Материал для занятий кружка «Логическая математика» по теме «Пентамино»
Презентация к уроку
Полимино
В этой статье мы будем рассматривать полимино – фигуры, составленные из одноклеточных квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.
Задачи с полимино очень характерны для комбинаторной геометрии – раздела математики, занимающегося вопросами взаимного расположения и комбинирования геометрических фигур. Это очень красивая, но еще почти не разработанная ветвь математики, поскольку общих методов в ней, по-видимому, очень мало, а известные ныне методы настолько примитивны, что не поддаются усовершенствованию. Многие встречающиеся в практике важные инженерные задачи – в первую очередь те, которые связаны в том или ином смысле с оптимальным расположением фигур заданной формы, – по существу относятся к комбинаторной геометрии.
В последующих комбинаторных задачах предполагается, что полимино можно вращать (то есть поворачивать на 90, 180 или 270) и зеркально отражать (переворачивать), не меняя формы самих фигур.
Домино
Рис. 1
Домино состоит из двух квадратов и может иметь лишь одну форму – форму прямоугольника размером 1×2 (см. рис. 1). Первая связанная с домино задача, вероятно, многим знакома: даны шахматная доска, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток, и коробка домино, каждое из которых покрывает ровно две клетки шахматной доски (см. рис. 2). Возможно ли целиком покрыть доску с помощью 31 кости домино (без свободных клеток и наложений)? Ответ на этот вопрос гласит: «НЕТ» и имеет замечательное доказательство. Шахматная доска содержит 64 чередующиеся клетки белой и черной раскраски (имеется в виду обычная шахматная раскраска доски). Каждая положенная на такую доску и покрывающая две соседние клетки кость домино покроет одно белое и одно черное поле, а n костей домино – n белых и n черных полей, т.е. поровну и тех и других. Но изображенная на рисунке шахматная доска содержит больше черных клеток, чем белых, и потому ее нельзя покрыть костями домино. Этот результат есть типичная теорема комбинаторной геометрии.
Рис. 2
Тримино
Рис. 3
Тримино (или триомино) — полимино третьего порядка, то есть многоугольник, полученный путём объединения трёх равных квадратов, соединённых сторонами. Если повороты и зеркальные отражения не считать различными формами, то существует только две «свободных» формы тримино (см. рис.3): прямое (I-образное) и угловое (L-образное).
Тетрамино
Рис. 4
С тетрамино связано множество задач на составление из них разных фигур. Доказано, что сложить какой-либо прямоугольник из полного набора тетрамино невозможно. Доказательство использует раскраску в шахматном порядке. Все тетрамино, кроме Т-образного, содержат 2 чёрные и 2 белые клетки, а Т-образное тетрамино — 3 клетки одного цвета и 1 клетку другого. Поэтому любая фигура из полного набора тетрамино (см. рис.4) будет содержать клеток одного цвета на две больше, чем другого. Но любой прямоугольник, с чётным количеством клеток, содержит равное число чёрных и белых клеток.
Пентамино
Рис. 5
Полимино, покрывающее пять клеток шахматной доски, называются пентамино. Существует 12 видов пентамино, которые можно обозначить прописными латинскими буквами, как указано на рисунке (см. рис. 5). В качестве приема, позволяющего легко запомнить эти наименования, укажем, что соответствующие буквы составляют конец латинского алфавита (TUVWXYZ) и входят в имя FiLiPiNo. Поскольку всего имеется 12 разных пентамино и каждая из этих фигур покрывает пять клеток, то вместе они покрывают 60 клеток.
Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20 (см. рис. 6).
Рис. 6
Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей (иногда внутри прямоугольника образуется симметричная комбинация фигур, поворачивая которую можно получить дополнительные решения).
Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5×6, из которых можно составить как прямоугольник 6×10, так и 5×12.
Еще одна интересная задача о пентамино — задача об утроении фигур пентамино (см. рис. 7). Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном. Выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 из 11 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причём не единственное (от 15 решений для Х до 497 для Р). Существует вариант этой задачи, в котором для построения утроенной фигуры разрешается использовать также и саму исходную фигуру. В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино.
Рис. 7
Комментарии к презентации «Пентамино»
В этой работе я предлагаю несколько заданий с использованием фигур пентамино, которые можно использовать и для самых первых занятий с этой головоломкой, и для более подготовленных ребят. Они подойдут и для начальной школы, и для учащихся 5-7 классов (в зависимости от уровня обучающихся).
