Учебник по теории вероятностей
1.3. Геометрическое определение вероятности
Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие A – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G.
Если для простоты считать, что все точки G «равноправны» (выбор точек равномерен внутри области), то вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.
Геометрическая вероятность события А определяется отношением: $$ P(A)=\frac
Чаще всего, в одномерном случае речь будет идти о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, в трехмерном — об объемах тел.
При этом, некоторые задачи сразу имеют геометрическую интерпретацию (первый пример), а другие выглядят как задачи «про жизнь», самая распространенная из них — задача о встрече (второй пример).
Основная сложность при решении задач такого типа — построить математическую модель эксперимента, нужным образом выбрать пространство элементарных исходов, обозначить событие, выразить его математически как некоторую область. К сожалению, единого рецепта решения подобых заданий нет, нужно «набить» руку на разных задачах (см. примеры тут, например).
Примеры решений на геометрическую вероятность
Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной $2d$, расстояние между осевыми линиями которых равно $2D$, наудачу брошен круг радиуса $r$ ($r+d\lt D$). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.
Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние $x$ от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы (ее обозначим за 0). Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок, равный половине расстояния между осями полос $G=\
Рассмотрим теперь случаи, благоприятствующие событию $A$ = (Круг пересечет полосу), и найдем меру соответствующей области точек. На чертеже выше покажем различные варианты выпадения круга.
Пересечение круга с полосой очевидно произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу (точнее, ее половину), т.е. координата центра круга удовлетворяет неравенству $0 \le x \le d$, длина этого отрезка $d$.
Также круг пересечет полосу, если его центр будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус (если равен радиусу — круг коснется полосы, если больше — то отстоит от полосы), т.е. когда $d \le x \le d+r$ (длина этого отрезка $r$).
Тогда вероятность события $A$ по геометрическому определению вероятности: $$ P(A)=\frac
Пример. Два человека договорились встретиться в определенном месте от 17 до 18 часов. При этом каждый обязался после прихода на место встречи ожидать другого 30 минут. Какова вероятность встречи этих людей, если каждый из них равновозможно придет в течение указанного интервала времени?
Решение. Обозначим моменты прихода первого и второго человека за $x$ и $y$. Так как они приходят в промежуток длительности 60 минут (от 17 до 18 часов), то справедливы следующие условия: $0 \le x \le 60$ и $0 \le y \le 60$.
Рассмотрим прямоугольную систему координат $xOy$. В этой системе координат всем возможным значениям времени прихода людей соответствуют точки квадрата со стороной 60.
Лица встретятся, если один человек придет раньше, чем уйдет другой, то есть если $y \lt x+30$, когда $y \gt x$ (второй пришел позже первого, но не позже чем через 30 минут от него) и $x \lt y+30$, когда $y \lt x$ (первый пришел позже второго, не но позже чем через 30 минут).
Более компактно запишем условия $$ x \lt y \lt x+30 \quad \text < или >\quad x-30 \lt y \lt x. \quad (*) $$
Построим прямые $y=x$, $y=x-30$, $y=x+30$ и закрасим область, лежащую внутри квадрата, точки которой удовлетворяют условиям (*). Точки этой фигуры (серый шестиугольник в центре) являются благоприятствующими событию $A$ =(люди встретятся).
Тогда искомая вероятность встречи по геометрическому определению вероятности равна отношению площади этой фигуры к площади квадрата: $$ P=\frac<60^2-1/2\cdot 30^2-1/2\cdot 30^2><60^2>=\frac<3600-900><3600>=\frac<3><4>=0,75. $$
Источник
1.5. Геометрическое определение вероятности
Классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример:
На отрезок 
наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток 
? 
Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу 
(ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности:
Вероятность наступления некоторого события 
в испытании равна отношению 
, где 
– геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а 
– мера, выражающая количество благоприятствующих событию 
исходов.
На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.
Рассмотрим событие: 
– брошенная на отрезок 
точка, попала в промежуток 
. Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка: 
, а благоприятствующие событию 
исходы – длиной вложенного отрезка: 
По геометрическому определению вероятности: 
Примечание: 
– метрические единицы: метры, сантиметры или какие-то др.
Слишком просто? Как и в случае с классическим определением, это обманчивое впечатление. Обстоятельно и добросовестно разбираемся в практических примерах:
Задача 28
Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.
Решение: «чего тут сложного? Вероятность равна 
». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать меньше 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого: 
Рассмотрим событие: 
– длина обрезка составит не менее 0,8 м.
Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: 
Благоприятствующим исходам соответствуют участки, отмеченные красным цветом, и их суммарная длина равна: 
По геометрическому определению: 
Ответ: 0,4
Какой можно сделать вывод?
Даже если задача кажется вам очень простой, НЕ СПЕШИТЕ
При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы, метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.). Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. Так в рассмотренном примере, сократились метры: 
, в результате чего получилась привычная безразмерная вероятность.
Следующая задача для самостоятельного решения:
Задача 29
После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?
Значительно чаще встречаются примеры, в которых фигурируют площади:
Задача 30
В треугольник со сторонами 
вписан круг. Точка 
произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.
Вспоминаем геометрию: вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в трёх точках. …Представили? Отлично!
Решение: поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга.
Осталось вспомнить или отыскать (проще всего в Сети) школьные геометрические формулы. Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по формуле Герона: 
, где 
– длины сторон треугольника, а 
– полупериметр.
Сначала вычислим полупериметр треугольника: 
, а затем его площадь: 
Площадь круга найдём по известной формуле 
. Если круг вписан в треугольник, то его радиус можно рассчитать по формуле 
, этого я не вообще не знал – только что нашёл в Интернете.
