Тригонометрические неравенства графический способ

Простейшие и сложные тригонометрические неравенства

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими – ‹, › и нестрогими – ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Простейшие тригонометрические неравенства

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 – Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

1. На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
2. На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
3. Отметить точки пересечения двух графиков.
4. Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки – [ ]. Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства:

Способ 2 – Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

1. Сначала стоит начертить единичную окружность.
2. Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
3. Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
4. После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
5. Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы

являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

Сложные тригонометрические неравенства

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:

В результате должна получиться красивая кривая.

Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции

Пересечение двух графиков позволяет определить область искомых значений, при которых выполняется условие неравенства.

Найденный отрезок является решением для переменной t:

Однако, цель задания найти все возможные варианты неизвестной x:

Решить двойное неравенство достаточно просто, нужно перенести π/3 в крайние части уравнения и произвести требуемые вычисления:

Ответ на задание будет выглядеть как интервал для строгого неравенства:

Подобные задачи потребует опыта и сноровки учащихся в обращении с тригонометрическими функциями. Чем больше тренировочных заданий будет решено в процессе подготовке, тем проще и быстрее школьник найдет ответ на вопрос ЕГЭ теста.

Источник

Тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств графическим способом. 10-й класс

Класс: 10

Презентация к уроку

Оборудование: ПК, проектор, экран, аудиторная доска.

Тип занятия: изучение нового материала.

Образовательная цель:	сформировать навык решения тригонометрических неравенств, используя графический метод решения неравенств; отработать навыки построения графиков тригонометрических функций; познакомить учащихся с основоположниками тригонометрии и историей ее развития.
Развивающая цель:	обеспечить условия для развития умений анализировать, выделять главное, устанавливать единые общие признаки и свойства; научить применять знания на практике; научить критически оценивать свои знания.
Воспитательная цель:	воспитывать положительное отношение к знаниям; воспитывать дисциплинированность и добросовестность при выполнении заданий; воспитывать умение работать в парах (чувствовать индивидуальную ответственность за достижение результата).

Задачи:

• повторить следующие темы по математике: решение квадратных неравенств графическим способом, преобразование графиков тригонометрических функций, понятие arcsin, arccos, arctg и arcctg числа, решение тригонометрических уравнений;
• научить применять графический метод для решения тригонометрических неравенств;
• отработать навыки построения графиков тригонометрических функций;
• расширить кругозор учащихся об истории развития Тригонометрии;
• для активизации познавательной деятельности учащихся применять различные формы и методы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная и групповая (работа в парах) формы работы, использование игровых технологий.

Структура занятия:

1. Организационный момент, проверка домашнего задания (3 мин.);
2. Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (5 мин.);
3. Объяснение нового материала (10 мин.);
4. Экспертная работа (5 мин.);
5. Самостоятельная работа в парах (10 мин.);
6. Домашнее задание (2 мин.);
7. Игра “Поле чудес” (6 мин.);
8. Рефлексия деятельности (итог урока) (4 мин.).

Пояснение к уроку: во время урока учащиеся выставляют баллы в “Рабочую карту урока” согласно правилам, описанным в данной карте. В конце урока подводится итог работы учащихся по количеству набранных баллов.

1. Организационный момент, проверка домашнего задания

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.”.

Давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, проверим домашнее задание на сегодня.

Проверка домашнего задания:

№ 11.27 (а, б), № 11.29 (б, е), № 11.30 (б)

Никольский С. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс – М.: Просвещение, 2013.

За каждое правильно выполненное задание – 1 балл в рабочую карту занятия в колонку “Домашняя работа”.

2. Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности

Тема нашего урока – Тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств графическим способом.

Давайте запишем дату и тему урока в тетрадь.

Перед Вами на сегодня стоит задача – научиться применять графический метод для решения тригонометрических неравенств.

Поработаем сначала устно, чтобы вспомнить те понятия и приемы, которые нам понадобятся для изучения новой темы.

За каждый правильный ответ учащиеся получают 1 балл в рабочую карту занятия в колонку “Устная работа”.

Инструкция по работе с презентацией: при подведении курсора к ответу и нажатии левой кнопки мыши: неверные ответы исчезают, а в области верного ответа всплывает окно со словом “Верно”.

3. Объяснение нового материала

Если вспомнить определение тригонометрического уравнения – это уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, тогда легко можно дать определение тригонометрического неравенства – это неравенство, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции.

Для решения тригонометрических неравенств мы будем использовать графический метод.

Рассмотрим решение неравенства

Построим график функции: и проведём прямую .

Определим точки пересечения данных графиков:

Заштрихуем область, при которой значения функции больше

, если, например,

Так как функция периодическая (Т=), значит, ,

Ответ: ,

Рассмотрим решение неравенства

Пусть . Получим неравенство

Рассмотрим графики функций и Множество решений неравенства составляют абсциссы точек графика расположенных выше точек графика

Получим неравенство

Следовательно,

Ответ: , [2].

