Сущность способа вращения вокруг проецирующей прямой

При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций, ее фронтальная проекция перемещается перпендикулярно линиям связи, а горизонтальная – по окружности, центром которой является горизонтальная проекция оси вращения.

При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций, ее горизонтальная проекция перемещается перпендикулярно линиям связи, а фронтальная – по окружности, центром которой является фронтальная проекция оси вращения (рис. 138).

Рассмотрим вращение точки A(A₁, A₂) вокруг горизонтально-проецирующей прямой i(i₁, i₁).

При вращении точка описывает окружность, плоскость которой γ(γ₂) перпендикулярна оси i(i₁, i₁). Поскольку i⊥ П₁ а γ(γ₂)⊥i, γ(γ₂)∥ П₁ и угол поворота φ проецируется на П1 в натуральную величину.

Таким образом, при вращении вокруг горизонтально-проецирующей прямой i(i₁, i₂) A₁ перемещается по окружности l₁ с центром в точке О₁ и радиусом r=r₁=/O₁A₁/, A₂ перемещается по фронтальному следу плоскости γ₂ в пределах отрезка [1₂,2₂].

Способом вращения вокруг проецирующей прямой можно совместить точку с плоскостью или поверхностью. Рассмотрим совмещение точки M с поверхностью прямого кругового конуса, поставленного основанием на плоскость П₁ (рис. 139).

Точка M , вращаясь вокруг горизонтально-проецирующей оси i(i₁, i₂) , описывает окружность l , лежащую в горизонтальной плоскости уровня γ(γ₂) (рис. 140). Точка M должна также принадлежать поверхности конуса, следовательно, необходимо определить линию пересечения n поверхности конуса с плоскостью вращения γ(γ₂) . Затем определяются точки пересечения полученной линии n и окружности l – траектории перемещения точки MM . Полученные точки M’ и M» являются точками совмещения точки M с поверхностью конуса.

Дано: Ф к – поверхность конуса,

3. l×n=M’,M» – точки совмещения M(M₁M₂) с поверхностью конуса Ф к .

Источник

Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Метод поворота вокруг прямой проекции 1. Как уже показано (§20), при применении метода поворота плоскость проекции не изменяется, и изменяется исходное положение в пространстве. Изменение исходного положения осуществляется вращением Он вокруг оси. Линия проекции уровня или прямая линия обычно выбирается в качестве оси вращения.

Это связано с тем, что структура, выполняемая в сложном чертеже при вращении вокруг этих линий, намного проще, чем структура при вращении вокруг прямой линии в обычном положении. Если вы повернете оригинал вокруг оси, которая является прямой линией в общем положении, сложный чертеж сначала преобразуется так, чтобы эта ось была линией проекции.

После вращения вокруг линии проекции результат возвращается в основную систему плоскости проекции. Людмила Фирмаль

Обратите внимание, что при выполнении вращения вокруг оси v точка вращения A представляет круг в плоскости S2, перпендикулярной оси вращения v (рисунок 99). Центр C этого круга является началом перпендикуляра, опущенного из повернутой точки A на ось вращения v, или же пересечением с осью вращения v плоскости Q, вокруг которой вращается точка.

Совершенно ясно, что все исходные точки вращаются на один угол при повороте вокруг оси. Исключением является исходная точка на оси вращения. Эти точки остаются неподвижными во время вращения. 2. Поверните точку вокруг линии проекции. Дайте точку А, вращающуюся вокруг горы инфракрасный Линия проекции i.

Плоскость Г, в которой точка А, перпендикулярная горизонтальной проекционной линии i, рисует круг, является горизонтальной плоскостью уровня (рис. 100, а). Вы можете видеть, что круг с центром в точке C, представленной точкой A во время вращения, проецируется на плоскость проекции P без искажений. И на плоскости проекции P2 в виде отрезка прямой линии, перпендикулярной линии связи.

Чтобы упростить рисунок 100 и визуальное изображение, объедините плоскость P с горизонтальной плоскостью G. 101 и плоскость P2 совмещены с передней плоскостью F. Например, поверните точку A на угол вокруг линии i в направлении, противоположном движению по часовой стрелке (Рис. 100, b при просмотре плоскости P сверху). Для этого нарисуйте круг в поле P и кружок _ (= оно и радиус AXC <с центром в точке C.