Итак, площадь вписанного круга: 
По геометрическому определению:
– вероятность того, что точка 
попадёт во вписанный круг.
Ответ: 
Более простой пример для самостоятельного решения:
Задача 31
В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.
Следует отметить, что в этой задаче треугольник вовсе не обязан как-то касаться окружности, он просто расположен внутри круга и всё. Будьте внимательны!
А теперь рассмотрим широко известную задачу о встрече:
Задача 32
Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?
Решение: сначала выясним длительность временнОго промежутка, на котором могут пересечься автомобили: это 90 минут (коль скоро, от 19.00 до 20.30). Изобразим прямоугольную систему координат, где в подходящем масштабе построим квадрат размером 90 на 90 единиц: 
Общему множеству исходов соответствует площадь данного квадрата:
Далее по оси 
от начала координат откладываем время погрузки одного автомобиля (зелёная линия), а по оси 
– время погрузки другого автомобиля (красная линия) (можно наоборот, это не повлияет на решение).
Теперь из правого конца зелёного отрезка и из верхнего конца красного отрезка под углом 45 градусов проводим две линии внутри квадрата (малиновые отрезки).
Множеству благоприятствующих исходов (когда автомобили «пересекутся» во времени) соответствует площадь 
заштрихованной фигуры. В принципе, её можно вычислить «на пальцах», но технически проще использовать окольный путь, а именно, вычислить площади двух прямоугольных треугольников. Используем формулу: 
, где 
– длины катетов.
В нашей задаче: верхний треугольник имеет катеты длиной по 80 единиц, нижний треугольник – по 75 единиц. Обратите внимание, что в общем случае эти треугольники не равны.
Таким образом, суммарная площадь треугольников составляет: 
И бесхитростный заключительный манёвр: из площади квадрата вычитаем площади треугольников, получая тем самым благоприятствующую площадь: 
По геометрическому определению:
– вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой.
Ответ: 
Подробное объяснение этого способа решения можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана, я же остановился лишь на техническом алгоритме, дабы не тратить ваше драгоценное время.
И если в разобранной задаче встреча явно нежелательна, то в следующей, скорее, наоборот. Романтичный эпизод для самостоятельного изучения:
Задача 33
Студенты случайным образом приходят в столовую с 14.00 до 15.00, при этом обед каждого из них занимает примерно 20 минут. Найти вероятность того, что: а) Коля встретится с Олей во время обеда, б) данная встреча не состоится.
Не нужно печалиться по поводу пункта «бэ» – любовь приходит и уходит, а кушать хочется всегда! =)
Решение, чертёж и ответ в конце книги.
Оставшиеся примеры параграфа посвящены не менее распространённому типу задач, где фигурируют неравенства.
Для начала разогревающий пример:
Задача 34
В квадрат с вершинами 
наудачу брошена точка 
. Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству
.
Решение: изобразим на чертеже искомый квадрат и прямую 
: 
Общему множеству исходов соответствует площадь квадрата 
Прямая 
делит квадрат на треугольник и трапецию. Как определить фигуру, которая удовлетворяет условию 
? Вспоминаем линейные неравенства: нужно взять любую точку, не принадлежащую прямой 
, например, точку 
и подставить её координаты в неравенство: 
Получено верное неравенство, значит, множеству благоприятствующих исходов соответствует площадь 
трапеции. Рассчитаем данную площадь как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника (разделены на чертеже пунктиром): 
По геометрическому определению:
– вероятность того, что координаты брошенной в данный квадрат точки удовлетворяют неравенству
.
Ответ: 
…аналитическую геометрию немного вспомнили, теперь на очереди математический анализ, ибо неравенства бывают не только линейными:
Задача 35
Загадываются два числа 
и 
в промежутке от 0 до 5. Какова вероятность, что 
?
Схема решения уже знакома: коль скоро загадываются 2 произвольных числа от нуля до пяти (они могут быть и иррациональными), то общему количеству исходов соответствует площадь квадрата 
Изобразим ветвь гиперболы 
, которая делит квадрат на две части: 
Теперь выясним, какой из этих двух «кусков» удовлетворяет неравенству 
. Для этого выберем любую точку, не принадлежащую гиперболе, проще всего взять 
, и подставим её координаты в наше неравенство: 
Получено неверное неравенство, а значит, условию 
соответствует «верхний кусок», площадь 
которого, деваться тут некуда, придётся вычислить с помощью определённого интеграла. Уточним нижний предел интегрирования аналитически (найдём точку пересечения гиперболы 
и прямой 
): 
На отрезке 
прямая 
расположена не ниже гиперболы 
, по соответствующей формуле: 
По геометрическому определению:
– вероятность того, что произведение двух загаданных в промежутке от 0 до 5 чисел окажется больше двух.
Ответ: 
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Задача 36
Загадываются два числа 
и 
в промежутке от 0 до 10. Какова вероятность, что 
?
Данная задача (как, собственно, и предыдущая) допускает несколько способов расчёта площади, подумайте, какой путь более рационален.
В заключение следует отметить, что геометрическое определение вероятности тоже обладает своими недостатками. Один из них заключается в своеобразном парадоксе, давайте вспомним самый первый пример с отрезком 
, на который случайным образом падает точка. Возможно ли, что точка попадёт, например, на самый край отрезка? Да, такое событие возможно, но по геометрическому определению, его вероятность равна нулю! И то же самое можно сказать о любой точке отрезка! Дело в том, что с позиций геометрии размеры отдельно взятой точки равны нулю, и поэтому геометрическое определение вероятности здесь не срабатывает.
Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Источник
