Теорема пифагора способы его доказательства

Малоизвестное обобщение теоремы Пифагора

Вокруг да около

История теоремы Пифагора уходит в века и тысячелетия. В этой статье, мы не будем подробно останавливаться на исторических темах. Для интриги, скажем только, что, по-видимому, эту теорему знали еще древне-египетские жрецы, жившие более 2000 лет до нашей эры. Для тех, кому любопытно, вот ссылка на статью в Википедии.

Прежде всего, хочется для полноты изложения привести здесь доказательство теоремы Пифагора, которое, по моему мнению, наиболее элегантно и очевидно. На рисунке выше изображено два одинаковых квадрата: левый и правый. Из рисунка видно, что слева и справа площади закрашенных фигур равны, так как в каждом из больших квадратов закрашено по 4 одинаковых прямоугольных треугольника. А это означает, что и незакрашенные (белые) площади слева и справа тоже равны. Замечаем, что в первом случае площадь незакрашенной фигуры равна , а во втором — площадь незакрашенной области равна . Таким образом, . Теорема доказана!

Зарождение идеи

В этой статье я хочу не только рассказать что-то новое и познавательное о теореме Пифагора, но и поделиться своей историей о том, как в моей голове зародилась интересная идея, которую я сумел сформулировать, доказать и даже предположил возможность обобщения на более высокую размерность. Но обо всем по порядку.

Египетские треугольники

Во-первых, это красивые математические объекты. А во-вторых, с ними очень удобно решать задачи! Нет никаких квадратных корней и иррациональных чисел в ответе.

Загадочные четверки

Заметив такое удивительное совпадение, я стал думать. Вопрос, который меня занимал в связи с этим загадочным обстоятельством, наличием не только троек, но и четверок, обнаруживающих свойства египетского треугольника, был таков: «А что бы это все могло значить?» Я перебирал варианты, какие только приходили в голову. В фантазии себя никак не ограничивал. Много раз садился за стол, выписывал известные мне наборы четверок и вдумчиво на них смотрел… часами… без перерыва… и… ничего не происходило. У меня был школьный товарищ Саня, с которым я как-то поделился своими идеями. Но его больше интересовали гуманитарные науки. Он стал юристом и сейчас служит в звании майора милиции. Саня сказал мне примерно следующее:«Вот странный ты человек. Делать тебе больше нечего. Мало тебе задают домашек? Хватит думать о всякой ерунде!». А, надо сказать, думал я, не переставая, и думал много лет, время от времени возвращаясь к этой загадке. Еще будучи школьником, я сделал вывод, что это, вероятнее всего, имеет отношение к великой теореме Ферма (на которую я тоже много раз подолгу смотрел). Шли годы. Ничего не получалось. Озарение не приходило. И я понял, что, вероятно, дальше чем «что-то связанное с теоремой Ферма» я никуда уже не продвинусь. Но не тут то было

Шерлок нашел зацепку

Итак, в 2014 году ехал я в автобусе по Новосибирску. А может быть это было метро. Дорога не близкая. Заняться нечем. И в очередной раз решил я подумать о моей школьной загадке. И вот что я подумал.

Как же назвать эти числа? Треугольниками не назовешь, ведь четыре числа никак не могут образовать треугольник. И тут! Как гром среди ясного неба

Раз есть такие четверки чисел, значит должен быть геометрический объект с такими же свойствами, отраженными в этих числах!

Теперь осталось только подобрать какой-то геометрический объект под это свойство, и все встанет на свои места! Конечно, предположение было чисто гипотетическое, и никакого подтверждения под собой не имело. Но что если это так!

Начался перебор объектов. Звезды, многоугольники, правильные, неправильные, с прямым углом и так далее и тому подобное. Опять ничего не подходит. Что делать? И в этот момент Шерлок получает свою вторую зацепку.

Надо повысить размерность! Раз тройке соответствуют треугольник на плоскости, значит четверке соответствует нечто трехмерное!

О нет! Опять перебор вариантов! А в трехмерии гораздо, гораздо больше всевозможных геометрических тел. Попробуй перебрать их все! Но не все так плохо. Есть же еще прямой угол и другие зацепки! Что мы имеем? Египетские четверки чисел (пусть будут египетские, надо же их как-то называть), прямой угол (или углы) и некий трехмерный объект. Дедукция сработала! И… Полагаю, что догадливые читатели уже поняли, что речь идет о пирамидах, у которых при одной из вершин все три угла — прямые. Можно даже назвать их прямоугольными пирамидами по аналогии с прямоугольным треугольником.