Затем отложите угол / 4 (^ / 4 = рассмотрите указанное направление вращения) Получите горизонтальную проекцию Ax нового местоположения точки A. Местоположение точки A определяется проекцией G2 плоскости G. Если точка A вращается вокруг прямой t, выступающей вперед, нарисуйте круг перед уровнем A (рис. 101, а). Этот круг проецируется без искажения на плоскость проекции P2.

Плоскость P проецируется в виде отрезка прямой линии, перпендикулярной линии связи. Рисунок 101, б, точка А вращается вокруг передней проекции а, с, а, Укажите прямую линию i с углом Людмила Фирмаль

Кроме того, точка 1 произвольно выбрана в строке /, а точка 2 является нормальной ссылкой для линии / и линии i. Затем поверните точку 2 вокруг линии i на угол o. час Рис. 104 Рисунок 103 Направление. Затем он рисует перпендикулярно сегменту через горизонтальную проекцию новой позиции 2, точка 2, горизонтальную проекцию новой позиции линии 2t / j.

Поскольку отрезок lt-2t не меняет свою длину во время вращения, положите точку / сегмент- / = 2i-A из точки 2X, чтобы определить новое положение точки / горизонтальной проекции /. Из проекции / и 2 найдите фронтальную проекцию / 2 и 2d новой позиции точки / и 2. Это определяет строку I на новом месте. 4. Плоское вращение.

Поскольку плоскость определяется тремя точками, которые не находятся на прямой линии, вращение плоскости — это вращение точек, которые определяют плоскость. Например, предположим, что вы хотите повернуть плоскость © (ABC) в общем положении вокруг передней позиции i на угол w (рис. 104). Точки вращения A, B и C, определяющие один и тот же угол на этой плоскости (в определенном направлении вращения o) (в этом случае код A2A2 помечается крестиком между точкой, помеченной штрихом и крестиком.

Должен быть равен код между точками)), новые позиции A, B и C этих точек. Точки «A, B и C» определяют новое положение плоскости после поворота назад вокруг плоскости i на угол o. Поскольку передняя проекция треугольника ABC сохраняет свое значение при вращении вокруг линии прямой проекции I, одна из сторон треугольника может вращаться первой, как показано на рисунке 3. 103, создайте новую позицию для двух вершин треугольника.

Тогда новую позицию третьей вершины можно найти из следующего условия: LА2В2Сг = ЛАгВ2С2 (рис. 104). 5. Вращаясь вокруг линии проекции, вы можете решить все четыре основные проблемы, решаемые в 22, заменив плоскость проекции. Тем не менее, решение этих проблем с помощью метода вращения является более громоздким, чем решение путем замены плоскости проекции.

Таким образом, вместо рассмотрения здесь всех четырех проблем для сравнения показаны только первое и третье решения. Первое задание Поверните прямую I в общем положении в положение уровня прямой. Поверните линию / к предыдущей позиции. Для этого возьмем горизонтально выступающую линию r \, которая проходит через точку / линию / относительно оси вращения (рис. 105).

Выбор этой оси вращения несколько упрощает структуру, потому что точка / является фиксированной, и для вращения линии / остается только одна точка. Например, горизонтальная проекция линии 2 / новой позиции / должна была быть перпендикулярна линии связи, поэтому мы построили проекции 2 и 22 для новой позиции точки 2, поэтому это определяет линию I для передней позиции / вы.

Проекция / 2 — это неискаженная проекция линии /, а угол a между линией / 2 и линией равен Дает естественный угол наклона прямой I к плоскости проекции P, перпендикулярной линии связи Чтобы повернуть прямую линию / в горизонтальное положение, необходимо использовать прямую линию, выступающую перед прямой линией / в качестве оси вращения. Третий вызов. Поверните плоскость (ABC) в общем положении в положение плоскости проекции.

Например, поверните плоскость в положение плоскости, которую вы хотите проецировать на фронт. Для этого вам нужно повернуть вокруг горизонтально выступающей линии i, чтобы часть горизонтали h в плоскости 0 стала выступающей линией (рис. 106). В этом случае горизонтальная проекция h 1 горизонтальной линии h занимает положение / g, параллельное линии связи, поэтому определяют угол поворота. 0) =

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Источник

Лекция 4. Способы преобразования ортогонального чертежа

4.1. Способ перемены плоскостей проекций

Чаще всего геометрические объекты расположены относительно плоскостей проекций в общем положении, и при решении задач для достижения поставленной цели необходимо выполнять много построений.