4. Экспертная работа

К доске приглашаются двое учащихся, хорошо разобравшихся в материале и желающих ответить у доски, они будут выступать в роли экспертов, остальные учащиеся могут поправлять их решение по мере надобности с места.

1. Ответ: ,

2. Ответ: ,

За работу у доски учащиеся получают 1-3 балла, за работу с места 1 балл.

5. Самостоятельная работа в парах

Прежде чем перейти к выполнению самостоятельной работы, необходимо заметить, что при решении более сложных тригонометрических неравенств, их с помощью преобразований сводят к простейшим тригонометрическим неравенствам, используя при этом те же приёмы, что и при решении тригонометрических уравнений.

Учащиеся выполняют задание, обмениваются тетрадями и проверяют работу соседа по парте, выставляя соответствующие баллы, ответы представлены на экране, подробное решение неравенств под номером 3 необходимо заранее подготовить на аудиторной доске.

Для решения тригонометрических неравенств графическим методом можно использовать Приложение № 2 к данному уроку.

Вариант № 1 Решить неравенства	Вариант № 2 Решить неравенства
1.	1.
2.	2.

За каждое верное задание № 1,2-1 балл, № 3 – 3 балла.

Подведение итогов изучения новой темы. Учащимся необходимо ответить на вопросы учителя.

Вопросы:

• Какой метод мы использовали для решения тригонометрических неравенств?
• Что необходимо предпринять, чтобы решить тригонометрическое неравенство графическим способом?
• Как влияет периодичность тригонометрических функций на ответ при решении тригонометрических неравенств?

За каждый правильный ответ учащиеся получают 1 балл в рабочую карту занятия в колонку “Устная работа”.

6. Домашнее задание

Никольский С. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс – М.: Просвещение, 2013.

п. 11.5, 11.6, № 11.34 (б), 11.36 (в), 11.37 (в), 11.38 (б), 11.41 (б)

Дополнительное задание (по желанию):

Решить неравенство

7. Игра “Поле чудес”

Игра построена по принципу одноименной телевизионной игры. Учитель читает задание, учащиеся могут открыть любую букву, если выполнят скрытое в данной ячейке задание.

За каждую угаданную букву (решенное задание) учащиеся получают 1 балл, за отгаданное слово – 5 баллов.

Инструкция по работе с презентацией: при подведении курсора к ячейке, за которой скрывается буква, и нажатии левой кнопки мыши: появляется задание, которое необходимо выполнить, при повторном нажатии левой кнопки мыши в данную область появляется скрытая там буква.

Древнегреческий астроном, географ и математик II века до н.э., часто называемый величайшим астрономом античности. Главной заслугой его считается то, что он привнёс в греческие геометрические модели движения небесных тел предсказательную точность астрономии Древнего Вавилона.

При разработке теорий Луны и Солнца он использовал античный вариант тригонометрии. Возможно, он первым составил таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций.

Швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С.К. Котельников) и астрономы (С.Я. Румовский) были его учениками.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана этим выдающимся математиком XVIII века. Именно он первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.

Ответ: Леонард Эйлер

Наука об измерении треугольников. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса, а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре..

Раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

Рефлексия деятельности (итог урока)

Рабочая карта занятия Учащегося ________________________ ____ “ ” класса

о/т — оценка товарища, о/у- оценка учителя, с/о – самооценка, о/г-оценка группы Домашняя работа
с/о

Общее количество баллов, по 1 за каждое правильно выполненное задание. Устная работа
о/у

Общее количество баллов, по 1 за каждый правильный ответ. Экспертная работа (работа у доски)
о/г

1-3 балла за работу у доски,

1 балл за работу с места. Самостоятельная работа в парах
о/т

За каждое верное задание

№ 3 – 3 балла. Игра “Поле чудес”
о/у

Общее количество баллов, по 1 за каждый правильный ответ, за отгаданное слово – 5 баллов. Итог: _____ Итог: _____ Итог: _____ Итог: _____ Итог: _____ Итог: общее кол-во баллов ___/ Оценка ___

• 16 и более баллов – оценка “5”
• 11 — 15 баллов – оценка “4”
• 6 — 10 баллов – оценка “3”

Литература:

1. Никольский, С.М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/ С. М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2013.
2. Чулков, П.В. Материалы курса “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики”: Лекции 5-8./ П.В. Чулков. – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2010.
3. Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: учеб. пособие/ В.К. Егерев, Б.А. Кордемский, В.В. Зайцев и др.; Под ред. М.И. Сканави. – М.: “Столетие”, 1997.

Источник