Новая теорема

Итак, у нас есть все что нужно. Прямоугольные (!) пирамиды, боковые грани-катеты и секущая грань-гипотенуза. Пришло время нарисовать еще одну картинку.

Теорема Пифагора для прямоугольной пирамиды

На картинке изображена пирамида с вершиной в начале прямоугольных координат (пирамида как бы лежит на боку). Пирамида образована тремя взаимно-перпендикулярными векторами, отложенными из начала координат вдоль координатных осей. То есть каждая боковая грань пирамиды — это прямоугольный треугольник с прямым углом при начале координат. Концы векторов определяют секущую плоскость и образуют грань-основание пирамиды.

Теорема

Пусть есть прямоугольная пирамида, образованная тремя взаимно-перпендикулярными векторами , у которой площади граней-катетов равны — , и площадь грани-гипотенузы — . Тогда

Альтернативная формулировка: У четырехгранной пирамиды, у которой при одной из вершин все плоские углы прямые, сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания.

Разумеется, если обычная теорема Пифагора формулируется для длин сторон треугольников, то наша теорема формулируется для площадей сторон пирамиды. Доказать эту теорему в трех измерениях очень просто, если вы немного знаете векторную алгебру.

Доказательство

где .

Площадь представим как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и

Как известно, векторное произведение двух векторов — это вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Поэтому

Что и требовалось доказать!

ЭВРИКА!

Моему восторгу не было границ! Я буквально прыгал от счастья. Конечно, это не бог весть какая сложная теорема, и доказательство очень простое, но ведь сам. И до меня — никто! Я был в этом искренне убежден в течение около года. Попытки найти хоть какие-то свидетельства о том, что это уже известно и доказано терпели неудачу одна за другой, и я думал, что совершил открытие. Это непредаваемое чувство! Я хотел поделиться этой теоремой со всем миром. Говорил о ней друзьям, знакомым математикам, просто знакомым с техническим/математическим образованием и без. Никто не разделял моего восторга и энтузиазма. Всем было попросту безразлично. Будто бы я не придумал и доказал теорему, а просто в магазин за хлебом сходил. Ну и что тут такого? Вот уж действительно… Как говорится, «Как скучно мы живём! В нас пропал дух авантюризма, мы перестали лазить в окна к любимым женщинам, мы перестали делать большие хорошие глупости.» (из фильма «Ирония судьбы»).

Конечно, как у человека, профессионально занимающегося исследованиями, подобное в моей жизни уже случалось, и не раз. Но этот момент был самым ярким и самым запоминающимся. Я испытал полную гамму чувств, эмоций, переживаний первооткрывателя. От зарождения мысли, кристализации идеи, нахождения доказательства — до полного непонимания и даже неприятия, которое встретили мои идеи у моих друзей, знакомых и, как мне тогда казалось, у целого мира. Это было уникально! Я словно почувствовал себя в шкуре Галлилея, Коперника, Ньютона, Шредингера, Бора, Эйнштейна и многих многих других открывателей.

Послесловие

В жизни, все оказалось гораздо проще и прозаичнее. Я опоздал… Но на сколько! Всего-то навсего 18 лет! Под страшными продолжительными пытками и не с первого раза Гугл признался мне, что эта теорема была опубликована в 1996 году!

Вот ссылка на статью:

Статья опубликована издательством Техасского технического университета. Авторы, профессиональные математики, ввели терминологию (которая, кстати, во многом совпала с моей) и доказали также и обобщенную теорему справедливую для пространства любой размерности большей единицы. Что же произойдет в размерностях более высоких, чем 3? Все очень просто: вместо граней и площадей будут гиперповерхности и многомерные объемы. А утверждение, конечно, останется все тем же: сумма квадратов объемов боковых граней равна квадрату объема основания, — просто количество граней будет больше, а объем каждой из них станет равен половине произведения векторов-образующих. Вообразить это почти невозможно! Можно только, как говорят философы, помыслить!