Для работы нам потребуется комплект, состоящий из двенадцати деталей пентамино. Его очень легко сделать самим на уроке или дома. На листе в клетку нужно нарисовать фигуры так, чтобы каждая состояла из пяти квадратов со стороной 1см. Затем следует приклеить лист в клетку на картон и вырезать по контуру получившиеся фигурки. При желании их можно раскрасить цветными карандашами или фломастерами. Пентамино готово.
Начинается презентация с самых простых заданий. Нужно из всех двенадцати фигурок пентамино отложить только те, из которых собирается данная картинка. Фигурки в презентации появляются по щелчку по одной, чтобы было удобно их находить.
На следующем слайде представлена картинка, которую нужно собрать. А на третьем слайде предложен вариант ответа. Таких задач в презентации четыре, но их количество всегда можно увеличить по мере необходимости.
Начиная с пятой задачи, учащиеся сами должны выбрать фигурки, которые будут использованы для данной картинки. В задаче №5 для «собачки» потребуются три фигурки пентамино.
В задаче №6 ребята должны не только собрать данные картинки, но и попытаться объяснить, почему может быть представлено только единственное решение этих задач.
В задачах №7 и №8 решений может быть несколько, и можно устроить соревнования «кто первый найдет все возможные решения этих задач».
Начиная с задачи №9, решений становится гораздо больше. Найти все решения на уроке не получится. Эти задачи можно предложить как вариант домашнего задания или предложить найти решения, разбив класс на группы.
В задачах №13 и №14 при решении используются все двенадцать фигур пентамино. Это уже достаточно сложные задания. С ними могут справиться не все учащиеся 5-6 классов. Поэтому те ребята, которые нашли решения этих задач, должны быть поощрены.
Очень интересный результат можно получить, предложив ребятам самим придумать различные картинки, составленные из фигур пентамино. Если это начальные классы, то нужно оговорить, что можно использовать не все фигуры сразу. В более старших классах учащиеся могут использовать весь комплект. Здесь следует напомнить, что каждая фигурка встречается ровно однажды и нельзя использовать какие-то детали более одного раза.
И вообще, очень трудно охватить такой огромный материал в одной презентации. Я предложила только малую толику того, что может быть придумано из пентамино. Творите, и результат превзойдет все ваши самые смелые ожидания. Ваши дети очень талантливы, и нужно только направить их мысль в нужную сторону. А там…
Источник
ГДЗ биология 7 класс Константинов, Бабенко Вентана-Граф Задание: Подведем итоги Стр 46
Выполните задания
№ 1. Объясните, почему клетка простейших является самостоятельным организмом.
Клетка простейших является самостоятельным организмом, потому что она выполняет все функции, которые характерны для него, а именно: дыхание и питание, движение и размножение, выделение и обмен веществ.
№ 2. Охарактеризуйте среды обитания одноклеточных. Какое условие является обязательным для их существования?
Одноклеточные организмы могут обитать в самых разных средах. Однако главным условием является достаточный уровень влаги. Поэтому такие организмы широко распространены в морских и пресных водоёмах, в придонных слоях, в толще воды и влажного песка. Немало простейших живет и в почве, а именно в тонких пленках воды, которые окружают почвенные частички, в моховых «подушках» на болотах. Некоторые из них являются паразитами, а потому обитают в растениях и организмах животных, человека.
№ 3. Объясните, в чем заключаются функции вакуолей в организме одноклеточных.
Вакуоли являются органеллами в организме одноклеточных, которые участвуют в формировании внутренней среды клетки. Например, пищеварительная вакуоль нужна для того, чтобы захватывать пищу и переваривать ее, а после выносить ненужные остатки наружу из организма. Сократительная вакуоль накапливает вредные вещества с водой, а при достижении определенного размера, продвигается к поверхности тела клетки и выбрасывает свое содержимое во внешнюю среду.
Таким образом, главными функциями вакуолей в одноклеточном организме являются: транспорт ионов, регулирование водно-солевого обмена, запас питательных веществ, утилизация продуктов обмена и фрагментов клетки.
№ 4. Установите взаимосвязь строения и способов движения одноклеточных.
Одноклеточные организмы свободно передвигаются при помощи ложноножек, ресничек, жгутиков, нитевидных образований – миофибрилл.
