Сущность способа замены плоскостей проекции заключается

СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас элементы фигуры занимают частное положение.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному выполняется следующим способом: введением дополнительных плоскостей проекций, расположенных либо параллельно, либо перпендикулярно рассматриваемому геометрическому элементу.

Сущность способа заключается в том, что пространственное положение объекта не изменяют, а вводят новую, дополнительную плоскость проекций, расположенную таким образом, чтобы интересующие нас элементы фигуры или весь объект целиком проецировался на неё в удобном для решения задачи положении. При этом новая плоскость проекций должна быть перпендикулярна к одной из имеющихся плоскостей проекций. В результате образуется новая система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций, заменяющая прежнюю.

На рис. 54 в систему плоскостей проекций введем новую плоскость проекций . Новой осью проекций будет . Заметим, что координаты Z точек А и В в плоскостях и будет одна и та же. И кроме того, если новую ось выберем параллельно проекции прямой , то на плоскости проекций проекция проектируется в натуральную величину прямой АВ.

ПЕРЕВОД ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ УРОВНЯ

(т.е. параллельно новой плоскости проекций )

Для преобразования прямой АВ в прямую уровня (рис. 55) вводят новую плоскость проекций так, чтобы ось проекций была параллельна проекции (рис. 54), затем откладывают на новой плоскости проекций от оси ( ) координаты Z точек и , равные координатам Z точек и .

Новая проекция прямой дает натуральную величину отрезка АВ и угол наклона прямой к плоскости проекций .

ПЕРЕВОД ПРЯМОЙ УРОВНЯ В ПРОЕЦИРУЮЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ

(т.е. перпендикулярно плоскости проекций)

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой уровня преобразовалось в точку (рис. 56), надо эту плоскость расположить перпендикулярно данной прямой, т.е. провести на комплексном чертеже ось проекций перпендикулярно направлению проекции прямой на общую плоскость проекций. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости .

Для построения вырожденной в точку проекции прямой общего положения необходимо последовательно решить две предыдущие задачи: на рис. 57 представлено такое решение.

ПЕРЕВОД ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОЕЦИРУЮЩЕЕ

Известно, что если одна плоскость перпендикулярна другой, то она должна содержать прямую, перпендикулярную этой плоскости. В качестве такой прямой можно взять прямую уровня, например, горизонталь, как это показано на рис. 58.

Переведем горизонталь h в проецирующее положение, вводя новую плоскость проекций . Поскольку проекция плоскости АВС на плоскости вырождена ыв прямую, она будет служить геометрическим местом всех точек, принадлежащих этой плоскости. Проецируем точки плоскости на , беря их координаты Z с плоскости .

ПЕРЕВОД ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ В ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ

Решение этой задачи позволяет определить натуральную величину плоской фигуры (рис. 59.).

Пусть задана фронтально-проецирующая плоскость . Вводим новую плоскость проекций , параллельную . Новая ось проекций по этой причине будет расположена параллельно , т.е. в системе плоскостей проекций плоскость займет положение плоскости уровня, а треугольник АВС будет проецироваться на плоскость в натуральную величину.

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить её изображение как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно две предыдущие задачи. При первой замене плоскость становится проецирующей (вырождается в линию), а при второй – плоскостью уровня (рис. 60 – не приведён). Расстояние для построения проекций точек на плоскости нужно брать с плоскости , отмеряя их от оси проекций .

Источник

Способ замены плоскостей проекций. Сущность способа замены плоскостей проекций состоит в том, что заданную систему плоскостей проекций заменяют новой системой так

Сущность способа замены плоскостей проекций состоит в том, что заданную систему плоскостей проекций заменяют новой системой так, что геометрические фигуры оказываются в частном положении относительно новой системы плоскостей проекций.

Проследим, как изменятся проекции точки B, если плоскость V заменить на новую плоскость проекций V₁ (рис. 5.1, а). Плоскость V₁ проводим перпендикулярно плоскости Н, положение которой остается без изменения. Плоскости Н и V₁ пересекутся по прямой 0х₁, определяющей новую ось проекций. В новой системе плоскостей проекций вместо проекций b и b’ получим новые проекции b и b₁′. Легко убедиться, что расстояние от новой проекции точки b₁′ до новой оси 0х₁ (координата Z) равно расстоянию от заменяемой проекции b’ до заменяемой оси 0х. Чтобы перейти от пространственного чертежа к эпюру, нужно совместить плоскость V₁ с плоскостью Н. На эпюре (рис. 5.1, 6) для построения новой проекции b₁′ используем неизменность координаты Z точки B. Для этого достаточно из горизонтальной проекции b провести перпендикуляр к новой оси 0х₁ и от точки b_X1 отложить координату Z, определяемую расстоянием b’b_x (Z_B) в прежней системе.