Что удивительно, узнав о том, что такая теорема уже известна, я ничуть не расстроился. Где-то в глубине души я подозревал, что вполне возможно, я был не первый, и понимал, что нужно быть всегда к этому готовым. Но тот эмоциониальный опыт, который я получил, зажег во мне искру исследователя, которая, я уверен, теперь уже не угаснет никогда!

Эрудированный читатель в комментариях прислал ссылку
Теорема де Гуа

Выдержка из Википедии

В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Ж.-П. де Гуа, однако ранее она была известна Рене Декарту[3] и до него Иоганну Фульгаберу (англ.), который, вероятно, первым открыл её в 1622 году[4]. В более общем виде теорему сформулировал Шарль Тинсо (фр.) в докладе Парижской академии наук в 1774 году[4]

Так что я опоздал не на 18 лет, а как минимум на пару веков!

Источники

Читатели указали в комментариях несколько полезных ссылок. Вот эти и некоторые другие ссылки:

Источник

Исследовательский проект «Теорема Пифагора, её доказательства и практическое применение»

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Теорема Пифагора.docx

муниципальное общеобразовательное учреждение

Некоузская средняя общеобразовательная школа

и практическое применение»

ученица 9 «В» класса

Белкова Галина Анатольевна

2021 – 2022 учебный год

Обоснование

Теорема Пифагора является одной из важнейших теорем курса геометрии 8 класса. Она возникла из потребности человека выполнять измерения на местности, применяется при доказательстве других теорем, решении многих задач. Теорема известна с древнейших времен. На уроке мы рассмотрели один из способов ее доказательства. От учителя я узнала, что существует более 300 способов ее доказательства. Я заинтересовалась и решила рассмотреть некоторые уже известные способы доказательства этой уникальной теоремы, а также ее применение при решении практических задач.

Цель проекта : расширить знания по истории математики, узнать о применении теоремы Пифагора при решении задач.

Исходя из этой цели, мною были поставлены следующие задачи :

ü изучить исторические сведения о Пифагоре и его теореме;

ü исследовать способы доказательства теоремы в учебниках геометрии разных авторов и лет.

ü рассмотреть применение теоремы при решении исторических задач;

ü показать применение теоремы Пифагора при решении практических задач ВПР и ОГЭ.

Введение

«Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них — это теорема Пифагора. »

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. Математики тысячелетиями говорят о ее величественности и значимости. Ей посвящены легенды, стихи. Вокруг теоремы ходит много споров: Кто же ее открыл?

1. Мне стала интересна история теоремы, способы доказательства. Я решила найти информацию о теореме и ее открытии.

Объект исследования: теорема Пифагора.

Предмет исследования: способы доказательства теоремы Пифагора, применение теоремы при решении практических задач.

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами интернета.

2. Наблюдение, сравнение, анализ.

3. Решение задач.

Результатом моего исследования является подбор комплекса практических задач на применение теоремы Пифагора.

Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики для повышения математической грамотности, и учителя на факультативных занятиях.

1. О Пифагоре

Я познакомилась с биографией Пифагора.

Крепкого телосложения юношу судьи одной из первых в истории Олимпиад не хотели допускать к спортивным состязаниям, так как он не вышел ростом. Но он не только стал участником Олимпиады, но и победил всех своих противников. Такова легенда…Этот юноша был Пифагор — знаменитый математик.

Вся его жизнь – легенда, точнее наслоение многих легенд. Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самос. По многим античным свидетельствам он был сказочно красив, отличался от своих сверстников разумом и справедливостью.

Пифагор происходил из аристократической семьи, в детстве получил превосходное по тем временам образование. Однако этих знаний ему показалось недостаточно, и он отправляется в трудное и небезопасное путешествие. Совсем юным Пифагор покинул Родину. Он прошёл по дорогам Египта, 12 лет жил в Вавилоне, затем – несколько лет в Италии. Уже в зрелом возрасте Пифагор переселяется на Сицилию, где создает пифагорейскую школу.

Пифагорейцы много занимались наукой, особенно математикой. Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теорем, построение правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах.

Трудно сказать, какие научные труды принадлежат Пифагору, какие – его воспитанникам. Пифагор не записал своего учения, держал его в тайне, рассказывал о своих умозаключениях только устно.

