Кинематика
Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движение материальных тел с геометрической точки зрения, без учета массы и действующих на них сил. Способы задания движения точки: 1) естественный, 2) координатный, 3) векторный. Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении.
Естественный сп . указывается траектория точки, закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты: s=f(t) – закон движения точки. При прямолинейном движении: х= f(t).
Координатный сп . положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения точки: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t).
Если движение в плоскости, то два уравнения движения. Уравнения движения описывают уравнение траектории в параметрической форме. Исключив из уравнений параметр t , получаем уравнение траектории в обычном виде: f(x,y)=0 (для плоск-ти).
Векторный сп . положение точки определяется ее радиус-вектором , проведенным из какого-либо центра. Кривая, которая вычерчивается концом какого-либо вектора, назыв. годографом этого вектора. Т.е. траектория – годограф радиус-вектора. Связь между координатным и векторным способами: ,
( – орты – единичные вектора, сонаправленные с какой-либо осью)
модуль , направляющие косинусы: и т.д.
Переход от координатного способа к естественному: .
Скорость точки . Вектор ск-сти: – первая производная от радиус-вектора по времени (точка обозначает производную по времени); . Проекции скорости: , , . Модуль скорости:
, направляющие косинусы: и т.д. Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным. При естественном сп.: – модуль скорости, вектор скорости: , – орт касательной, т.е. скорость всегда направлена по касательной к траектории. Если v>0, то движение происходит в сторону положительного отсчета дуговой координаты и наоборот. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, j = j ( t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости ; x=rcos j , y=rsin j .
Ускорение точки . , [ м/сек 2 ]. Проекции уск.-я: и т.д. Модуль уск.-я: , направляющ. косинусы: , и т.д.
При задании движения в полярных координатах: проекции ускорения на радиальное направление , поперечное направление , модуль ускорения . При естественным сп. задания движения полное ускорение раскладывают на нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения: . Модуль нормального ускорения: , r – радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено по нормали к траектории ( ^ к касательной) всегда к центру кривизны, т.е. в сторону вогнутости. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль касательного ускорения , направлено по касательной к траектории, либо в сторону скорости, либо в обратную. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. При ускоренном движ-ии направление касат. уск. и скорости совпадают, при замедленном – противоположно. ^ , Þ . Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости Þ его проекция на бинормаль равна 0 (главная нормаль лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости плоской кривой, бинормаль – ^ к главной нормали и касательной). Частные случаи движения точки : 1) Прямолинейное: радиус кривизны r = ¥ (бесконечно большой) Þ а n =0, a=a t . 2) Равномерное криволинейное движ-ие: v=const Þ a t =0, a=an. Уск. появляется только за счет изменения направления скорости. Закон движ-ия: s=s0+v × t, при s0=0 v=s/t.
3) Равномерное прямолинейное движ-ие: а= a t =an=0. Единственное движ-ие, где а=0.
4) Равнопеременное криволинейное движ-ие: a t =const , v=v0+a t × t, . При равноуск. движении знаки у a t и v одинаковы, при равнозамедленном – разные.
Простейшие движения твердого тела: поступательное и вращение вокруг неподвижной оси. Поступательное движение тела – такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельное самой себе. При поступат. движ. все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Вращательное движение тела – такое движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела. При этом движении все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Урав-ние (закон) вращательного движ.: j = f(t) – угол поворота тела в радианах. (1 рад= 180 о / p =57,3 о ).
Угловая ск-сть : , [ рад/с ] – определяет быстроту изменения угла поворота.
Вектор угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, направлен вдоль оси вращения так, что если смотреть ему навстречу вращение будет против час. стрелке. » n»– число оборотов в мин. [об/мин], 1об=2 p рад, . Угловое ускорение тела: , [ рад/с 2 ]. Вектор углового ускорения также направлен вдоль оси вращения. При ускоренном движении совпадает по направлению с угловой скоростью и противоположно при замедленном вращении.
Частные случаи вращения тела: 1) Равномерное вращение: w = const, j = w t, w = j /t,
2) Равнопеременное вращение: w = w 0 + e t; , здесь начальный угол j 0 =0.
Скорости и ускорения точек вращающегося тела. – скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус–вектор этой точки. Модуль векторного произведения: v= w × r × sin( a )= w × (CM) , (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения. Направлен вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка М, в сторону вращения.
w x , w y , w z – проекции вектора угловой скорости. Проекция вращательной (окружной) скорости: vx= w y z – w z y; vy= w z x – w x z; vz= w x y – w y x. Если ось вращения совпадает с осью z, то vx= – w y; vy= w x. Ускорение : . Вращательное ускорение , модуль вращат. уск. а вр = e × r × sin a , направлено по касательной к траектории точки, т.е. параллельно скорости. Центростремительное (осестремительное) ускорение , а ц = w 2 × R, направлено по радиусу к оси (центру) вращения. Модуль полного уск.: . Угол, между векторами полного и центростремит-ного ускорений: .
