Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
Источник
Лекция по теме «Функция» для 1 курса
Лекция: Понятие функции.Основные свойства функции.
Преподаватель: Горячева А.О.
О. : Правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией .
Функция считается заданной, если:
— задана область определения функции X ;
— задана область значений функции Y ;
— известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.
О. : Множество X всех допустимых действительных значений аргументаx, при которых функция y = f (x) определена, называется областью определения функции .
Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции .
Рассмотрим некоторые способы задания функций.
Табличный способ . Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.
Графический способ . Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами — наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.
Аналитический способ . Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.
Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.
Словесный способ . Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.
Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.
Пример 2: функция y = — дробная часть числа. Точнее y = = x — [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим = r + q — r=q
Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.
Основные свойства функции .
1. Четность и нечетность
Функция называется четной , если
– область определения функции симметрична относительно нуля;
– для любого х из области определения f(-x) = f(x).
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной , если
– область определения функции симметрична относительно нуля;
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Функция f(x) называется периодической с периодом Т, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3 . Монотонность (возрастание, убывание).
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1
Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 f(x2).
Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х)
Значение Ymax = f(Xmax) называется максимумом этой функции.
Хmax – точка максимума
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
Xmin – точка минимума
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
Функция называется ограниченной , если существует такое положительное число M, что |f ( x )| M для всех значений x .
Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.
Задания (выполнить устно):
1. График какой из функций изображен на рисунке а)?
1) y=6x; 2) y=6x 2 ; 3) y= , 4) y=
2. Укажите нули функции (рис. б):
4) функция не имеет нулей
3.Найдите все значения х, при которых функция принимает положительные значения (рис. в):
1) (0;1); 2) (-1;1); 3) (0;+ ); 4) (- ;0)
4. Найдите все значения х, при которых функция принимает неположительные значения (рис. г):
5. Найдите все значения х, при которых функция принимает отрицательные значения (рис. д):
1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )
6. Найдите все значения х, при которых функция принимает неотрицательные значения (рис. е):
1) [0;+ ); 2) (- ;0) (0;+ ); 3) (- ;+ ); 4) 0.
7. Найдите наибольшее значение функции (рис. з).
1) -6; 2) 0; 3) 9; 4) 10.
8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-1;1] (рис. и).
Источник
Реферат: Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции
Название: Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат Добавлен 17:58:55 31 мая 2011 Похожие работы Просмотров: 4417 Комментариев: 21 Оценило: 12 человек Средний балл: 4.2 Оценка: 4 Скачать
ИНСТИТУТ БИЗНЕСА, ПРАВА И ИНФОРМАЦИОННЫХ
Понятие функции. Область определения функции.
Способы задания функции
Выполнил: Мальский Эдуард Александрович,
студент 2 курса
контрольной работы по дисциплине «Математика»
на тему «Понятие функции. Область определения функции.
Способы задания функции»
2. Способы задания функции…………………………………………. 5
3. Виды функций и их свойства……………………………………………. 6
Список использованной литературы…………………………………………. 12
Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r 2 . Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции — теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Раздел 1. Функция и её свойства.
Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у .
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у , соответствующее заданному значению х .
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Раздел 2. Способы задания функции.
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x) , где f(x)- с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Раздел 2. Виды функций и их свойства.
1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b— некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .
Cвойства функции y=kx :
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx — нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k 0функция возрастает, а при k 0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k 2
Свойства функции y=x 2 :
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x 2— четная функция
3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает
4. На промежутке (-¥;0] функция убывает
Графиком функции является парабола .
Свойства функции y=x 3 :
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x 3— нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=x n , где n — натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8. В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х| n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x—n, где n — натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7. В этом случае функция y=x—n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x -2 :
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x -2 — четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
1. Область определения — луч [0;+¥).
2. Функция y=Öх — общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+¥).
1. Область определения- вся числовая прямая
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх . При нечетном n функция y=nÖх обладает теми же свойствами, что и функция y= 3Öх.
12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=x r , где r — положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=x r :
1. Область определения- луч [0;+¥).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+¥).
На рисунке изображен график функции y=x 5/2 . Он заключен между графиками функций y=x 2 и y=x 3 , заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x r , где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x 2/3 . Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x r , где 0 — r , где r — положительная несократимая дробь.
1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+¥)
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнениеf(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция fобратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.
15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.
Понятие фу нкции является одним из ос новных понят ии ма тематики вообще . Оно не воз никло сразу в таком виде, как мы им пользуемс я сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный пут ь диалектического и и сторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегре чес кой математике.
Впервые термин «функция» вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин /определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него «геометрический налет».
Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: «функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных».
Список использованной литературы
в контрольной работе по дисциплине «Математика»
на тему «Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции»
1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва: «Дрофа», 2000 года.
, 4) y= 
); 4) (- 
[2;+ 
