ТЕМА 5. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ
1. Понятие отношения между элементами одного множества.
2. Способы задания отношений.
3. Свойства бинарных отношений.
4. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];
Дополнительная литература [1, 10, 14, 74]
Понятие отношения между элементами одного множества
В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.
Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.
Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.
Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = <2, 4, 6, 8>задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2
Источник
ТОНКМ / отношение на множестве способы их задания
Отношение – это связь между элементами одного мн-ва.
Бинарным отношением на мн-ве Х называют всякое подмножество декартова произведения Х
Х.
Способы задания отношений: 1. Указывается характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в этом отношении. При этом характеристическое свойство представляет собой предложение с двумя переменными. 2 .Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.
3. Построение графа
Свойства отношений: 1.Рефлексивность: каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой(«параллельность», «равенство»).
R рефлексивно x R x
2 . Симметричность: если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом отношении с элементом х («параллельность», «перпендикулярность», «равенство». «быть родственником»). R симметрично x R y => y R x
3 . Антисимметричность : если из того, что х находится в данном отношение с элементом у и х≠ у, следует, что элемент у в том отношении с х не находится («больше», «меньше»,»длиннее»,»короче»). R антисимметрично x R y и x≠ y => y R x 4. Транзитивность: если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, а элемент y находится в этом отношении с элементом z следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом z («больше», «выше», «старше»,»равно», «параллельно»). R транзитивно x R y и y R x => x R z
5.Антирефлексивность: каждый элемент множества не находится в отношении с самим собой.
R рефлексивно 
Источник
Лекция 2. Отношение между множествами.
Лекция 2. Отношения между множествами.
Между двумя множествами существует пять видов отношений.
Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются и записывают этот факт в виде А∩В = ∅ . Например, А = < a , c , k >, В = < d , e , m , n >, общих элементов у этих множеств нет, поэтому множества не пересекаются.
Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются и записывают А∩В≠ ∅ . Например, множества А = < a , c , k > и В = < c , k , m , n > пересекаются, т. к. у них есть общие элементы c , k .
Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В ⊂ А)
Пустое множество и само множество называют несобственными подмножествами . Остальные подмножества множества А называются собственными. Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2 n подмножеств. Если рассматривают лишь подмножества некоторого множества U, то U называют универсальным множеством.
Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.
Например, А = < a , c , k , m , n > и В = < m , n , a , c , k >, А = В.
Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами или диаграммами Эйлера-Венна.
Разбиение множества на классы называют классификацией.
Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества. Если выбирается только одно свойство, то такую классификацию называют дихотомической . Например, натуральные числа можно разбить на четные и нечетные. Буквы русского языка можно разбить на гласные и не гласные. Вообще, если на множестве Х задано одно свойство А, то это множество разбивается на два класса: первый класс – объекты, обладающие свойством А, второй класс – объекты, не обладающие свойством А.
Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса. Например, на множестве натуральных чисел заданы два свойства: «быть кратным 2» и «быть кратным 3». При помощи этих свойств в множестве N можно выделить два подмножества А и В. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 6). Тогда в первый класс войдут числа, кратные 2 и 3, во второй – кратные 2, но не кратные 3, в третий – кратные 3, но не кратные 2, в четвертый – не кратные 2 и не кратные 3.
П р и м е р 1. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:
а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;
б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?
Р е ш е н и е. а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.
б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.
Задания для самостоятельной работы по теме:
Приведите примеры множеств А, В, С, если отношения между ними таковы:
2. Образуйте все подмножества множества букв в слове «крот». Сколько подмножеств получилось?
3 . Из множества N выделили два подмножества: А – подмножество натуральных чисел, кратных 3, и В – подмножество натуральных чисел, кратных 5. Постройте круги Эйлера для множеств N , A , B ; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества N ; укажите характеристические свойства этих множеств.
5. Имеется множество блоков, различающихся по цвету (красные, желтые, зеленые), форме (круглые, треугольные, прямоугольные), размеру (большие, маленькие). На сколько классов разбивается множество, если в нем выделены подмножества: А – круглые блоки, В – зеленые блоки, С – маленькие блоки? Сделайте диаграмму Эйлера и охарактеризуйте каждый класс.
6. Известно, что А – множество спортсменов класса, В – множество отличников класса. Сформулируйте условия, при которых: а) А ∩В=Ø
7. Пусть Х= < x 
N/ 1 
x 15>. Задайте с помощью перечисления следующие его подмножества:
А – подмножество всех четных чисел;
В – подмножество всех нечетных чисел;
С – подмножество всех чисел, кратных 3;
D – подмножество всех чисел, являющихся квадратами;
Источник
Доклад для начальной школы «Отношения между элементами одного множества»
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
Новосибирской области
«Черепановский педагогический колледж»
Тема: «Понятие отношения между элементами одного множества».