У инфузории-туфельки, которая относится к активно передвигающимся организмам. Движения ей обеспечивает большое количество ресничек, которые расположены по всему периметру тела, слаженно «работают» и задают направление перемещения клетке. Медленнее плавает эвглена зеленая. У нее веретеновидная форма тела, а для передвижения есть жгутик.
Ползающий образ жизни ведет амеба протей, которая словно парит в воде. Передвигается она при помощи ложноножек, которые выпускает в определенном направлении.
№ 5. Назовите черты приспособленности простейших к неблагоприятным условиям.
При наступлении неблагоприятных условий простейшие образуют цисту – специальную оболочку, которая оберегает их организм от внешних факторов, и пережидают в ней определенные моменты жизни.
№ 6. Назовите меры предупреждения заболеваний, вызываемых простейшими.
К мерам предупреждения заболеваний, которые вызывают простейшие, относятся:
Соблюдение личной гигиены, регулярное мытье рук перед едой, после посещения улицы и т.д.
Употребление в пищу только тщательно помытых овощей и фруктов.
Употребление кипяченой, очищенной воды (не пить воду из крана, природных источников).
Во время купания не глотать воду из водоемов.
Качественно обрабатывать продукты, перед употреблением их в пищу (термическая обработка рыбы, мяса и т.д.).
Стр. 47
Какие утверждения верны?
1. Клетка простейших выполняет роль самостоятельного организма.
2. Размножение у амёбы бесполое, а у инфузории — туфельки и бесполое, и половое.
3. Органоидами движения инфузории-туфельки являются ложноножки.
4. Эвглена зелёная является переходной формой от растений к животным: имеет хлорофилл, как у растений, а питается гетеротрофно и передвигается, как животные.
5. Амеба имеет в организме ядра двух типов.
6. Малое ядро у инфузории участвует в половом размножении, а большое отвечает за жизнедеятельность.
7. Дизентерийную амебу переносят комары.
Стр. 47. Выберите все правильные ответы
№ 1. Среда обитания паразитических организмов:
г) организм.
Ответ: г.
№ 2. Взаимоотношения рака-отшельника и других организмов называют:
а) взаимовыгодными;
Ответ: а.
№ 3. Начальным пищевым звеном являются:
а) растительноядные животные;
в) растения – одноклеточные водоросли;
Ответ: в.
№ 4. Клетка животных, в отличие от растительной клетки, не имеет:
а) вакуолей с клеточным соком;
в) хлоропластов;
г) клеточной оболочки.
Ответ: в, г.
№ 5. В отличие от растений, животные имеют ткань:
б) нервную;
г) мышечную.
Ответ: б, г.
№ 6. К подцарству Простейшие относятся:
а) инфузории;
б) кольчатые черви;
г) амебовые и эвгленовые.
Ответ: а, г.
№ 7. Среди простейших наиболее сложно устроены:
б) инфузории;
Ответ: б.
№ 8. Заболевания человека могут вызывать такие простейшие, как:
а) лямблии;
б) дизентерийная амеба;
г) малярийный плазмодий.
Ответ: а, б, г.
Стр. 48. Вопросы для обсуждения
№ 1. Какая область зоологии для вас наиболее интересна и почему?
Наиболее мне интересна такая область зоологии, как морфология. Она занимается изучением внешнего строения организмов, включая форму, структуру, цвет и т.д., а также его составных частей и внутреннего строения. Мне очень интересно узнавать о строении организмов, определять их по морфологическим признакам.
№ 2. Почему можно сказать, что простейшее животное представляет собой клетку-организм?
Потому что простейшие животные – это одноклеточные организмы, то есть, их тело состоит только из одной клетки. И эта клетка представляет собой полноценный живой организм, который выполняет характерные для него функции: дышит, питается, передвигается, размножается, выделяет продукты обмена.
№ 3. Каково значение многообразия животных в природе?
Животный мир является неотъемлемой частью живой природы, которая тесно связана с другими ее составляющими, такими как: грибы, растения, микроорганизмы. На сегодняшний день известно около 2 млн. животных во всем мире. И это учитывая, что весь животный мир нашей планете до сих пор полностью не изучен.
Многообразие животных играет важную роль в природе. Во-первых, являясь травоядными, некоторые из них поедают растения, регулируя их распространение по земному шару. Сами травоядные животные являются пищей для хищников. Хищники же участвуют в регулировании численности остальных животных, поедая слабых и больных особей.
