Учебник по теории вероятностей
1.1. Элементы комбинаторики
Размещения
Рассмотрим некоторое множество $Х$, состоящее из $n$ элементов $X = \< x_1, x_2, . x_n \>$. Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества $Y$ из $k$ элементов.
Размещением из $n$ элементов множества $Х$ по $k$ элементам назовем любой упорядоченный набор $ \left( x_
Если выбор элементов множества $Y$ из $Х$ происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества $Х$ может быть выбран несколько раз, то число размещений из $n$ по $k$ находится по формуле $n^k$ ( размещения с повторениями).
Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества $Х$ можно выбирать только один раз, то количество размещений из $n$ по $k$ обозначается $A_n^k$ и определяется равенством $$ A_n^k=n\cdot(n-1)\cdot . \cdot (n-k+1) = \frac
Пример. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.
Решение. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет $m=n^k=6^3=216$. Если цифры не повторяются, то $m=A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4= 120$.
Пример. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?
Решение. Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения: $A_<10>^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8= 720$.
Перестановки
Частный случай размещения при $n=k$ называется перестановкой из $n$ элементов. Число всех перестановок из $n$ элементов равно $A_n^n=P_n=n!$.
Пример. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет $P_<28>$. А три книги можно переставлять между собой $P_3$ способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно: $N=P_3 \cdot P_ <28>= 3! \cdot 28!$.
Сочетания
Пусть теперь из множества $Х$ выбирается неупорядоченное подмножество $Y$ (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из $n$ элементов по $k$ называются подмножества из $k$ элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из $n$ по $k$ обозначается $C_n^k$ и равно $$ C_n^k = \frac
Справедливы равенства: $$ C_n^0=1, \; C_n^n=1, \; C_n^k = C_n^
Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний: $$ C_<27>^3 = \frac<27!> <24!\cdot 3!>= \frac<27\cdot 26\cdot 25><1\cdot 2\cdot 3>=2925. $$
Изучаем комбинаторику
Правила суммы и произведения
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект $А$ может быть выбран из совокупности объектов $m$ способами, а другой объект $В$ может быть выбран $n$ способами, то выбрать либо $А$, либо $В$ можно $m + n$ способами.
Правило произведения. Если объект $А$ можно выбрать из совокупности объектов $m$ способами и после каждого такого выбора объект $В$ можно выбрать $n$ способами, то пара объектов $(А, В)$ в указанном порядке может быть выбрана $m \cdot n$ способами.
Пример. Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?
Решение. Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами выбор туфель. По принципу умножения получается 4*5*3=60 нарядов (комбинаций).
Источник
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.
Правила сложения и умножения в комбинаторике
Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.
Пример 1.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?
Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.
Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:
Пример 2.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.
Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?
Пример 3.
Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m (
) из этих (n*r) предметов?
.
Пример 4.
В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
.
Размещения без повторений. Размещения с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?
Пример 5.
В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:
Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.
Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?
Пример 6.
У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?
Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:
.
Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Пример 7.
Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?
Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.
Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k
Пример 8.
Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»
Источник
Теория вероятности сколькими способами можно распределить
1. Элементы комбинаторики.
2. Общие правила комбинаторики.
3. Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.
4. Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.
1. Комбинаторика и ее возникновение.
Комбинаторика— это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.
Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры (карты, кости). Широко были распространены лотереи. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр: сколькими способами можно получить данное число очков, бросая 2 или 3 кости или сколькими способами можно получить 2-ух королей в некоторой карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и далее в развитии теории вероятностей.
Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако, он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.
Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.
Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.
Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний, для составления планов производства и реализации продукции и т.д.
2. Общие правила комбинаторики.
Правило суммы: Если некоторый объект А может быть выбран m способами, а объект В- k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать m + k способами.
1. Допустим, что в ящике находится n разноцветных шаров. Произвольным образом вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?
Распределим эти n шариков по двум ящикам: в первый- m шариков, во второй- k шариков. Произвольным образом из произвольно выбранного ящика вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Из первого ящика шарик можно вынуть m способами, из второго- k способами. Тогда всего способов m+k=n .
