- Сколькими способами можно составить очередь на прием к врачу
- Дистанционный курс «Комбинаторика» для СПО
- Просмотр содержимого документа «Дистанционный курс»
- Просмотр содержимого документа «комплекс задач и упражнений 1 Комбинаторика»
- Просмотр содержимого документа «лекция 2 Правила комбинаторики.»
- Дистанционный курс «комбинаторика» для студентов СПО
Сколькими способами можно составить очередь на прием к врачу
Сколькими способами можно составить расписание
В третьем классе изучается 10 предметов. В понедельник 4 урока. Сколькими способами можно составить.
Сколькими способами можно составить букет?
4)есть 8 разных цветов. Сколькими способами из них можно составить букет, который содержит непарное.
Сколькими способами можно составить делегацию?
В организации работают 2 юриста, 5 экономистов и 6 специалистов по пиротехнике. На конференцию.
Сколькими способами можно составить букет?
Помогите пожалуйста с задачами. Для закрытия всех долгов не хватает только этого 2. Есть 10.
Мне сейчас не до смеха.я написала сюда для того что бы люди помогли решить , а не смеялись с задач и их составления
Добавлено через 3 минуты
Задача с методических указаний и контрольных заданий по дисциплине теории вероятности
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Сколькими способами можно составить букет?
В цветочном киоске 7 видов цветов.Сколькими разными способами можно составить букет,содержащий 3.
Сколькими способами можно составить треугольник?
Дан набор из N отрезков различной длины. Сколькими способами можно выбрать из этих отрезков три, из.
Сколькими способами можно составить раписание предметов?
Проверьте пожалуйста. В некотором классе изучают 10 различных предметов. В пятницу завуч должен.
Сколькими способами можно составить 5 слов из 20 букв
Сколькими способами можно составить 5 слов из 20 букв, если в совокупности этих 5 слов каждая буква.
Источник
Дистанционный курс «Комбинаторика» для СПО
Дистанционный курс включает в себя презентации, лекции и комплекс упражнений. Предназначен для самостоятельного изучения темы студентами СПО.
Просмотр содержимого документа
«Дистанционный курс»
Наименование дисциплины Математика
ФИО разработчик Добрынина Надежда Владимировна
Занимаемая должность преподаватель количество часов – 6
Плановая дата разработки 20.12.2018
Плановая дата внедрения дистанционного курса II семестр 2018-2019 учебного года
Кол-во акад. часов
Вид дистанционного курса
Тема 3.1. Комбинаторика.
Сочетания, размещения, перестановки.
Решение комбинаторных задач.
Комплекс задач и упражнений.
Просмотр содержимого документа
«комплекс задач и упражнений 1 Комбинаторика»
Комплекс задач по теме «Комбинаторика»
Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых все цифры нечетные?
Электронный кодовый замок имеет клавиатуру с цифрами от 0 до 9. Каково число четырехзначных кодов?
Механический кодовый замок имеет клавиатуру с цифрами от 0 до 9. Каково число четырехзначных кодов?
Сколькими способами можно уложить в ряд 2 зеленые и 4 красные папки?
Инвестор формирует портфель ценных бумаг. Он может вложить деньги в ацкии 5 различных фирм. Сколько существует способов создать портфель из 7 акций?
Студентам (12 человек) необходимо пройти обследование врача. Сколькими способами можно составить список на прием к врачу?
В селе 1,5 тысячи жителей. Докажите, что по крайней мере 2 из них имеют одинаковые инициалы.
В составе поезда Москва – Саратов 3 купейных, 4 плацкартных и 2 общих вагона. Сколько существует способов сформировать состав?
7 книг расставляют на 1 полке. Сколько существует способов расставить книги так, чтобы 2 определенные книги стояли рядом?
Сколькими способами можно выбрать 4 монеты из 5 рублевых и 4 двухрублевых?
Сколько трехзначных чисел можно составить из четных цифр без повтора?