Выполнила: Савельева Маргарита Алексеевна
Студентка 31 группы
Преподаватель: Быкова Наталья Александровна
г. Черепаново
2021 г.
В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.
Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.
Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом.
Множество – это набор предметов (элементов множества ), наделённых определёнными общими свойствами.
Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = <2, 4, 6, 8>задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2
В процессе обучения школьникам часто приходится рассматривать элементы одного множества и устанавливать отношения между ними:
— сравнивать по величине;
— выстраивать сериационный ряд;
В математике изучают взаимосвязи между числами («быть больше», «следовать за», «быть меньше на 1»), в геометрии рассматривают отношения равенства, пересечения, параллельности и др.
Чаще всего мы сталкиваемся с отношениями между двумя объектами, их называют бинарными.
Способы задания отношений:
1. Указывают характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в этом отношении. При этом характеристическое свойство представляет собой предложение с двумя переменными.
2. Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.
Например элементы множества X = <1, 2, 3, 4, 5 >связаны отношением «быть больше на 1». В этом случае отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на 1». Это же отношение можно задать, перечислив все пары чисел, связанных данным отношением: <(2;1), (3;2), (4;3), (5; 4) >.
Способы задания отношений взаимосвязаны – от одного можно переходить к другому, и наоборот. Например, детям предложено задание: «Маша, Катя, Сережа, Валера – дети одних родителей. Назовите, кто кому является братом». Выполняя его, дети должны перейти от задания отношения с помощью характеристического свойства к перечислению пар элементов.
1 . Рефлексивность: каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой («параллельность», «равенство»).
2. Симметричность : если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом отношении с элементом х («параллельность», «перпендикулярность», «равенство», «быть родственником» ).
3. Антисимметричность : если из того, что х находится в данном отношении с элементом у и х ¹ у, следует, что элемент у в этом отношении с х не находится («больше», «меньше», «длиннее», «короче»).
4. Транзитивность : если из того, что элемент х находится в
данном отношении с элементом у, а элемент у находится в этом
отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом z («больше», «выше», «старше», «равно», «параллельно»).
Одно и то же отношение может обладать несколькими свойствами. Так отношение «равно» — рефлексивно, симметрично, транзитивно, отношение «больше» — антисимметрично и транзитивно.
Если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности («равенство», «параллельность»).
Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то оно определяет разбиение этого множества на классы. И наоборот, любое разбиение множества X на классы определяет на этом множестве отношение эквивалентности.
Это утверждение проявляется, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по группам».
«Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одного цвета».
Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение множеств полосок и мячей на классы.
Если отношение транзитивно и антисимметрично, то оно называется отношением порядка («больше», «длиннее», «следовать»).
На рисунке 1 изображены сестры Анна Ивановна и Вера Ивановна с сыновьями Петей и Юрой. Между этими людьми существуют различные родственные отношения . Рассмотрим некоторые из них.
а) Петя – сын Анны Ивановны. В этом же отношении «быть сыном» находится Юра с Верой Ивановной. В отношении «быть сыном» не находятся Вера Ивановна и Анна Ивановна.
Рис.1. Выпишем все пары элементов, находящихся в отношении «быть сыном». Таких пар две: (Петя; Анна Ивановна) и (Юра; Вера Ивановна).
Эти пары можно представить с помощью особого чертежа, состоящего из точек, соединенных стрелками. Такие чертежи называются графами. Такой граф называют графом отношения «быть сыном» (рис. 2).
б) Анна Ивановна – тетя Юры. В этом же отношении «быть тетей» находятся еще лишь Вера Ивановна и Петя. Граф отношения «быть тетей» показан на рисунке 3.
в) В отношении «быть сестрой или матерью» находятся элементы четырех пар: (А. И.; В. И), (В. И.;А. И.), (А. И.; П.), (В. И.; Ю.), граф этого отношения представлен на рисунке 4.
Таким же образом можно представить графы отношений «быть двоюродным братом», «быть племянником» и др.
Из курса школьной математики известны многочисленные примеры отношений:
— между числами : «равно», «неравно», «меньше», «больше», «кратно», «следует за…», «делится на…» и т. д.;
— между точками прямой : «предшествует», «следует за» и т. д.;
— между прямыми : «параллельны», «пересекаются», «перпендикулярны»;
— между плоскостями : «параллельны», «пересекаются», «перпендикулярны»;
— между геометрическими фигурами: «равно», «подобно», и др.
Таким образом, в математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи между ними, т. е. отношения между этими объектами. Чаще всего в математике рассматривают отношения между двумя объектами, их называют бинарными ; отношения между тремя элементами – тернарными ; отношения между n элементами – n -арными .
Значение этого материала нужно учителю начальных классов и воспитателю дошкольного учреждения для того, чтобы, изучая конкретные отношения в начальной математике понимать их сущность, взаимосвязи, роль в усвоении тех или иных понятий.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Источник