Источник
iSopromat.ru
Рассмотрим три существующих способа задания движения материальной точки: координатный, векторный и естественный.
Чтобы иметь возможность определить параметры движения точки необходимо задать закон ее движения.
В зависимости от известных величин и поставленной задачи могут быть использованы следующие способы задания движения точки: векторный, координатный и естественный.
Векторный
При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.
Координатный
При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:
Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t.
Естественный
При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t). Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Источник
Способы задания движения точки
Для решения задач кинематики необходимо, чтобы изучаемое движение было задано. Оно считается заданным, если в любой момент времени однозначно можно определить положение точки в пространстве относительно заданной системы отсчета. Используют три основных способа задания движения точки: векторный, координатныйи естественный.
Векторный способ. Положение движущейся точки М в любой момент времени можно определить с помощью ее радиус-вектора, проведенного из центра О, связанного с телом отсчета, в точку М (рис. 1.1). Чтобы задать движение векторным способом, необходимо определить векторную функцию времени в виде:
(1.1)
Зависимость (1.1) называют уравнением движения точки в векторной форме. Начало радиус-вектора движущейся точки находится в точке О, а конец его перемещается по траектории вместе с точкой М. Геометрическое место концов радиус-вектора, т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.
Координатный способ. С телом отсчета связывают прямоугольную систему декартовых координат, при этом положение точки определяют ее координатами, которые являются скалярными функциями времени (рис. 1.2):
(1.2)
Уравнения (1.2) называют уравнениями движения точки в координатной форме. Они являются параметрическими уравнениями траектории точки. Исключив из этих уравнений параметр – время, можно получить уравнение траектории.
Между способами задания движения точки имеется связь. Так, если начало декартовой системы координат совпадает с центром, из которого проводится радиус-вектор точки при векторном способе изучения ее движения (см. рис. 1.2), то координаты точки равны проекциям на соответствующие оси радиус-вектора точки
,
где 
– единичные орты координатных осей.
Естественный способ. Этот способ используют в тех случаях, когда заранее известна траектория точки. На траектории выбирают неподвижную точку О (начало отсчета), а также положительное и отрицательное направления отсчета расстояний точки от начала отсчета (рис. 1.3). Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться зависимостью криволинейной координаты S = ОМ от времени
(1.3)
Связь между координатным и естественным способами определяется выражением
,
где 
– первые производные от координат точки по времени; С – постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.
Источник
Способы задания движения точки
Для решения задач кинематики необходимо, чтобы изучаемое движение было задано. Оно считается заданным, если в любой момент времени однозначно можно определить положение точки в пространстве относительно заданной системы отсчета. Используют три основных способа задания движения точки: векторный, координатныйи естественный.
Векторный способ. Положение движущейся точки М в любой момент времени можно определить с помощью ее радиус-вектора, проведенного из центра О, связанного с телом отсчета, в точку М (рис. 1.1). Чтобы задать движение векторным способом, необходимо определить векторную функцию времени в виде:
(1.1)
Зависимость (1.1) называют уравнением движения точки в векторной форме. Начало радиус-вектора движущейся точки находится в точке О, а конец его перемещается по траектории вместе с точкой М. Геометрическое место концов радиус-вектора, т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.
Координатный способ. С телом отсчета связывают прямоугольную систему декартовых координат, при этом положение точки определяют ее координатами, которые являются скалярными функциями времени (рис. 1.2):
(1.2)
Уравнения (1.2) называют уравнениями движения точки в координатной форме. Они являются параметрическими уравнениями траектории точки. Исключив из этих уравнений параметр – время, можно получить уравнение траектории.
Между способами задания движения точки имеется связь. Так, если начало декартовой системы координат совпадает с центром, из которого проводится радиус-вектор точки при векторном способе изучения ее движения (см. рис. 1.2), то координаты точки равны проекциям на соответствующие оси радиус-вектора точки
,
где – единичные орты координатных осей.
Естественный способ. Этот способ используют в тех случаях, когда заранее известна траектория точки. На траектории выбирают неподвижную точку О (начало отсчета), а также положительное и отрицательное направления отсчета расстояний точки от начала отсчета (рис. 1.3). Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться зависимостью криволинейной координаты S = ОМ от времени
(1.3)
Связь между координатным и естественным способами определяется выражением
,
где – первые производные от координат точки по времени; С – постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.
Источник
