Решение текстовых задач различными способами
Работа посвящена решению задач из школьных учебников «Математика-5,6» авт. Виленкин и др. и «Алгебры -7» авт. Алимов и др. различными способами.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| reshenie_zadach_raznymi_sposobami_npk.pptx | 2.65 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
XXIII муниципальная научно-практическая конференция школьников НОУ «Поиск» Выполнила: ученица 7А класса МБОУ « Горячеключевская СОШ» Омского МР Омской области Бутакова Полина Юрьевна Руководитель: учитель математики МБОУ « Горячеключевская СОШ» Омского МР Омской области Алферова Наталья Васильевна «Решение текстовых задач различными способами»
Актуальность. Данная тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач, ведь многие текстовые задачи очень трудно решить аналитическим путем. Научившись решать задачи различными способами, я смогу применять их не только на уроках, но и олимпиадах. Цель работы: исследование различных способов решения текстовых задач в курсе изучения математики 5- 7 классов. Объект исследования : текстовые задачи в курсе математики 5-7 классов. Предмет исследования : способы решения текстовых задач. Проблема: в школьном курсе изучения математики используется ограниченное количество способов решения текстовых задач. Гипотеза: с помощью различных способов можно упростить и ускорить процесс решения текстовых задач. XXIII муниципальная научно-практическая конференция школьников НОУ «Поиск»
Задачи: изучить научную литературу по данной проблеме; рассмотреть способы решения текстовых задач; описать методы и способы решения задач в 5 — 7 классах; продемонстрировать различные способы решения одних и тех же текстовых задач; провести сравнительный анализ различных методов решения текстовых задач, выявить наиболее рациональный; показать преимущество знаний различных способов решения текстовых задач; сделать подборку задач, решаемых различными способами, из учебников Математика-5, Математика-6, авт. Н.Я. Виленкина , В.И. Жохова, Алгебра -7 авт. Ш.А.Алимова, Ю.М.Колягина и др. XXIII муниципальная научно-практическая конференция школьников НОУ «Поиск»
Из истории математического образования в России Обучение в России долгое время велось «по правилам », учитель лишь формулировал основные определения и правила, и разбирал решение типовых задач. Ученик должен был знать на память ряд правил и решать задачи, попадающие в сферу его деятельности. Считалось , что «понимать-то едва ли нужно было». «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца, и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу [8] . Первый учебник математики был создан в 1703 году. Автором этого учебника стал Леонтий Филиппович Магницкий, а назывался учебник «Арифметика, сиречь наука числительная …». Эта «Арифметика…» прослужила в качестве школьного учебника почти до середины XVIII века.
«Какие способы решения текстовых задач вы знаете?»
В современной математике существуют различные способы решения текстовых задач: Арифметический метод . Решить задачу арифметическим способом значит найти ответ, на требование задачи, выполняя арифметические действия над числами. Алгебраический метод . Решить задачу алгебраическим способом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств). Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Схематический метод. Решить задачу схематическим способом — это значит найти ответ на требование задачи, как правило, с помощью схем. Графический метод. Решить задачу графическим способом — значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат. Различные способы решения текстовых задач
А С В Французский математик София Жермен писала: « Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах» Задача 4. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20% . На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня. Если а – первоначальное количество продукции, а х — % изменения, то а•(1-0,20)•(1+0,01х) =а . Решив уравнение, найдём х=25%. Но геометрический способ , на мой взгляд, наиболее наглядно позволяет увидеть решение. 1/5 АВ = 20% от АВ, СВ= 25% от АС. Ответ: на 25%. Геометрический способ решения текстовых задач
Геометрический способ решения текстовых задач Задача 5. № 258 учебника Математика-6, авт. Н.Я. Виленкин , В.И. Жохов. В бригаде 5 рабочих. Зарплата первого рабочего увеличилась на 10%, второго на 20%, третьего на – 30%, а у четвертого и пятого осталась прежней. На сколько процентов в среднем выросла зарплата рабочего этой бригады, если раньше все они имели одинаковую зарплату? 1) 10%=0,5 клетки 2) 20%=1 клетка 3) 30%=1,5 клетки 4) 5) 100% — 25 клеток, значит 1 клетка= 4%. Ответ:12 % Аналогичным способом можно рекомендовать задачи № 1675 учебника Математика-5, авт. Н.Я. Виленкин , В.И. Жохов.