Сколько четырехзначных чисел делящихся на 5 без остатка можно составить из цифр 0,1,3,5,7 без повтора?
На начальной остановке в вагон метро вошли 100 человек. Сколькими способами они могут выйти на последней 16 остановке?
В урне 15 шариков: 10 черных и 5 белых. Сколькими способами можно извлечь из урны 5 шариков, чтобы 3 белых и 2 черных?
Сколько различных звукосочетаний можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание содержит от 3 до 10 звуков без повторов?
Сколько четырехзначных чисел из цифр 0,1,2,3,4,5 содержат цифру 3?
Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может остановиться на 10 этажах. Пассажиры выходят группами по 2,3 и 4 человека. Сколькими способами это может произойти?
Просмотр содержимого документа
«лекция 2 Правила комбинаторики.»
Дистанционный курс по математике для студентов 1 курса
Преподаватель: Добрынина Н.В.
Тема: Правила комбинаторики.
Рассмотреть основные правила комбинаторики и их применение.
Формировать навыки решения комбинаторных задач.
Все расчетные формулы комбинаторики базируются на двух основных правилах:
Если элемент х из исходного множества можно выбрать n способами, после чего элемент у можно выбрать m способами, тогда выбрать либо х, либо у можно n + m способами.
Задача 1: Сколькими способами можно выбрать подарок ребёнку из 9 машинок, 7 плюшевых медведей и 3 железных дорог?
Решение: по правилу сложения 9 + 7 + 3 = 19 способами.
Если элемент х из исходного множества можно выбрать n способами, после чего элемент у можно выбрать m способами, тогда выбрать упорядоченную пару (х;у) можно n * m способами.
Задача 2: В группе изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если известно, что все пары должны быть различными и их 4?
Решение: Представим возможные варианты в виде таблицы.
Используем правило умножения: 10*9*8*7=5040
Применение правил комбинаторики.
Задача 3: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Решение: 0 не может стоять первым, значит первую цифру нужно выбрать из 2, 4, 6, 8 — 4 способа; второй цифрой может быть любая из четырёх оставшихся — 4 способа; третью цифру можно выбрать среди трёх оставшихся — 3 способа.
Итак, искомое количество трёхзначных чисел: 4 · 4 · 3 = 48.
Задача 4: Из пункта А в пункт В ведут 3 дороги, а из пункта В в пункт С – 4 дороги. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В?
Решение: В пункте А есть 3 способа выбора дороги в пункт В, а в пункте В есть 4 способа попасть в пункт С. Согласно принципу умножения, существует 34=12 способов попасть из пункта А в пункт С.
Задача 5: Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?
Задача 6: На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и потом спуститься с неё? Решите ту же задачу при дополнительном условии, что подъём и спуск происходят по разным дорогам.
Решение: 5*5=25; 5*4=20
Задача 7: При составлении одного варианта письменной контрольной работы по математике преподаватель располагает 4 задачами по геометрии, 8 – по алгебре и 3 – по тригонометрии. Сколькими способами можно составить этот вариант, если в него должно войти по одной задаче из перечисленных разделов?
Задача 8: Из двух полуфинальных групп, каждая их которых содержит по 6 команд, в финал выходит по одной команде. Сколько может быть различных вариантов участников финального матча?
Задача 9: В книге из 20 страниц на каких-либо трех страницах надо поместить по одной разной иллюстрации. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 10. На складе имеются 6 ящиков с различными фруктами и 3 ящика с различными овощами. Сколькими способами можно каждой из двух овощных палаток выдать по одному ящику с фруктами и овощами?
Задача 11: Пусть из города A в город B можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города A в город B?
Решение: Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3=6 способов.
Задача 12: В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколько способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?
Решение: Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон – другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способов.
Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 32=6 способами.
Замечание. Обычно принцип сложения применяется в тех случаях, когда в задачах встречаются союзы «или», «либо, либо» (телевизор или видеомагнитофон), а принцип умножения – в задачах, содержащих союз «и» (телевизор и видеомагнитофон).
Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.
