Три способа решения неравенств

Основные правила решения неравенств. Алгебра 9 класс

Теория:

Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Дробно-рациональные неравенства.

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

1. I. Квадратные неравенства, то есть неравенства вида

ax 2 + bx + c > 0 ( 0. Если это не так, то умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим желаемое.

Чтобы решить неравенство можно:

1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x — x₁) (x — x₂) > 0 ( 0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

• Решить неравенство. x 2 + x — 6 > 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x — 2) > 0

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

3) x² + 4x + 15 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

1. 1 + х — 2х² 0. Ответ:
2. При каких значениях a неравенство

x² — ax > выполняется для любых х? Ответ:

1. II. Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a_n (x — x₁) (x — x₂) ·…· (x — x_n) > 0 ( 4 — 6x 3 + 11x 2 — 6x 4 — 6x 3 + 11x 2 — 6x = x (x 3 — 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 — x 2 — 5x 2 + 5x +6x — 6) =x (x — 1)( x 2 -5x + 6) =

x (x — 1) (x — 2) (x — 3). Итак, x (x — 1) (x — 2) (x — 3) 5 (x + 2) (x — ½) 7 (2x + 1) 4 4 не меняет знак при переходе через точку х = — ½.

3) Решить неравенство: х 2 (х + 2) (х — 3) ≥ 0.

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

Решением (1) является х (-∞; -2) (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2] <0>[3; +∞).

1. (5х — 1) (2 — 3х) (х + 3) > 0. Ответ:
2. x 3 + 5x 2 +3x — 9 ≤ 0. Ответ:
3. (x — 3) (x — 1)² (3x — 6 — x²) 0 ( 0 ( 0, > 0, > 0

Найдем нули числителя и знаменателя. Это х = 3, х = 5, х=1. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знаки в каждом промежутке

Выбираем любой х(5; +), например х = 10. Тогда 0. При х = 2 (1; 3). Получаем > 0.

Источник

Решение неравенств. Доступно о том, как решать неравенства.

В статье рассмотрим решение неравенств. Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств, на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, b(x),
a(x) или 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
— +
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x [2; +).

Свойства неравенств

Выделяют три основных свойства неравенств:

Можно перенести любой член неравенства из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

Пример:
Зх + 5 > х 2
равносильно Зх — х 2 + 5 > 0, при этом x 2 был перенесен с противоположным знаком.

Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, при этом знака неравенства не меняется.

Пример:
9х — 3 > 12х 2
равносильно 3х — 1 > 4х 2 , при этом обе части первого неравенства были разделены на положительное число 3.

Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный.

Пример:
-2х 2 — Зх + 1 2 + Зх — 1 > 0, при этом обе части первого неравенства умножили на отрицательное число -1, и знак неравенства изменился на противоположный.

Решение систем неравенств

Системой называется запись нескольких неравенств, обозначенная фигурной скобкой, при этом количество и вид неравенств, входящих в систему, может быть любым. Решением системы неравенств является пересечение решений всех неравенств, входящих в эту систему. Например, двойное неравенство f(x) 1, поэтому ответ: x (1; +).

Решение линейных неравенств

Линейным называется неравенство вида ax>b, при этом знак неравенства может быть любым.
Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток .
Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток .
Если же a=0, тогда 0*x>b, т.е. неравенство не имеет решений при b0, и верно при любых х при b 2 + bx + c > 0, в котром a, b, c – некоторые действительные числа и a0
Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства x 2 2 > m
Множество решений неравенства x 2 0 x (-; ), т.е. — 2 > m:

1. при m 0 x (-; — ) (; +), т.е. — .

Решение более сложных квадратных неравенств сводиться к простому переводу выражения вида
ax 2 + bx + c > 0
в неравенство
(x-x1)(x-x2) > 0 , где x1 и х2 — корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.
Полученное неравенство мы раскладываем таким же образом на систему простых неравенств и легко находим решение.

Решение неравенств методом интервалов

Методом интервалов можно Формулу Неравества вида h(x) > 0 ( 0( Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник

Алгебра

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Сравнение чисел

Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ « », означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).

Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.

Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.

Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.

Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):

b располагается правее а, а потому

Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что

Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить

Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.

Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40

Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.

Ответ: 29/35 > 33/40.

Свойства неравенств

Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.

Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:

умножив части равенства на (– 1), получим:

Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоb

Для доказательства этого очевидного факта используем координатную прямую:

Ясно, что если b>a, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше.

Данное свойство называют транзитивностью. Им обладает не только отношение «больше — меньше», но и ряд других отношений. Например, из геометрии известно, что если отрезок АВ параллелен отрезку CD, а тот в свою очередь параллелен ещё одному отрезку EF, то и АВ параллельно ЕF.

Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:

Следующее свойство неравенств позволяет их складывать:

Докажем эту теорему. Найдем разность чисел (а + c) и (b + d):

(а + c) – (b + d) = а + с – b – d = (a– b) + (b– d)

Получили сумму двух слагаемых, (a– b) и (b– d). Каждое из них является отрицательным числом, так как a 25

В одном стоит знак «меньше», а в другом «больше», поэтому сразу их складывать нельзя. Сначала «перевернем» второе неравенство

25 2 . Запишем неравенство из условия дважды, после чего перемножим эти неравенства:

Получили оценку для а 2 , а значит, и для площади S. Отметим, что при решении задач необязательно два раза писать одно и то же неравенство, чтобы потом их перемножать.

Ответ: 256 ⩽S⩽ 441

Пример. Пете надо купить 2 килограмма бананов и пакет молока. Он точно знает, что пакет молока стоит в разных магазинах от 65 до 80 рублей, а стоимость килограмма бананов колеблется от 54 до 69 рублей. Помогите Пете оценить, сколько денег он потратит в магазине.

Решение. Обозначим буквой h стоимость килограмма бананов, а через k – цену пакета молока. Затраты Пети составят 2h + k, при этом можно написать следующие оценки:

Решение. Запишем очевидно верное неравенство

Добавим к нему число 11:

Число 11 больше 5, поэтому можно записать:

Пример. Докажите, что неравенство

n 2 – 8n + 19> 0

справедливо для любого n.

В левой части стоит квадратный трехчлен, попытаемся преобразовать его с помощью формулы квадрата суммы:

n 2 – 8n + 19 = n 2 – 2•4n + 19 = n 2 – 2•4n +16 – 16 + 19 =

= (n 2 – 2•4n + 4 2 ) – 16 + 19 = (n– 4) 2 + 3

Величина (n – 4) 2 является неотрицательным числом, поэтому сумма (n – 4) 2 + 3 никак не меньше трех, то есть положительна.

Иногда для доказательства числового неравенства можно определить знак разности выражений, стоящих в правой и левой части.

Пример. Докажите, что при любом значении переменных выполняется условие

Решение. Запишем разность выражений, стоящих в неравенстве, а потом преобразуем ее:

2ut – (u 2 + t 2 ) = 2ut – u 2 – t 2 = – (u 2 – 2ut + t 2 ) = – (u – t) 2

Разность получилась неположительной. Значит, между уменьшаемым и вычитаемым можно поставить знак «⩽»:

Полученное выражение означает, что удвоенное произведение двух чисел не превосходит сумму их квадратов. Этот факт мы используем при решении следующего задания.

Пример. Докажите, что

d 2 + s 2 + m 2 ⩾ds + dm + sm

Решение. В предыдущем примере мы установили, что сумма квадратов чисел больше или равна их двойному произведению, поэтому можно записать:

Сложим полученные неравенства:

(d 2 + s 2 ) + (s 2 + m 2 ) + (d 2 + m 2 ) ⩾2ds + 2sm + 2dm

2d 2 + 2s 2 + 2m 2 ⩾2ds + 2sm + 2dm

Осталось поделить на два это неравенство:

d 2 + s 2 + 2m 2 ⩾ds + sm + dm

Решение неравенств с одной переменной

Очевидно, что не все неравенства справедливы при любом значении входящих в них переменных. Так, нер-во

справедливо для х = 3 (так как 3 – 2 > 0), но несправедливо при х = 1. Такие выражения называют неравенствами с одной переменной. Его решением называют значение переменной, при подстановке которого получается справедливое числовое неравенство.