Геометрический способ решения текстовых задач Задача 6 . № 654 учебника Алгебра – 7, авт. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин. Из 14 м ткани можно сшить 4 мужских и 2 детских пальто. Сколько метров ткани необходимо для пошива одного мужского и одного детского пальто. Если из 15 м той же ткани можно сшить 2 мужских и 6 детских пальто? Решение: Изобразим количество ткани на 1 мужское пальто отрезком одной длины, а на детское пальто — отрезком меньшей длины. Получим следующую картину: 1) 4 больших и 2 маленьких, 14 м 2) 2 больших и 6 маленьких, 15м 3)Уравняем количество больших отрезков, например, уменьшив отрезок первый в 2 раза: 14:2 =7 м. Найдём разницу меньших отрезков и разницу в м между 2) и 3) строкой: 6 — 1= 5 отрезков, 15 — 7= 8 метров, значит 8:5=1,6 м. Получили, что на одно детское пальто расходуется 1,6 м ткани, значит на 1 мужское пальто 2,7 м . Подобным способом можно рекомендовать решать задачи № 519 , №960, №1837 учебника Математика-5, авт. Н.Я. Виленкин , В.И. Жохов, №777 учебника Алгебра – 7, авт. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др.
Решение задачи алгебраическим и способом Из 14 м ткани можно сшить 4 мужских и 2 детских пальто. Сколько метров ткани необходимо для пошива одного мужского и одного детского пальто. Если из 15 м той же ткани можно сшить 2 мужских и 6 детских пальто ? Алгебраический способ сводит решение задачи к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть на 1 мужское пальто расходуется х м ткани, а на 1 детское y м ткани, тогда 4х+2у=14 , Решив систему уравнений, получим тот же ответ. 2х+6у=15 .
Задача 7. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км и против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения. Какова скорость течения реки? Алгебраический метод приводит к уравнению: 35/(15- x )= 25/(15+ x ), где x – скорость течения реки. Решив уравнение, находим x =2,5км/ч. Геометрически: А В С D E F t t 15+x 15-x S 1 = AB • AD =35, S 2 = BE • EF =25, S = S 1 + S 2 =35+25=60. S= AE • EF , AE =(15+ x ) +(15- x ) =30, EF= t , тогда имеем: 30 t =60, t =2, 35:2 = 17,5 – скорость движения лодки по течению, 17,5 – 15 = 2,5 км/ч – скорость течения реки. Геометрический способ решения текстовых задач
Задача 8. № 781 учебника Алгебра – 7, авт. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягина. Заводской цех должен был выполнить план по изготовлению однотипных деталей за 10 дней, но уже за день до срока он не только выполнил задание, но и изготовил сверх плана 3 детали, т.к. ежедневно изготовлял сверх плана по 2 детали. Сколько деталей должен был изготовить заводской цех по плану? Алгебраически решение задачи сводится к уравнению: 9 (х+2) -10х =3, откуда х=15 . Ответ: 15 деталей в день должен был изготовить заводской цех по плану . Геометрически: 9 1 Х дет. Х+2 дет . 9 2 Х дет. Т.к. количество деталей сверх плана на 3 детали больше планируемого, то S BEFC на 3 ед. 2 меньше S ABKM , разница площадей этих прямоугольников будет только в разнице S DMKC и S AEFD : 2•9- x•1=3 детали, 18-х=3, отсюда х= 15. Геометрический способ решения текстовых задач
Решение текстовых задач схематическим способом Задача 10. У мамы имеется 70 % уксусная эссенция и 6% пищевой уксус. Для консервирования, ей нужно получить 14% раствор уксуса. Как маме получить необходимый раствор? 70% 14-6=8 8:8=1часть 14% НОД(8;56)=8 6% 70-14=56 56:8=7 частей Значит, для получения необходимого раствора нужна 1 часть 70% эссенции и 7 частей 6% пищевого уксуса. В роли одной части может выступать, например, чайная ложка.
Задача 11. №1220 учебника Математика-6, авт. Н.Я. Виленкин , В.И. Жохов. В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Серёжа и Максим. Оказалось, что каждый из мальчиков знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? Схематическим способом с помощью граф можно рекомендовать решить задачу №1303 учебника Математика-6, авт. Н.Я. Виленкина , В.И. Жохова Решение текстовых задач схематическим способом
Решение текстовых задач графическим способом Задача 12. Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся? Данную задачу можно решить арифметическим способом. Вычислим скорости автомобилей v 1 =450:9=50 км/ч, v 2 =450:4,5=100км/ч, v сближения = 50+100=150 км/ч, t = S : v =450:150=3 часа. Решим её графически . По оси ординат отложим расстояние, а по оси абсцисс время. Движение автомобилей изобразим в виде двух прямых, выходящих навстречу друг другу. Читаем с чертежа ответ : автомобили встретятся через 3 часа.
Задача13 . №356 учебника Математика-6, авт. Н.Я. Виленкин , В.И. Жохов. С автовокзала вышел автобус со скоростью 60 км/ч. Через 0,5 ч вслед за ним вышла легковая автомашина со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов после своего выхода легковая автомашина будет впереди автобуса на 45 км? Алгебраический способ: 75х-60(х+0,5)=45, х = 5 часам Решение текстовых задач графическим способом Графический способ: Можно рекомендовать решить графическим способом задачи №1735, №1830 учебника Математика-5, авт. Н.Я. Виленкин , В.И. Жохов, №614 учебника Алгебра – 7, авт. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин .
Заключение Вывод : Арифметическим способом можно решать простые задачи 5-6 класса. В 6- 7 классах уже используется более универсальный метод – алгебраический . Я убедилась, что задачи на проценты, движение и совместную работу, можно решать с помощью геометрии. Геометрический способ является неординарным и рациональным, отличается быстротой и наглядностью . Схематический способ решения текстовых задач значительно упрощает решение задач на смешивание растворов и получение сплавов. Графический способ очень хорош при решении задач на прямолинейное движение. В результате выполнения исследовательской работы я расширила своё представление о способах решения текстовых задач, освоила и сравнила эти способы, показала их применение при решении задач, которые рассматриваются в наших учебниках. Владея несколькими способами, я научилась быстрее и рациональнее решать задачи и теперь буду увереннее себя чувствовать на уроках математики. Надеюсь, моя работа будет полезна не только мне, но и принесёт пользу моим сверстникам.
Известный математик и педагог Алексей Иванович Маркушевич говорил: « Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели» . XXIII муниципальная научно-практическая конференция школьников НОУ «Поиск»
Источник
Статья на тему: «Методы и способы решения текстовых задач»
Методы и способы решения текстовых задач
Начну с того, что же такое задача. Ведь термин задача встречается нам как в быту, так и в профессии. Каждый из нас решает ежедневно те или иные задачи. Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий. Текстовая задача – описание некоторой ситуации на естественном языке, с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами и определить вид этого отношения. Любая текстовая задача состоит из двух частей – условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторые числовые данные объекта, об известных и неизвестных значениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Оно выражено предложением в повелительной или вопросительной форме. Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи. Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу в широком смысле этого слова — это значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т. д.), выполнить действия над данными задачи, используя общие положения и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения.
Прежде всего надо, осознать, что такое текстовая задача. И целью подготовительного периода является возможность показать перевод различных реальных явлений на язык математических символов и знаков. Также для того, чтобы правильно выбрать то или иное действие для решения простой задачи, необходимо сформировать понятие об арифметических действиях, научить выбирать то или иное действие. Решением задачи называют результат, т. е. ответ на требование задачи.
Текстовые задачи мы можем условно классифицировать по типам: задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием процента; задачи на «движение», «концентрацию смесей и сплавов», «работу» и т. д.
Решение текстовых задач делится на несколько этапов:
восприятие и осмысление задачи;
поиск плана решения;
выполнение плана решения;
Существуют различные методы решения текстовых задач:
метод проб и ошибок.
В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.
Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом — строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.
Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод — построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.
Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом — значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.
Алгебраический метод . Решить задачу алгебраическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно так же решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.
Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.
Логический метод . Решить задачу логическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.
Практический метод . Решить задачу практическим методом — значит найти ответ на требования задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами).
Табличный метод позволяет видеть задачу целиком это — решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу.
Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.
Метод проб и ошибок (самый примитивный), в нем ответ на вопрос задачи угадывается. Но и здесь основные моменты решения — выбор пробных ответов на вопрос задачи и проверка их соответствия условию осуществляется с помощью мыслительных операций, необходимых при решении любым путем. Угадывание ответа требует интуиции, без которой невозможно никакое решение.
Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.
Работа над текстовой задачей остается одним из важнейших аспектов обучения в начальной школе, когда закладываются основы знаний; является движущим фактором в развитии младших школьников. Из текстов задач дети открывают новое об окружающем мире, испытывают чувство удовлетворения и радости от их успешного решения.
Решение текстовых задач и нахождение разных способов их решения на уроках математики способствует развитию у детей мышления, памяти, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности, развитию умения кратко, четко и правильно излагать свои мысли.
При решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п.
Для преобразования условия задачи в математическую модель математические знания практически не нужны – здесь необходим здравый смысл. Очень важно обязательно сформулировать, используя переменные, что мы обязаны найти, т. к. переменных может быть намного больше, чем уравнений, где все их найти просто невозможно.
Решая системы нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило, положительны, т. к. в природе отрицательных скоростей и расстояний не существует. Это даёт нам право на умножение, деление и на возведение в квадрат получающиеся уравнения и неравенства.
Решая задачи «на работу», очень выгодно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе. Во время исследования была обнаружена всего одна задача, где помимо рассмотрения деятельности всех рабочих, важно рассмотреть их совместную деятельность, а иначе задача будет решена не верно.
В задах «на производительность» стоит лишь отметить то, что за производительность трубы принимается объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Также, бывают случаи, когда необходимо принять за неизвестные одновременно объём бассейна, производительность труб и время наполнения бассейна каждой трубой, чего не стоит опасаться.
Источник