Задача 13: В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин, после чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?
Решение: Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор 12*11*10+10*12*9 = 2400 способами.
Задача 14: Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. В данной задаче мы должны рассмотреть три случая: а) все письма рассылаются по разным адресам, б) все письма посылаются по одному адресу, в) только два письма посылаются по одному адресу. Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n1=654=120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n2=6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n3=365=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно n1+n2+n3 = 120+6+90 = 216 способами.
Задача 15: В урне содержится 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Сколькими способами можно вытащить из урны либо два белых шара, либо два цветных шара, из которых один синий, а другой – красный?
Решение: Все шары различимы и порядок важен. Поэтому способов вытащить два цветных шара по правилу умножения: 3*5=15. А вытащить 2 белых шара – 2 способа. Итого всего по правилу сложения 15+2=17 способов.
Задача 16: Имеется 6 различных конвертов без марок, 4 различные марки и 3 различных конверта с марками. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма?
Решение: по правилу умножения 6*4=24 – способы наклеить марку на конверт. По правилу сложения 24+3= 27 способов выбрать конверт с маркой.
Задача 17: Семья новоселов хочет приобрести письменный стол, книжный шкаф и диван. В мебельном магазине имеется 6 письменных столов, 4 книжных шкафа и 12 диванов, Кроме того, есть 2 гарнитура, содержащих письменный стол и диван, и 8 гарнитуров, содержащих книжный шкаф и письменный стол. Сколькими способами может быть сделана покупка?
Решение: Возможны три варианта покупки мебели: 1) По правилу умножения найдем способы выбрать стол, шкаф и диван не из гарнитура 6*4*12=288. 2) Также семья может приобрести гарнитур из стола и дивана и шкаф отдельно. Найдем по правилу умножения количество вариантов: 2*4=8. 3) Или семья может приобрести гарнитур из шкафа и стола, а диван отдельно. Тогда по правилу умножения количество вариантов равно 8*12=96. Найдем по правилу сложения общее количество вариантов 288+8+96=392.
Задача 18: В букинистическом магазине лежат 6 разных изданий романа И.С. Тургенева «Рудин», 3 издания его романа «Дворянское гнездо» и 4 издания романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 разных сборников, в каждом из которых есть романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 сборников с романами «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?
А если в магазине есть ещё 3 сборника, содержащие романы «Рудин» и «Отцы и дети», и 5 книг, содержащих все три романа?
Решение: 1) Можно купить либо по экземпляру каждого романа, либо сборник, содержащий два романа, и экземпляр третьего романа. Из принципов сложения и умножения получаем, что купить три романа отдельно можно 6*3*4=72 способами. Во втором случае можно купить сборник, содержащий романы «Рудин» и «Дворянского гнезда» и один экземпляр «Отцы и дети». Тогда вариантов будет 5*4=20. В третьем случае можно купить сборник с романами «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети» и отдельно «Рудин». Тогда вариантов 7*6=42. Всего по правилу сложения имеем 72+20+42=134 способов.
2) Если в магазине есть еще сборники, содержащие романы «Рудин» и «Отцы и дети», и 5 книг, содержащих все три романа, то возможны еще способы. При покупке сборника «Рудин» и «Отцы и дети» и отдельно романа «Дворянское гнездо» 3*7=21 способ. При покупке сборника с тремя романами – 5 способов. По правилу сложения получаем 134+21+5=160.
Источник
Дистанционный курс «комбинаторика» для студентов СПО
Выбранный для просмотра документ Дистанционный курс.docx
Наименование дисциплины Математика
ФИО разработчик Добрынина Надежда Владимировна
Занимаемая должность преподаватель количество часов – 6
Плановая дата разработки 20.12.2018
Плановая дата внедрения дистанционного курса II семестр 2018-2019 учебного года
Кол-во акад. часов
Вид дистанционного курса
Тема 3.1. Комбинаторика.
Сочетания, размещения, перестановки.
Решение комбинаторных задач.
Комплекс задач и упражнений.