Так, 3 – это одно из решений для нер-ва

ведь при его подстановке получается справедливое числовое нер-во

Чтобы решить нер-во, надо указать сразу ВСЕ решения для него. Однако стоит заметить, что почти всегда нер-во, в отличие от уравнения, имеет бесконечное количество решений. Так, решением для нер-ва

является не только число 3, но также числа 4, 5, 6, 7, 8, и т.д. Более того, подойдут и дробные числа, например, 2,5; 2,6; 2,61 и т.д. Поэтому для указания решения нер-в используются особые математические объекты – числовые промежутки.

Отметим на координатной прямой числа а и b, а также точку с, лежащую между ними. Все числа, расположенные между ними, образуют множество, которое называют числовым промежутком:

Числовой промежуток обозначается скобками, в которых указаны его граничные точки: (а;b). В данном случае скобки круглые, это означает, что сами числа a и b НЕ входят в это множество. По этой причине концы промежутка на рисунке показаны незакрашенными точками, которые ещё называют «выколотыми».

Если некоторое число c располагается между числами a и b, то говорят, что с принадлежит промежутку (а; b). Записывается это так:

Естественно, что с принадлежит промежутку в том случае, если выполняется неравенство

Отметим на числовой прямой число 20 и всё множество решений этого нер-ва:

Решением нер-ва будет промежуток (20; + ∞)

Введем понятие равносильных неравенств:

Более сложные нер-ва можно свести к более простым, но равносильным им, с помощью нескольких приемов:

Эти способы основаны на свойствах нер-в и очень сильно напоминают способы преобразований уравнений. Рассмотрим их использование на примере.

Пример. Найдите решение неравенства с одной переменной

х + 10 > 18

Перенесем слагаемое 10 вправо, изменив его знак на противоположный:

Получили нер-во, решением которого является интервал (8; + ∞):

Пример. Решите нер-во

5у ⩾ 20

Решение. Поделим обе части на число 5. Оно положительное, а потому знак нер-ва не меняется:

Решением этого нер-ва будет интервал [4; + ∞)

Пример. Найдите значения переменной, при которых верна запись

–6z > 42

Решение. Поделим нер-во на (– 6). Так как это число отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположный:

Решение. Перенесем слагаемое 26 вправо:

Теперь поделим на 12 правую и левую часть:

Для нер-ваk> 10 решением является промежуток

Пример. Решите нер-во

9(h + 2) + 21 10 (штриховка сверху) и х 0

Первый шаг – заменим знак «>» на «=»:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = 0

Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому

х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0

Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:

Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:

В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:

1. Из промежутка (– ∞; 2) возьмем х = 0:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (0 – 5)(0 – 7)(4 – 2•0) = (– 5)•(– 7)•4 = 140

Получили число, большее нуля: 140 > 0

1. Из промежутка (2; 5) возьмем х = 3:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (3 – 5)(3 – 7)(4 – 2•3) = (– 2)•(– 4)•(– 2) = – 16

Получили отрицательное число.

1. Из промежутка (5; 7) возьмем х = 6:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (6 – 5)(6 – 7)(4 – 2•6) = 1•(– 1)•(– 8) = 8

Получили положительное число

1. Для последнего промежутка возьмем х = 8:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (8 – 5)(8 – 7)(4 – 2•8) = 3•1•(– 12) = – 36

Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:

Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.

В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является многочленом первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:

Пример. Определите, при каких значениях переменной полином

х 2 – 8х + 12

принимает отрицательные значения.

Решение. По сути, нам надо решить нер-во

х 2 – 8х + 12 2 – 8х + 12 = 0

D = (– 8) 2 – 4•1•12 = 64 – 48 = 16

Зная х₁ и х₂, можем записать, что

х 2 – 8х + 12 = (х – х₁)(х – х₂) = (х – 2)(х – 6)

Перепишем исходное нер-во:

К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):

х – 2 = 0 или х – 6 = 0

Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:

На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5

Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3

На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5

В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).

Источник

Читайте также:  Жидкое стекло способы получения