Табличный способ задания фал

Табличный способ задания ФАЛ 3 страница

Обозначения, принятые при изображении логических элементов.

Пусть логический элемент имеет вид, представленный на рис.

Входы у любого логического элемента всегда располагают слева, а выход (ды) – справа. Окружностью у основания вывода « » обозначается инверсия соответствующего сигнала. Инверсия может осуществляться с входными и (или) выходными сигналами. Например, у логического элемента, изображённого на рис. Есть инверсия входного сигнала и выходного сигнала, который преобразуется в сигнал .

Последовательность преобразования логических сигналов элементом всегда обозначается одинаково. Она следующая:

1) Сначала логические сигналы поступают на входы логического элемента (см. рис. ). Если на входах имеется инверсия, то соответствующие сигналы преобразуются в инверсные (см. рис. пунктирная область №1).

Например, изображённый на рис. элемент имеет инверсию сигнала , поэтому в последующих операциях вместо , будет участвовать промежуточный сигнал . Для удобства можно в таблицу истинности логического элемента ввести ещё один столбик в котором записать соответствующие значения сигнала :

Сигнал остаётся неизменным, поскольку инверсии на его входе нет.

2) Далее с преобразованными сигналами выполняется операция, которая обозначена внутри прямоугольника (см. рис. пунктирная область №2).

Например, представленный на рисунке логический элемент реализует операцию «дизъюнкция» (см. табл. ), причём аргументами для данной операции будут сигналы и . Обозначим результат операции символом , причём . Заполним ещё один столбик таблицы истинности элемента:

При заполнении таблицы используем таблицу истинности элемента «дизъюнкция» (см.табл. ). Поскольку переменная не участвует в операции, соответствующий столбец обозначен пунктиром.

3) Если имеется инверсия на выходе, то результат выполнения предыдущей операции следует инвертировать . Если на выходе нет инверсии, то , то есть дополнительных преобразований не требуется.

Поскольку в нашем примере имеется инверсия на выходе логического элемента (см. рис. пунктирную область №3), то . Запишем в таблице истинности ещё один столбец . Значения этого столбика заполним по таблице истинности элемента отрицания (см.табл. 5), где в качестве аргументов будут использованы значения столбика .

4) Так как входными сигналами для изображённого на рисунке логического элемента являются и , а выходным – , в то время как сигналы и символизируют промежуточные преобразования внутри логического элемента, то, вычеркнув столбики промежуточных преобразований, получим таблицу истинности изображенного на рис. элемента в окончательном виде:

Она описывает взаимосвязь между входными сигналами элемента и выходным сигналом.

Теперь, воспользовавшись принципом суперпозиции, выведем аналитическое выражение, задающее ФАЛ элемента, изображённого на рисунке.

В результате преобразования (1) была получена ФАЛ, после преобразования (2) была получена ФАЛ , а после преобразования (3) – . Произведем последовательные подстановки. Подставив в , получим , затем, подставив в получим аналитическое выражение ФАЛ описывающее взаимосвязь выходного сигнала изображённого на рисунке логического элемента с входными сигналами и : .

Проанализируем полученную формулу. Формула содержит несколько элементарных преобразований: две инверсии и одну дизъюнкцию. В ней же указан порядок выполнения логических операций, который может быть определен на основе следующих правил:

– Инверсия имеет приоритет перед другими операциями, аналогичный скобкам.

– Инверсия, обозначенная более короткой чертой, имеет приоритет перед инверсией, обозначенной более длинной чертой.

– Инверсия, охватывающая чертой другие логические операции, выполняется после выполнения этих операций.

Для удобства восприятия последовательности операций мысленно выделим части выражения, охваченные чертой соответствующей инверсии парами скобок, это позволит наглядно увидеть в какой последовательности должны выполняться действия в приведенной формуле: .

Итак, сначала требуется инвертировать значение переменной . Перед выполнением следующей инверсии необходимо выполнить дизъюнкцию, поскольку инверсия охватывает чертой операцию дизъюнкции и участвующие в ней аргументы. В последнюю очередь результат нужно инвертировать.

Если сопоставить последовательность аналитических и табличных преобразований, то можно заметить, что она одинакова, а, следовательно, формула полностью соответствует полученной для логического элемента таблице истинности (табл.9). Это легко проверить подстановкой значений переменных.

Например, возьмём следующий набор переменных , а . Подставим значения в формулу: . Выполним инверсию, обозначенную более короткой чертой, получим: . Выполним дизъюнкцию . Выполним оставшуюся инверсию . Полученный результат совпадает, со значением функции , записанным в таблице истинности (табл. 9) для данного набора переменных. Аналогично можно проверить соответствие аналитически заданной ФАЛ с табл. 9 на остальных наборах.

3. набор аргументов, на котором макстерм принимает своё единственное нулевое значение совпадает с набором аргументов, на котором ФАЛ, заданная таблицей истинности (картой Карно), принимает одно из своих нулевых значений.

Задача получения КСНФ может быть разделена на три этапа, аналогичных этапам получения ДСНФ:

– определение количества макстермов;

– определение аналитического выражения для каждого макстерма;

– составление выражения КСНФ.

Определение количества макстермов.

В общем случае КСНФ содержит столько макстермов , сколько нулей содержится в столбце значений функции таблицы истинности (в ячейках карты Карно).

Например, для ФАЛ заданной таблицей истинности (табл.1) при записи КСНФ необходимо использовать три макстерма, т.е.:

(21)

Как видно из сравнения соотношений (20) и (21) количество минтермов и количество макстермов при описании одной и той же ФАЛ в общем случае различно.