Ученики Пифагора расселились по Греции и ее колониям, где организовали свои школы, в которых преподавали главным образом арифметику и геометрию.

Союз пифагорейцев процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты, а школа Пифагора была разрушена и сожжена.

О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжает жить. Люди помнят его уже более двух с половиной тысяч лет – ему выпало счастье победить не только соперников на Олимпиаде, но и время.

2. О теореме

Теорема Пифагора – самая известная из всех геометрических теорем, можно сказать, самая главная теорема геометрии.

Интересна ее история. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

Существует такой факт, что за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3,4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и зданий и сооружений. В связи с указанным способом построения прямого угла треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц называют «египетским».

В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетом было установлено опытным путём на основе измерений.

Может показаться странным, но исторических фактов доказательства теоремы самим Пифагором нет — ни в архивах, ни в каких-либо других источниках. В современной версии считается, что оно принадлежит не кому иному, как самому Евклиду.

Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Сохранилась лишь легенда, которая гласит, что, доказав свою теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, по другим источникам даже сотню быков.

Немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик», написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье.

Засвета луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать.

От страха, что вселил в них Пифагор.

3. Различные способы доказательства теоремы Пифагора

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора. Любопытен такой факт, как публикация в 1940 году книги с трехсот семьюдесятью доказательствами теоремы. Она интриговала умы многих математиков и философов разных эпох. В книге рекордов Гиннеса она зафиксирована, как теорема с самым максимальным числом доказательств.

Первый вопрос, который я поставила перед собой, был такой: как доказывается терема Пифагора в других школьных учебниках. В нашей школьной библиотеке я нашла 6 книг по геометрии:

1. А.Н.Колмогоров, А.Р. Семенович, Р.С. Черкасов – Геометрия 7-9, М.: Просвещение, 1979 год

2. Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова – Геометрия 7-11, М.: Просвещение, 1992 год.

3. А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик – Геометрия 7-9, М.: Просвещение, 1995 год

4. А.В. Погорелов – Геометрия 7-11, М,: Просвещение, 1995 год.

5. И.Ф. Шарыгин – Геометрия 7-9, М.; Дрофа, 1997 год.

6. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов и др. – Геометрия 7-11, М,: Просвещение, 2016 год

и посмотрела доказательства теоремы.

Доказательства во всех учебниках отличаются друг от друга.

3.1. Учебник «Геометрия 7 -11» Бевз Г.П. 1992 год.

Доказательство построено на основе признаков подобия прямоугольных треугольников и пропорциональности сторон.

1) △ САН ∽△ ВАС ( ∠ А – общий);

2) ∆ СВН ∽ ∆АВС ( ∠ В –общий);

3) Складываем полученные равенства почленно

3.2. Учебник «Геометия 7-9» Александрова А.Д. 1995 год.

Приведено доказательство из математического трактата Древней Индии, которое сопровождалось рисунком из двух квадратов. На нем мы видим два различных разбиения одного и того же квадрата со стороной а + b . На первом из них квадрат слагается из квадратов со сторонами а и b и четырех треугольников. На втором — из квадрата со стороной с и таких же четырех треугольников. Исключив треугольники, видим чтоа 2 + b 2 = с 2 .

Посредством остроумного построения доказательство получилось очевидным.

Индусы сопровождали этот рисунок одним словом «Смотри!»

3.3. Учебник «Геометрия 7-9» И.Ф. Шарыгина 1997 год.

Дана классическая формулировка теоремы.

Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе.

Картинка, иллюстрирующая теорему Пифагора, была ранее своеобразным символом геометрии, а в среде российских гимназистов получила название «Пифагоровы штаны».

Саму теорему они переиначили так:»Пифагоровы штанына все стороны равны». И в этой шуточной формулировке запоминали ее на всю жизнь.

Доказательство перекликается с доказательством из учебника Александрова. Предъявляются две картинки, посмотрев на которые, без труда можно убедиться, что теорема доказана.

3.4. Учебник «Геометрия 7 -11» Погорелова А.В. 1996год.

Доказательство ведется с использованием определения косинусов.

Из вершины прямого угла С проведена высота С D .

1) cosA = = => AB ·AD = AC 2 .

2) cosB = = => AB · BD = BC 2 .

