Теорема кронекера капелли решение систем линейных уравнений матричным способом

ЕГЭ2022 (математика профиль) в ВК

Скоро вебинар
«ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ»
(Аналитическая геометрия). Жми подробнее.

Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.

«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.»
Д. Пойа (1887-1985 г.)

(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики. Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

.

На вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.

Какая система называется совместной читать здесь

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений (СЛУ) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы (r_p) равен рангу основной матрицы (r_o).

Что называется расширенной матрицей читать здесь

Что такое ранг матрицы и как его найти читать здесь

Правила отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 1: Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 2: Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений.

МЕТОД ГАУССА

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения СЛУ является МЕТОД ГАУССА, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

СУЩНОСТЬ МЕТОДА ГАУССА. Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатой, восстанавливают систему, которая является равносильной исходной системе, и находят решение.

Как данную матрицу привести к ступенчатой читать здесь

Рассмотрим этот метод на примерах.

ПРИМЕР 1:

РЕШЕНИЕ:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Ранг основной матрицы равен 2 (r_o=2), а ранг расширенной – 3 (r_p=3), поэтому по теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

(Последняя строка представляет собой уравнение вида: 0=1. Поэтому делаем вывод, что система несовместна.)

Ответ: система несовместна.

Замечание: Если хотя бы одна строка имеет вид:

то система несовместна.

ПРИМЕР 2:

r_o=r_p=3, поэтому по теореме Кронекера-Капелли система совместна, причем ранг системы равен числу неизвестных, следовательно система имеет единственное решение.

Ответ: (4;1;-5)

ПРИМЕР 3:

РЕШЕНИЕ:

Третья и четвертая строки получились нулевыми. Их можно вычеркнуть.

r_o=r_p=2, поэтому по теореме Кронекера-Капелли система совместна, причем ранг системы меньше числа неизвестных, следовательно система имеет бесконечное число решений.

Ответ:

В открывшемся окне:

• поставить галочку возле «Добавить сообщение получателю»
• в появившемся поле оставить сообщение «в дар» или «подарок».

ИЛИ

оставить комментарий ниже.

Упражнения к уроку:

Решите системы методом Гаусса

;
3.Система несовместна.

Автор: Аникина Анна

Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий

Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда!

Источник

Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Установить, совместна ли система линейных уравнений, с помощью теоремы Кронекера-Капелли часто можно быстрее, чем с помощью метода Гаусса, когда требуется последовательно исключать неизвестные. Основана эта теорема на использовании ранга матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу её расширенной матрицы, то есть чтобы .

Здесь матрица A (матрица системы) — это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных:

В свою очередь матрица В (расширенная матрица) — это матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца из свободных членов:

Ранги этих матриц связаны неравенством , при этом ранг матрицы В может быть лишь на одну единицу больше ранга матрицы A.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли о числе решений. Пусть для системы m линейных уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда верно следующее.

• Если ранг матрицы равен числу неизвестных (), то система имеет единственное решение.
• Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым n — r неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r неизвестных определятся уже единственным образом.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений, то есть , то система совместна при любых свободных членах. В этом случае ранг расширенной матрицы также равен m, так как ранг матрицы не может быть больше числа её строчек.

В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:

1) отыскать в матрице системы A ранга отличный от нуля минор порядка, равного рангу матрицы системы, то есть ранга r;

2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы A, не входящим в минор ;

3) члены с коэффициентами, не входящими в , перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части, произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных из системы r уравнений с отличным от нуля определителем .

Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор

отличен от нуля, поэтому последнее уравнение отбрасываем и неизвестному придаём произвольное значение .

Оставшиеся неизвестные определяются из системы

Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом, находим

,

,

.

Присоединяя сюда , получаем все решения данной системы линейных уравнений.

Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:

.

Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:

.

Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3. Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три уравнения:

Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим

,

,

.

Источник

Теорема Кронекера-Капелли

Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг этой системы равен количеству переменных.

Совместная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если ранг этой системы меньше количества переменных.

Пример №1 . Исследовать систему алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы) с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Это соответствует системе:
-3x₂ + 9x₃ = 6
-4x₁ + 5x₂ + 7x₃ — 10x₄ = 0
За базисные переменные примем x₁ и x₂. Тогда свободные x₃,x₄.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Пример №2 .
Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (3). Умножим 4-ую строку на (-2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

3x₂ -2x₃ – 3x₄ = 10
3x₁ -x₂ -2x₃ = 1
Необходимо переменные x₃,x₄ принять в качестве свободных переменных и через них выразить базисные – x₁, x₂.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Пример №3 . Дана система линейных уравнений у которой число уравнений равно числу неизвестных. При каком условии эта система имеет единственное решение?
Ответ: Система имеет единственное решение, если ранг этой системы будет равен количеству переменных.

Источник