В морском семафоре каждой букве алфавита соответствует определенное положение относительно тела сигнальщика двух флажков. Сколько таких сигналов может быть?
Решение: Общее число складывается из положений, когда оба флажка расположены по разные стороны от тела сигнальщика и положений, когда они расположены по одну сторону от тела сигнальщика. При подсчете числа возможных положений применяется правило суммы.
Правило произведения: Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) k способами, то пары объектов «А и В» можно выбрать m *k способами.
1. Сколько двузначных чисел существует?
Решение: Число десятков может быть обозначено любой цифрой от 1 до 9. Число единиц может быть обозначено любой цифрой от 0 до 9. Если число десятков равно 1, то число единиц может быть любым (от 0 до 9). Таким образом, существует 10 двузначных чисел, с числом десятков- 1. Аналогично рассуждаем и для любого другого числа десятков. Тогда можно посчитать, что существует 9 *10 = 90 двузначных чисел.
2. Имеется 2 ящика. В одном лежит m разноцветных кубиков, а в другом- k разноцветных шариков. Сколькими способами можно выбрать пару «Кубик-шарик»?
Решение: Выбор шарика не зависит от выбора кубика, и наоборот. Поэтому, число способов, которыми можно выбрать данную пару равно m *k .
3. Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.
Генеральная совокупность без повторений— это набор некоторого конечного числа различных элементов a1 , a2, a3, . an.
Пример: Набор из n разноцветных лоскутков.
Выборкой объема k ( k n ) называется группа из m элементов данной генеральной совокупности.
Пример: Пестрая лента, сшитая из m разноцветных лоскутков, выбранных из данных n .
Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
— число размещений из n по k .
Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n -1 способом и т.д.
Преобразовав данную формулу, имеем:
Следует помнить, что 0!=1.
1. В первой группе класса А первенства по футболу участвует 17 команд. Разыгрываются медали: золото, серебро и бронза. Сколькими способами они могут быть разыграны?
Решение: Комбинации команд-победителей отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 17 по 3.
2. Научное общество состоит из 25-ти человек. Необходимо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Комбинации руководящего состава общества отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 25 по 4.
Перестановками без повторений из n элементов называются размещения без повторений из n элементов по n , т.е. размещения отличаются друг от друга только порядком следования элементов.
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что они должны состоять из различных цифр?
Решение: Имеем перестановки из 5 элементов.
Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.
— число сочетаний из n по k
Элементы каждого из сочетаний можно расставить способами. Тогда
1. Если в полуфинале первенства по шахматам участвует 20 человек, а в финал выходят лишь трое, то сколькими способам и можно определить эту тройку?
Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки, вышедшие в финал, являются сочетаниями из 20 по 3.
Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки делегатов являются сочетаниями из 10 по 3.
4. Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.
В случае, когда число возможных выборов на каждом шагу зависит от того, какие элементы были выбраны ранее, можно изобразить процесс составления комбинаций в виде «дерева». Сначала из одной точки проводят столько отрезков, сколько различных выборов можно сделать на первом шагу. Из конца каждого отрезка проводят столько отрезков, сколько можно сделать выборов на втором шагу, если на первом шагу был выбран данный элемент и т.д.
При составлении команд космического корабля учитывается вопрос и психологической совместимости участников путешествия. Необходимо составить команду космического корабля из 3 человек: командира, инженера и врача. На место командира есть 4 кандидата: a1, a2, a3, a4 . На место инженера- 3: b1, b2, b3. На место врача- 3: c1, c2, c3 . Проведенная проверка показала, что командир a1 психологически совместим с инженерами b1 и b3 и врачами c 1 и c3 . Командир a2 — с инженерами b1 и b2. и всеми врачами. Командир a3 — с инженерами b1 и b2 и врачами c 1 и c3 . Командир a4-со всеми инженерами и врачом c2. Кроме того, инженер b1 не совместим с врачом c3 , b2— с врачом c1 и b3— с врачом c2. Сколькими способами при этих условиях может быть составлена команда корабля?
Составим соответствующее «дерево».
Ответ: 10 комбинаций.
Такое дерево является графом и применяется для решения комбинаторных задач.
Источник