Также животные наряду с бактериями принимают участие и в образовании почвы. Муравьи, дождевые черви и прочие мелкие животные постоянно вносят в почву органические вещества, измельчая их и способствуя образованию перегноя. Через норы и ходы таких животных корни растений легко проникают вглубь почвы, а также получают достаточно воды и воздуха, которые необходимы им для роста и развития.
Питаясь плодами растений, животные переносят их семена на дальние расстояния. Также на своей шерсти, лапках они переносят пыльцу, споры грибов и семена растений, тем самым участвуя в их расселении на новых территориях.
Однако есть среди животного мира виды, которые наносят вред растениям и некоторым животным, например, паразиты.
№ 4. Какое значение имеют животные в жизни человека?
Животные играют немаловажную роль в жизни человека. Они дают ценные продукты питания (мясо, молоко, яйца и т.д.), которые необходимы для поддержания здорового существования человека, а также служат сырьем в промышленности, для изготовления одежды и обуви.
Еще с древних времен человек приручил сильных животных для помощи в хозяйстве. Лошади, буйволы, верблюды используются для перевозки грузов и выполнения различной тяжелой работы. Песцов, коз, лам и овец разводят, чтобы получать мех и шерсть. От крупного рогатого скота люди получают шкуры, которые можно использовать для кожаных изделий. Ездовые собаки помогают перевозить грузы и людей, собаки-поводыри помогают незрячим людям ориентироваться в пространстве, а собаки-водолазы участвуют в спасении людей.
С развитием техники и науки животные стали использоваться человеком в качестве объекта для медицинских и научных исследований. Чаще всего это крысы, мыши, мухи дрозофилы, но есть и другие представители животного мира. Сегодня с этим активно борются по всему миру.
Но некоторые виды животных могут приносить вред человеку. Например, вредители продуктов питания и сельскохозяйственных культур. Также есть виды, которые являются переносчиками болезней, а некоторые даже паразитами.
Стр. 48. Темы проектов
№ 1. Направления исследований в области зоологии.
Зоология занимается изучением представителей царства Животные, а именно: их строения, разнообразия, процессов жизнедеятельности, распространения и значения, как в природе, так и в жизни человека. В зависимости от объектов изучения выделяют несколько направлений исследований в области зоологии:
Гельминтология – изучает паразитических червей;
Протозоология – изучает одноклеточных животных;
Арахнология – изучает паукообразных;
Энтомология – изучает насекомых;
Герпетология – изучает земноводных и рептилий;
Ихтиология – изучает рыб;
Орнитология – изучает птиц;
Териология – изучает млекопитающих.
Также, исходя из области изучения, выделяют несколько разделов зоологии:
Морфология (строение животных);
Сравнительная морфология (сравнение строения разных групп животных);
Этология (поведение животных);
Зоогеография (распространение животных);
Экология (взаимоотношения животных с окружающей средой и между собой);
Физиология (жизнедеятельность животных);
Систематика (описание многообразия видов и классификация их по определенным признакам);
Палеозоология (изучение животных, которые существовали в прежних геологических эпохах).
№ 2. Животный мир родного края.
Животный мир моего края достаточно разнообразен. Среди животных часто можно встретить белку, соболя, лису, горностая и даже бурого медведя. Белка хоть и является типичным лесным зверьком, но живет и в парках, скверах многих городов. Питается она орехами, желудями, грибами, семенами ели и сосны, ягодами.
Соболь относится к ценнейшим пушным зверям, которые занимают видное место в составе промысловой фауны моего края. Мышевидные грызуны – основной рацион его питания, которых он находит в корягах, завалах, вывернутых корнях деревьев и т.д. чтобы соболь вовсе не исчез с нашей планеты, в специально созданных заповедниках, например, в «Баргузинском», проводятся работы по его охране, увеличению численности и расселению.
Медведь – это крупный, сильный хищник. Несмотря на то, что кажется неуклюжим, он достаточно подвижен, может делать большие прыжки и бегать. В качестве пищи для бурого медведя служат лягушки, яйца разных птиц, муравьи, грызуны. Но может нападать и на крупных диких или домашних животных, например, на кабана, оленя или корову. Живет бурый медведь в горах и в глухих дремучих лесах, а зимой впадает в спячку. В этот период живут он за счет своего жира, который был накоплен в организме еще с осени.