3) Складываем полученные равенства почленно

AC 2 + BC 2 = AB(AD + DB) = AB 2 , (AD + DB = AB).

3.5. Учебник «Геометрия 7 – 9» Атанасяна Л.С. 2016 год.

Классическое доказательство теоремы.

Треугольник достраивается до квадрата со сторонойа+ b . Площадь S этого квадрата равна (а + b ) 2 .

С другой стороны этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из них S = и квадрата со стороной с, поэтому

S = 4 · + с 2 = 2 + с 2 .

Т.О. (а + b ) 2 = 2 + с 2 , =>с 2 = а 2 + b 2 .

Я нашла 5 различных способов доказательства теоремы. Каждый автор учебника разбирал свое наиболее приемлемое доказательство. Приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.
Предлагаю шуточную формулировку теоремы Пифагора.
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.

4. Применение теоремы Пифагора

Кроме доказательств теоремы, я рассмотрела исторические задачи на применение теоремы Пифагора. Задача предписывается индийскому математику Басхары, жившему в XII веке. Это он сопровождал доказательство теоремы одним словом «Смотри!»

4.1. Задача Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

По теореме Пифагора:

АВ 2 = ВС 2 +АС 2 ; 9+16=25,

4.2. Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды, и какова длина камыша?».

По теореме Пифагора

x=12 (глубина воды);

12+1=13 (чи) — длина камыша

4.3. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстоятиимать».

По теореме Пифагора: ВС 2 =АВ 2 -АС 2 ;

ВС 2 = 125 2 – 117 2 ;

ВС 2 =15625-13689;

4.4. Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу»

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня

(1 чжан = 10 чи).Какова высота бамбука после сгибания?

В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора в учебниках не рассматривается. Но эти задачи встречаются воВсероссийских проверочных работах и заданиях ОГЭ.

Заключение

Проведя эту работу, я узнала историю открытия теоремы Пифагора, больше узнала о самом Пифагоре и его теореме. В ходе работы я нашла в различных учебниках несколько способов доказательства теоремы Пифагора. Познакомилась с историческими задачами на применение теоремы, посмотрела и решила задачи с практическим содержанием из контрольно-измерительных материалов ОГЭ, который мне предстоит сдавать в следующем году. Я убедилась, что она находит применение не только на уроках геометрии, но и в повседневной жизни. Я почувствовала, насколько математика интересная наука. Убедилась на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству. Всё, что я исследовала, науке давно известно, но для меня постижение этих истин стало открытием. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. В этом и состоит её величие!

Информационные ресурсы

1. А.Н.Колмогоров, А.Р. Семенович, Р.С. Черкасов – Геометрия 7-9, М.: Просвещение, 1979 год

2. Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова – Геометрия 7-11, М.: Просвещение, 1992 год.

3. А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик – Геометрия 7-9, М.: Просвещение, 1995 год

4. А.В. Погорелов – Геометрия 7-11, М,: Просвещение, 1995 год.

5. И.Ф. Шарыгин – Геометрия 7-9, М.; Дрофа, 1997 год.

6. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов и др. – Геометрия 7-11, М,: Просвещение, 2016 год.

7. Еленьский Ш. По следам Пифагора, М., 1961.

8. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин.-
3-е изд., испр. и доп. — М.: Педагогика-Пресс, 1997.

9. Энциклопедия для детей. Т.П. Математика /Главный редактор М.Д.
Аксенова. — М.: «Аванта+»,1998.

10. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. — М., 1997

Приложения

Задачи с практическим содержанием в заданиях ВПР и ОГЭ

ФИПИ. ОГЭ. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Учебное пособие под редакцией Ященко И. В. 2017 год.

Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. Найдите высоту, на которой находится её верхний конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м.

H 2 = 3 2 – 1,8 2 = 9 – 3,24 = 5,76.

Н = = 2,4 м.

Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну третьего этого этажа дома. Нижний конец летницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте расположено окно?

Н 2 = 10 2 – 6 2 = 100 – 36 = 64.

Н = = 8 м.

Задача 3. От столба к дому протянут провод длиной 10 м, который прикреплен на стене дома на высоте 3 м от земли. Вычислите высоту столба, если расстояние отдома до столба равно 8 м.

Н 2 = 10 2 – 8 2 = 100 – 64 = 36.