Определение аналитического выражения для каждого из макстермов.

Аналитическое выражение для каждого макстерма получают так.

Сначала вводят аналитические выражения для значений переменных, входящих в набор. При этом, если в таблице истинности значение переменной равно единице , то записывают , если же значение переменной равно нулю , то записывают . Важно отметить, что аналитические выражения для переменных, входящих в макстерм инверсны по отношению к аналитическим выражениям переменных, входящих в минтерм.

Аналитическое выражение макстерма представляет собой дизъюнкцию (логическое сложение) аналитических выражений значений переменных, входящих в набор, на котором значение макстерма должно быть равно нулю.

Например, макстерм единственный ноль у которого будет получаться на наборе № 0 табл. 1, имеет вид: (табл. 6), макстерм , единственная единица у которого будет формироваться на наборе № 4 – и т.д.

№ набора					Комментарий (подстановка значений переменных и вычисление функции)

Пример построения таблицы истинности:

Рассмотрим последовательность построения таблицы истинности, описывающей функционирование некоторого дискретного устройства,

например, схемы, содержащей три ключа и обмотку реле. Схема их

соединения приведена на рис. 3

а) При построении таблицы истинности в первую очередь необходимо определить количество столбцов в ней. Для этого можно воспользоваться следующей формулой:

где – количество входных переменных;

– количество выходных ФАЛ;

Можно в таблицу истинности добавить ещё один столбец, в который будет служить для нумерации двоичных наборов переменных в десятичной системе, хотя это и не обязательно.

Проанализируем схему (рис. 3). Нетрудно заметить, что состояние обмотки реле в схеме определяется совокупностью состояний ключей , каждый из которых может иметь два положения: замкнут – пропускает ток или разомкнут – ток не пропускает. Если учесть также, что для обмотки реле в данном примере возможны только два состояния: «под током» и «без тока», то, как следует из приведённого выше определения, реле вместе со схемой реализует некоторую ФАЛ. Поскольку в схеме только одно реле, включаемое или отключаемое от источника тока при различных комбинациях положений ключей, то реализуется всего одна ФАЛ, значит . Количество входных переменных для ФАЛ определяется количеством ключей, включенных в цепь питания обмотки реле, то есть .

Итак, таблица истинности должна содержать столбцов, при условии наличия столбца номеров наборов переменных и при его отсутствии.

№ набора

б) После того, как определено количество столбцов в таблице истинности ФАЛ, необходимо определить количество строк. Количество строк в таблице равно количеству уникальных (неповторяющихся) наборов переменных, которое можно определить по формуле (1). При этом строка заголовка не учитывается. Поскольку у данной ФАЛ , то количество строк равно . Номера наборов в таблице истинности заполним от нуля до .

№ набора

в) Теперь необходимо перечислить все уникальные наборы входных переменных ФАЛ. Последовательность заполнения такая. Обычно, сначала заполняется самый правый столбец входных переменных ФАЛ. При этом в соседних двух ячейках столбца чередуют ноль и единицу. Начинают заполнение от нуля, который проставляется в ячейке столбца, расположенной в строке с набором № 0.

г) Остальные столбцы таблицы истинности заполняются таким образом, чтобы в каждом последующем столбце группы ячеек с нулями и единицами были в два раза больше чем в предыдущем. Причем ячейки всех столбцов, относящиеся к строке набора № 0, обязательно заполняют нулями.

№ набора
0

/2

/2

При правильном заполнении всех столбцов самая верхняя ячейка каждого столбца должна содержать «0», а самая нижняя – «1», причём, в последнем заполненном столбце верхняя половина наборов должна содержать нули, а нижняя – единицы.

д) Далее условимся, что под состоянием любого ключа схемы «0» будем понимать его разомкнутое состояние, то есть состояние, когда он не пропускает ток, а под состоянием «1» – его замкнутое состояние. Аналогично будем считать, что в состоянии «1» обмотка реле находится под током, а в состоянии «0» – обесточена. Тогда, непосредственно анализируя схему, можно заполнить столбец таблицы истинности. Рассуждения при этом можно строить следующим образом.

Если , значит ключ разомкнут; , значит ключ замкнут; , значит ключ замкнут, то , то есть цепь питания обмотки реле находится под током. Следовательно, в ячейке, соответствующей набору № 3 следует записать «1».

№ набора

Рассуждая аналогичным образом, можно заполнить все остальные ячейки столбца . Окончательно, таблица истинности для схемы, приведенной на рис. 3, имеет вид:

№ набора

Примечание: Если в схеме используются контактные тройники реле, то принято считать, что при включении тройника в схему с использованием фронтового контакта (замыкается, если обмотка реле под током), соответствующая переменная имеет прямое значение , если же тройник включён тыловым контактом (замыкается, если обмотка реле обесточена), то соответствующая переменная имеет инверсное значение. Обозначается инверсия чертой над переменной .

Полученная ФАЛ описывает функционирование только схемы, приведённой на рис. 3. Очевидно, что при иной схеме соединения ключей реле будет реализовывать другую ФАЛ. Количество которых может быть достаточно велико.

Лекция 3

Минимизация функций алгебры логики

Пусть функционирование некоторой комбинационной схемы описано таблицей истинности. Одной и той же таблице истинности, как правило, могут соответствовать несколько различных аналитических выражений.

Так, например, таблице истинности (табл. 10), соответствуют следующие выражения:

;

Таблица 20
№ набора

;

;

;

Источник