Выбранный для просмотра документ Правила комбинаторики..pptx
Описание презентации по отдельным слайдам:
Тема 2: Правила комбинаторики Дистанционный курс по математике для студентов 1 курса Преподаватель: Добрынина Н.В. ГАПОУ МО «Подмосковный колледж «Энергия»
Правила комбинаторики Правило суммы: если элемент х из исходного множества можно выбрать n способами, после чего элемент у можно выбрать m способами, тогда выбрать либо х, либо у можно n+m способами. Правило произведения: если элемент х из исходного множества можно выбрать n способами, после чего элемент у можно выбрать m способами, тогда выбрать упорядоченную пару (х;у) можно n*m способами.
Задача: В группе изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если известно, что все пары должны быть различными и их 4?
Решение: Представим возможные варианты в виде таблицы. Используем правило умножения: 10*9*8*7=5040 Ответ: 5040 Номер пары Количество вариантов 1 10 2 9 3 8 4 7
Как будет решаться задача, если пары могу повторяться?
Решение: Представим возможные варианты в виде таблицы. Используем правило умножения: 10*10*10*10=10000 Ответ: 5040 Номер пары Количество вариантов 1 10 2 10 3 10 4 10
Список литературы: Новоселов О.В. Комбинаторика и вероятность: учебн. пособие для слушателей подготовит. курсов / О. В. Новоселов, Л.П. Скиба. СибГАУ, Красноярск, 2009. – 78 с. Филимонова Л.В., Быкова Е.А. Математика и информатика. Учебное пособие (для студентов гуманитарных факультетов ВУЗов). – 2-е изд. Дополненное и переработанное – Елец, ЕГУ им. И.А. Бунина, 2001, 110 с. http://math4school.ru/elementy_kombinatoriki
Спасибо за внимание!
Выбранный для просмотра документ Сочетания, размещения, перестановки.pptx
Описание презентации по отдельным слайдам:
Тема 1: Сочетания. Размещения. Перестановки. Дистанционный курс по математике для студентов 1 курса Преподаватель: Добрынина Н.В. ГАПОУ МО «Подмосковный колледж «Энергия»
Комбинаторика Занимается задачами о существовании и подсчете различных комбинаций, которые можно составлять и элементов заданного конечного множества.
Задача: На какую сумму очков выгоднее поставить ставку, если очки выпадают при подбрасывании двух игральных костей?
Решение: 1. Рассмотрим возможные варианты. 2. Представим полученные результаты в таблице. 3. Видно, что целесообразно сделать ставку на выпадение сумме 7 очков, поскольку она получается наибольшим количеством вариантов. Ответ: 7. Сумма очков Число способов Возможные варианты 2 1 1 + 1 3 2 1 + 2; 2 + 1 4 3 1 + 3; 3 + 1; 2 + 2 5 4 1 + 4; 4 + 1; 2 + 3; 3 + 2 6 5 1 + 5; 5 + 1; 2 + 4; 4 + 2; 3 + 3 7 6 1 + 6; 6 + 1; 2 + 5; 5 + 2; 3 + 4; 4 + 3 8 5 2 + 6; 6 + 2; 3 + 5; 5 + 3; 4 + 4 9 4 3 + 6; 6 + 3; 4 + 5; 5 + 4 10 3 4 + 6; 6 + 4; 5 + 5 11 2 5 + 6; 6 + 5 12 1 6 + 6
Факториал числа N — произведение всех натуральных чисел от 1 до n, включая n.
Пример: 5! Решение: 5! = 1*2*3*4*5= 120
Основные формулы комбинаторики
Перестановки Перестановками из n различных элементов называются все возможные последовательности этих элементов. Pn- перестановка .
перестановки Перестановками с повторениями из n элементов k типов, причем 1 типа – n1 штук, 2 типа – n2 штук, 3 типа – n3 штук и так далее, называются все возможные последовательности исходных элементов .
Задача: Сколькими способами можно переставить буквы в слове «ананас»?