№ 3. Роль животных в окружающей среде.
Животный мир нашей планеты разнообразен. Животные обитают практически везде – в почве, в воде, на суше. Почвенные животные во время того, как роют себе норы, разрыхляют землю. Благодаря этому она хорошо насыщается кислородом, который необходим корням растения. В сочетании с бактериями они образуют органические вещества, которые удобряют почву, делая ее плодотворной.
Еще одно значение животных для природы – санитарное. Многие представители животного мира помогают очистить нашу планету от больных и мертвых животных, насекомых и т.д. Например, птицы, муравьи, волки. Не зря их называют санитарами леса.
Животные помогают и в размножении растений. Поедают их плоды, переносят семена на шерсти, лапках, способствуют расселению их на новых территориях.
Также животные, например, растительноядные служат пищей для других животных — хищников. Таким образом, любой вид является важным звеном пищевой цепочки. И если изъять его, то все равновесие в ней тут же нарушится.
№ 4. Подготовка таблицы «Ткани животных и их функции».
| Ткань | Функции |
|---|---|
| Эпителиальная (покровная) | Защитная; секреторная; образование роговых покровов (перья, чешуя) и шерсти, рогов и копыт; ограничивающая (разделение внутренней среды организма и внешней среды). |
| Соединительная | Защитная, транспортная, запасающая, опорная. |
| Мышечная | Защитная, опорная, двигательная. |
| Нервная | Возбудимость, проводимость, взаимодействие органов, восприятие сигналов из внутренней и внешней среды. |
№ 5. Взаимосвязь органов и систем органов
Разные органы в живом организме тесно связаны между собой и объединены в системы органов. Каждая отдельная система, например, пищеварительная или дыхательная, выполняет ряд важных для жизнедеятельности организма функций.
Благодаря дыхательной системе, которая представлена жабрами или легкими, трахеей и бронхами, организм снабжается жизненно необходимым кислородом. А вот пищеварительная система, которая представлена ротовой полостью, языком, пищеводом, желудком, кишечником (толстый и тонкий), печенью, желчным пузырем, поджелудочной железой и прямой кишкой, осуществляет не только переваривание пищи путем ее механической и химической обработки, но и всасывание продуктов расщепления через слизистую оболочку в лимфу и кровь, а также выведение непереваренных остатков пищи во внешнюю среду.
Работа каждого органа в системе органов, как и системы органов в целом организме слажена. И если имеются нарушения в каком-то органе, то страдает и сама система, и все остальные.
№ 6. Паразитические простейшие и их влияние на жизнедеятельность организмов.
Паразитические простейшие – это одноклеточные организмы, которые имеют ядра и питаются за счет других живых организмов, принося им вред и не редко доводя до гибели. Представителями таких паразитических простейших, которые могут поражать, как животных, так и человека, являются: дизентерийная амеба, малярийный плазмодий, лямблии, микроспоридии и т.д.
Одним из самых распространенных является малярийный плазмодий – переносчик малярии. Паразитирует он в клетках многоклеточных организмов, включая человека. Заражение происходит из-за укуса комаров определенного вида – малярийного комара. Попадая в кровь животного или человека, плазмодий достигает печени, где начинается увеличиваться в размерах и размножаться. Возвращаясь в кровь, клетки плазмодия начинают поражать эритроциты, также размножаясь там и питаясь. А когда они выходят из эритроцитов, то отходами своей жизнедеятельности заполняют кровяное русло и отравляют организм.
Еще один распространенный представителей паразитических простейших – дизентерийная амеба, которая в отличие от амебы обыкновенной, имеет более толстые и короткие ложноножки. Она живет и питается в толстом кишечнике и до определенного времени совершенно безвредна. Но, когда дизентерийная амеба начинает внедряться в стенки кишечника и разрушать эритроциты крови, то диагностируется дизентерия. Заражение происходит при помощи цист простейшего, которые попадают с пищей в желудочно-кишечный тракт. В результате воспаляется кишечник. А попадая с током крови в печень, паразиты только усугубляют заболевание.
Большинство видов лейшманий вызывают у человека кожный лейшманиоз, при котором на кожных покровах образуются язвы. Заражение происходит в результате укусов москитов, которые являются переносчиками этих паразитов.
Глава 4. Тип Кишечнополостные
Источник