Замена горизонтальной плоскости Н новой плоскостью Н₁ (рис. 5.1, в) производится аналогично, с той лишь разницей, что теперь не изменяется фронтальная проекция точки b’, для построения новой горизонтальной проекции b₁ необходимо из сохраняемой фронтальной проекции b’ провести линию связи к новой оси 0х₁ и отложить от новой оси расстояние, равное расстоянию от заменяемой проекции b до заменяемой оси 0х.

Замена плоскостей проекций может осуществляться только последовательно, нельзя менять обе плоскости сразу.

Рассмотрим на примерах, как производится замена плоскостей проекций и строятся новые проекции фигур.

Задача 1.Определить длину отрезка прямой АВ общего положения.

Заменяем плоскость V плоскостью V₁, параллельной отрезку АВ (рис. 5.2, а). Проводим новую ось Х₁ параллельно ab и на перпендикулярах, проведенных к ней из точек а и b, откладываем а_X1а₁′ = а_xа’ и b_X1b₁′ = b_xb’. Получаем новую проекцию a₁′b₁′ = AB и одновременно угол α наклона прямой к плоскости Н.

Если плоскость Н заменим плоскостью H₁ параллельной отрезку АВ (рис. 5.2, б), то получим а₁b₁ = АВ и угол β наклона прямой к плоскости V.

Задача 2.Определить натуральную величину и форму треугольника ABC.

Задача решается последовательной заменой двух плоскостей проекций.

Сначала плоскость V заменяем плоскостью V₁, перпендикулярной к плоскости треугольника (рис. 5.3). Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь AD (ad, a’d’) и новую ось Х₁ располагаем перпендикулярно к ad. На новой плоскости проекций треугольник спроецируется в прямую b₁′а₁′с₁. На втором этапе плоскость Н заменяем плоскостью Н₁, параллельной плоскости треугольника, располагая ось Х₂ параллельно прямой b₁′а₁′с₁′. Построенная проекция a₁b₁с₁ определяет натуральную величину и форму треугольника ABC.

Задача 3.Определить расстояние от точки А (а, а’) до плоскости Р, заданной следами P_H и P_V (рис. 5.4).

Задача решается путем замены одной из плоскостей проекций новой, относительно которой плоскость Р будет проецирующей.

Заменим, например, плоскость V плоскостью V₁, перпендикулярной к плоскости Р. Новую ось X₁ проводим перпендикулярно к следу Р_Н . Выбираем на следе P_V произвольную точку N (п, п’) и находим ее новую проекцию п₁′,откладывая n_X1n₁′ = n_xn’ = y_N.. Через точки P_X1 и п₁′ проводим новый след P_V1. Построив новую проекцию a₁′ и опустив из нее перпендикуляр на P_V1, определяем расстояние от точки А до плоскости Р, которое равно отрезку a₁′k₁′. После этого определяем на первоначальном чертеже положение проекции основания перпендикуляра (k, k′).

Задача 4.Определить кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми АВ (ab, a ′ b′)и CD (cd, c’d’)(рис. 5.5).

Отрезок перпендикуляра к обеим прямым, измеряющий кратчайшее расстояние между ними, проецируется в натуральную величину на плоскость проекций, перпендикулярную к одной из скрещивающихся прямых.

Для решения задачи следует произвести две последовательные замены плоскостей проекций. В результате первой замены одна из прямых должна оказаться параллельной новой плоскости проекций, а после второй замены эта прямая должна стать перпендикулярной следующей вводимой плоскости проекций.

На рис. 5.5 заменим, например, плоскость V плоскостью V₁, параллельной прямой АВ. Новую ось Х₁ проводим параллельно ab и строим новые проекции a₁ ′ b₁′ и c₁‘d₁‘. Затем плоскость Н заменяем плоскостью Н₁, перпендикулярной к прямой АВ, располагая новую ось Х₂ перпендикулярно a₁′b₁′. При этом прямая АВ спроецируется на плоскость Н₁ в точку a₁≡b₁.

Отрезок MN располагается параллельно плоскости Н₁ и определяет искомое расстояние.

При помощи линий проекционной связи, проводимых в обратном направлении, находим проекции тп и т’п′ этого отрезка на исходных плоскостях проекций Н и V.

Задача 5.Определить величину двугранного угла при ребре АВ (рис. 5.6).

Двугранный угол измеряется линейным углом, образованным линиями пересечения его граней плоскостью, которая перпендикулярна к ним. Он проецируется в натуральную величину на плоскость, перпендикулярную к его ребру.

Для решения задачи:

1. Заменим плоскость V плоскостью V₁ таким образом, чтобы общее ребро АВ превратилось в прямую уровня.

2. Заменим плоскость Н плоскостью Н₁ так, чтобы общее ребро АВ заняло проецирующее положение.

3.Получаем линейный угол φ₁, определяющий величину заданного двугранного угла.

4. Находим проекции φ и φ′ этого угла на исходных плоскостях Н и V при помощи линий проекционной связи, проводимых в обратном направлении.

Источник