есть функция целой части числа, может, есть и функция дробной части числа?»
Определение: дробная часть числа (обозначается <х>) есть разность х — [х].
Построим график функции у = <х>. Он выглядит следующим образом:
Простейшие свойства функции y = :
1. Область определения функции y = есть множество всех действительных чисел R.
2. Область значений функции y = есть полуинтервал [0;1).
3. Функция y = ограничена, т. е. для любого действительного числа x имеет место соотношение: 0 ≤
4. Для любого целого числа n и любого действительного числа х выполняется равенство: = , т. е. функция y = — периодическая с основным периодом, равным единице.
5. Если х ― нецелое действительное число, то справедливо равенство: <-x>= 1 — .
Представление о том, как выглядят графики функций у = [х] и у = <х>поможет выполнить и некоторые задания.
1) Построить графики функций:
2) Какими могут быть числа х и у, если:
3) Что можно сказать о величине разности х — у , если:
4) Что больше: [а] или <а>?
2.1. Простейшие уравнения
К простейшим уравнениям относятся уравнения вида [х] = а.
Уравнения такого вида решаются по определению:
Если а — дробное число, то такое уравнение не будет иметь корней.
Рассмотрим пример решения одного из таких уравнений:
[х + 1,3] = — 5. По определению такое уравнение преобразуется в неравенство:
Это и будет являться решением уравнения.
Ответ: х[-6,3;-5,3).
Рассмотрим ещё одно уравнение, относящееся к разряду простейших:
Для решения уравнений такого вида необходимо использовать свойство функции целого числа: Если р — целое число, то справедливо равенство
Доказательство: х = [х] +
х = k + а, где k = [х], а =
[ k + a ± p ] = [ k + a ] ± p = [х] ± p .
Решим предложенное уравнение, используя доказанное свойство: Получим [х] + 1 + [х] — 2 — [х] — 3 = 2. Приведём подобные слагаемые и получим простейшее уравнение [х] = 6. Его решением является полуинтервал х[6;7), который и будет решением данного уравнения.
Ответ: х[6;7).
Рассмотрим более сложное уравнение:
Преобразуем уравнение в неравенство: 1 ≤ х 2 -5х+6
3°. [ x + m ] = [ x ] + m , где m
1.1 [ x ] = 3. По свойству 2° данное уравнение равносильно неравенству 3 
[ x ] + 1 + [ x ] – 2 – [ x ] – 3 = 5 </p><p style=)
1.4 [ x ]. Так как y = < x >– периодическая функция с периодом 1, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке, длиной 1, например, на промежутке [ 0 ; 1 ), тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного на m, m О Z, график будет таким же.</p><p>а). Пусть х О [ 0 ; 1 ), тогда < x >= x и y = x . Получим , что на промежутке [ 0 ; 1 ) график данной функции представляет отрезок биссектрисы первого координатного угла, из которого исключен правый конец.</p><p style=)
. Воспользовавшись периодичностью, получаем бесконечное множество отрезков, образующих с осью Ох угол в 45° , из которых исключен правый конец.</p><p>Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.</p><p>Решить уравнение 17 [ x ] = 95</p><p>Т.к. < x >О [ 0 ; 1 ), то 95 < x >О [ 0 ; 95), а, следовательно, и 17 [ x ]О [ 0 ; 95 ). Из соотношения</p><p style=)
17 [ x ]О [ 0 ; 95 ) следует [ x ]О 
Из данного уравнения следует, что < x >= 
[ x ] делаем вывод : < x >, соответственно, может равняться 0 ; 
0 ; 
 , а целая часть чисел из промежутка [ 0 ; 1) равна нулю, то данная функция равносильна y = 0</p><p style=)
Источник
Z.
Простейшие свойства функции y = 
[-6,3;-5,3).
2 — 5х + 6
)/2]
[(5 +