Количество построений можно значительно сократить, если геометрические элементы будут расположены в частном положении относительно плоскостей проекций.

Существуют два основных способа преобразования чертежа, при которых:

Объект остаётся неподвижным, при этом меняется аппарат проецирования;
Условия проецирования не меняются, но изменяется положение объекта в пространстве.

К первому способу относится способ перемены плоскостей проекций.

Ко второму – способ вращения (вращение вокруг линии уровня и вращение вокруг проецирующей прямой); способ плоскопараллельного перемещения.

Рассмотрим наиболее часто используемые способы при решении задач.

Способ перемены плоскостей проекций или способ введения дополнительных плоскостей проекций (ДПП) позволяет перейти от заданной системы плоскостей проекций к новой системе, более удобной для решения той или иной задачи.

Рассмотрим положение точки А относительно известной системы плоскостей проекций π₂⊥π₁ (Рисунок 4.1, а и б).

Введём π₄⊥π₁, при этом получим новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки А на эпюре будет в этом случае задано проекциями А₁ и А₄.

Правила перемены плоскостей проекций:

Новая плоскость проекций вводится перпендикулярно, по крайней мере, одной из заданных на чертеже плоскостей проекций;
ДПП располагается относительно проецируемого объекта в частном положении, удобном для решения поставленной задачи;
Новую плоскость совмещаем вращением вокруг новой оси проекций с плоскостью, которой она перпендикулярна на свободное место так, чтобы проекции не накладывались друг на друга.

а б

Рисунок 4.1 – Способ перемены плоскостей проекций

На чертеже новая проекция геометрического элемента находится на линии связи, перпендикулярной новой оси проекций:

Расстояние от А₄ до π₁/π₄ равно расстоянию от А₂ до π₂/π₁, так как величина этих отрезков (отмечены ○) определяет расстояние от точки А до плоскости проекций π₁.

При решении задачи необходимо заранее обдумать, как расположить новую плоскость проекций относительно заданных геометрических объектов (прямой, плоскости и др.), и как на чертеже провести новую ось проекций, чтобы в новой системе плоскостей заданные объекты заняли бы частные положения по отношению к новой плоскости проекций.

Упражнение

1. Спроецировать отрезок общего положения АВ в точку.

Введём ДПП π₄//А₁В₁ и π₄⊥π₁ (Рисунок 4.2). В новой системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций π₁/π₄ отрезок АВспроецируется на π₄ в натуральную величину и по этой проекции можем определить угол наклона отрезка к плоскости проекций π₁

Упражнение

2. Дана плоскость общего положения – σ, заданная треугольником АВС (Рисунок 4.3).

Определить истинную величину треугольника.

Введём ДПП π₄⊥σ и π₄⊥π₁, для чего построим горизонталь в плоскости треугольника и проведём новую ось проекций π₁/π₄⊥g₁согласно теореме о перпендикуляре к плоскости. На π₄ плоскость σ спроецируется в прямую, что означает σ⊥πp₄.
Введём ДПП π₅//σ (π₄/π₅//А₄В₄С₄) и π₄⊥π₅. На π₅ проекция А₅В₅С₅ – есть истинная величина треугольника.

4.2. Способ вращения

Сущность способа вращения состоит в том, что положение системы плоскостей проекций считается неизменным в пространстве, а положение проецируемого объекта относительно неподвижных плоскостей изменяется.

Из сравнения сущности обоих способов видно, что решение задач, которые требуют применения преобразования ортогонального чертежа, может быть выполнено любым из этих способов, результат при этом должен получиться одинаковым. Основа выбора того или иного способа – рациональность решения.

Вращение заданных элементов будем осуществлять вокруг проецирующей прямой, то есть прямой, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, при этом все точки заданных элементов поворачиваются в одну и ту же сторону на один и тот же угол (Рисунок 4.4, а и б). Ось вращения и объект вращения составляют твёрдое тело.

А – точка в пространстве;

О – центр вращения точки А;

АО – радиус вращения

а б

Рисунок 4.4 – Способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной π₂

Точка описывает в пространстве окружность радиусом АО. Плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (σ⊥m).