Н = = 6 м.

Математика. ОГЭ – 2016 под редакцией Ф.Ф.Лысенко. Тренажёр для подготовки к экзамену.

Задача 4. На расстоянии 15 м друг от друга стоят два дерева высотой 2,3 м и10,3 м. Найдите расстояние между вершинами.

Н = 10,3 – 2,3 = 8(м) – берёза выше ёлки.

L 2 = 15 2 + 8 2 = 225 + 64 = 289.

L = = 17 м.

Лестничный пролёт между этажами состоит из 20 ступенек, высота каждой из которых20 см, ширина – 21 см. определите длину поручня АВ, если известно, что расстояние АА₁ от основания первой ступеньки равно расстоянию ВВ₁от последней ступеньки до поручня.

1) 21 2 + 20 2 = 441 + 400 = 841

2) = 29

3) 29 · 20 = 580(см)

ОГЭ -2021. СтатГрад. Тренировочная работа №4. 10.03.2021.

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвки (3) в село Абрамово (4) Гриша с дедушкой, если они поедут сначала по шоссе, а затем свернут в Таловке(2) на прямую тропинку, которая проходит мимо пруда? Скорость по шоссе 15 км/ч, по тропинке – 12 км/ч.

Найдем все расстояния: 4 · 2 = 8 (км) – расстояние (2-3)

5 · 2 = 10 (км) – расстояние (1-2); 12 · 2 = 24(км) расстояние (1-4).

2) 10 2 + 24 2 = 100 + 576 = 676

3) = 26(км) – расстояние (2-4).

15км/ч = = 250 м/мин

12 км/ч = = 200 м/мин.

4) 8000 : 250 = 32(мин) – на шоссе.

5) 26 000 : 200 = 130(мин) – по тропинке.

6) 130 + 32 = 162 (мин) – на весьпуть.

Ответ: 162 минуты.

Задачник. ОГЭ – 2021, www . time 4 math . ru Задачи с практическим содержанием. Тема. «Земледельческие террасы».

Земледелец владеет несколькими участками, один из которых расположен на склоне холма. Ширина участка 20 м, а верхняя точка находится на высоте 16 м от подножия.

Земледелец на расчищенном склоне холма выращивает мускатный орех. Какова площадь, отведенная под посевы?

Склон имеет форму прямоугольника.

1) АВ 2 = АН 2 + НВ 2 = 16 2 + 63 2 = 256 + 3969 = 4225

2) АВ = = 65 (м).

3) S _склона = 65 · 20 = 1300(м 2 )

На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Ласточкино, ул. Школьная, д.18, (сторона каждой клетки на плане равна 2 м).

Найдите расстояние от теплицы(объект 5) до бани (объект В).

∆АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора:

АВ 2 = ВС 2 + АС 2

АВ 2 = 8 2 + 6 2 = 64 + 36 = 100

АВ = = 10(см).

Сторона каждой клетки равна 2м => АВ = 2 · 10 = 20(м).

Тема «Дровяная печь»

Хозяин выбрал дровяную печь (рис.1). Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней

стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха. Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R . Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

С – середина В D => ВС = 64: 2 = 32 (см).

АВ = 60 см, ВС = 32 см, АС = R см.

R 2 = 60 2 + 32 2 = 3600 + 1024 = 4624

R = = 68 (см).

ВПР – 2021. Математика 8 класс. Образец.

У стекольщика есть квадратное число. Сторона квадрата равна 40 см. нужно вырезать из этого стекла многоугольник , у которого все стороны равны и все углы равны. Нужно наметить линии и по этим линиям отрезать от квадрата четыре одинаковых прямоугольных треугольника по углам. Найдите приближенно длину катета одного такого треугольника в миллиметрах, считая, что равен 1,41.

Пусть неизвестный катет равен х см. По теореме Пифагора гипотенуза будет равна

Х 2 + Х 2 = 2Х 2 => = Х .

Все стороны многоугольника равны, поэтому получаем уравнение 40 – 2х = х , откуда

2х + х = 40

Х(2 + ) = 40

Х = = = = 20(2 — = 20(2 – 1,41) = 20 · 0,59 = 11, 8 см = 118 мм.

Выбранный для просмотра документ Теорема Пифагора и ее практическое применение.pptx

Источник