Так как m⊥π₂ , то σ//π₂, следовательно, σ⊥π₁, ⇒ σ₁⊥m₁, и поэтому σ проецируется на π₁ в виде прямой, перпендикулярной проекции оси вращения, а на π₂ траектория вращающейся точки проецируется в виде окружности с центром О₂≡m₂.

Пусть ось вращения m⊥π₁ (Рисунок 4.5, а и б). Плоскость окружности σ⊥m.

а б
Рисунок 4.5 – Вращение вокруг прямой, перпендикулярной π₁
\left.\begin\sigma\parallel\pi_1\\\sigma\perp \pi_2\\\end\right\> npu\;m\perp\pi_1\Longrightarrow\sigma_2\perp m_2
Свойства проекций

На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, траектория вращающейся вокруг этой оси точки проецируется без искажения, то есть в окружность с центром, совпадающим с проекцией оси вращения на эту плоскость и радиусом, равным расстоянию от вращаемой точки до оси вращения.
На плоскость проекций, параллельную оси вращения, траектория вращающейся точки проецируется в отрезок, перпендикулярный проекции оси вращения на эту плоскость.
На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, проекция вращаемого объекта своих размеров и формы не меняет.

Упражнение

Дано : отрезок общего положения – АВ.

Определить : способом вращения истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций.

1. Выберем ось вращения m⊥π₁ и проходящую через точку В (Рисунок 4.6).

На плоскости проекций π₂ проекция траектории перемещения точки А – прямая,

A_2 \overline\perp m_2\;u\;A_2\overline\parallel\pi_2/\pi_1

На плоскости проекций π₁ проекция траектории перемещения точки А – окружность радиусом |А₁В₁|.

Повернем отрезок до положения, параллельного плоскости проекций π₂. Получим натуральную величину отрезка.

Угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций π₁ будет угол
\alpha=\angle\widehat_2> .

Для того, чтобы определить угол наклона АВ к плоскости проекций π₂, надо ввести новую ось вращения перпендикулярно π₂ и повторить построения.

4.3. Определение истинной величины треугольника способом вращения

Пусть плоскость σ задана треугольником. Необходимо определить истинную величину треугольника (Рисунок 4.7).

Одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, истинную форму треугольника получить нельзя (так же как и введением одной ДПП).

Вращая вокруг оси m, перпендикулярной π₁ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₂ (а вращая вокруг оси n⊥π₂ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₁).

Рисунок 4.7

Положим σ’ должна быть перпендикулярна π₂. Для чего построим CD – горизонталь h плоскости σ. Введём первую ось вращения m⊥π₁, например, через точку С.
Повернём треугольник вокруг m до положения, когда
\overline\perp\pi_2\Rightarrow\overline_1\overline_1\perp\pi_2/\pi_1
На основании 3-го свойства, новая горизонтальная проекция треугольника \overline по величине должна равняться A₁B₁C₁, а фронтальная проекция треугольника будет представлять отрезок.
Введём вторую ось вращения n⊥π₂ через точку \overline_2 . Повернём фронтальную проекцию \overline в новое положение \overline<\overline\overline\overline>\parallel\pi_2/\pi_1 . На π₁ получим треугольник \overline<\overline\overline\overline> , равный истинной величине треугольника АВС.

4.4. Задачи для самостоятельной работы

Двумя способами преобразования ортогонального чертежа:

1. Определить расстояние от точки D до отрезка АВ – общего положения (Рисунок 4.8).

Рисунок 4.8

2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми общего положения (АВ//CD) (Рисунок 4.9).

Рисунок 4.9

3. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными отрезками АВ и CD (Рисунок 4.10).

Рисунок 4.10

4. Построить недостающую проекцию точки D при условии, что задана σ=ΔАВС – общего положения и первая проекция точки D₁, Dотстоит от плоскости σ на 30 мм (Рисунок 4.11).

Рисунок 4.11

5. Дан отрезок АВ – общего положения. Ось вращения не проходит через АВ (Рисунок 4.12). Определить способом вращения истинную величину АВ.

Рисунок 4.12

6. Задана прямая общего положения m и точка А вне прямой. Построить плоскость, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой m (Рисунок 4.13).

Рисунок 4.13

Источник