Решение: Всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1.
Размещения Размещениями из n различных элементов по m элементов, взятых из исходного множества, называются все возможные последовательности из m элементов, которые отличаются составом элементов или порядком их следования. (Аnm)
Размещения Размещениями с повторениями из элементов n различных типов по m элементов, взятых из исходного множества, называются все возможные последовательности из m элементов, которые отличаются составом элементов или порядком их следования. (Аnm)
Сочетания Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности из m элементов, взятых из исходного множества. (Cnm)
Задача: В первенстве по футболу участвует 16 команд, причем любые 2 играют между собой 1 матч. Сколько игр будет сыграно?
Решение: n=16, m= 2
Сочетания Сочетаниями c повторениями из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности из m элементов, взятых из исходного множества. (Cnm)
Задача: В кондитерской имеется 5 различных видов пирожных. Сколькими способами можно составить набор из4 пирожных?
Замечания: При использовании в задаче формул перестановок из элементов исходного множества не происходит выбор. Сочетания применяются в задачах, где не важен порядок следования элементов. Размещения применяются, где порядок следования элементов имеет принципиальное значение.
Схема решения комбинаторных задач НЕТ
Задача 6: Сколькими способами можно раскрасить диаграмму из 4 столбцов четырехцветной ручкой так, чтобы каждый столбец был окрашен в определенный цвет. Решение: Pn =n! = 4! = 1234 = 24.
Задача 7: Имеется 5 кружков: 3 белых и 2 черных. Сколько различных узоров можно получить, располагая кружки в ряд. .
Задача 8: Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить перевод с любого из 5 языков на любой из 5 языков.
Задача 9: На железнодорожной станции имеется 5 светофоров. Сколько может быть дано различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния.
Задача 10: 12 человек играли в городки. Сколькими способами они могут разбиться на команды по 4 человека в каждой.
Задача 11: В цветочном магазине продаются цветы 6 видов. Сколько можно составить букетов из 10 цветов в каждом (букеты отличающиеся лишь расположением цветов считать одинаковыми). . .
Задача 12: В группе 20 студентов, из которых 5 отличников, 11 хорошистов и остальные троечники. Сколькими способами можно выбрать группу для выполнения лабораторной работы, состоящей из 3 хорошистов, 1 отличника и 1 троечника. 165*5*4=3300
Задача 13: Имеется 4 чашки, 5 блюдец, 6 ложек (все чашки, блюдца, ложки различны). Сколькими способами можно накрыть стол к чаю на 3 человека, если каждый получает 1 чашку, 1 блюдце и 1 ложку. 24*60*120= 172800
Список литературы: Новоселов О.В. Комбинаторика и вероятность: учебн. пособие для слушателей подготовит. курсов / О. В. Новоселов, Л.П. Скиба. СибГАУ, Красноярск, 2009. – 78 с. Филимонова Л.В., Быкова Е.А. Математика и информатика. Учебное пособие (для студентов гуманитарных факультетов ВУЗов). – 2-е изд. Дополненное и переработанное – Елец, ЕГУ им. И.А. Бунина, 2001, 110 с. http://math4school.ru/elementy_kombinatoriki
Спасибо за внимание!
Выбранный для просмотра документ комплекс задач и упражнений 1 Комбинаторика.docx
Комплекс задач по теме «Комбинаторика»
Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых все цифры нечетные?
Электронный кодовый замок имеет клавиатуру с цифрами от 0 до 9. Каково число четырехзначных кодов?
Механический кодовый замок имеет клавиатуру с цифрами от 0 до 9. Каково число четырехзначных кодов?
Сколькими способами можно уложить в ряд 2 зеленые и 4 красные папки?
Инвестор формирует портфель ценных бумаг. Он может вложить деньги в ацкии 5 различных фирм. Сколько существует способов создать портфель из 7 акций?
Студентам (12 человек) необходимо пройти обследование врача. Сколькими способами можно составить список на прием к врачу?
В селе 1,5 тысячи жителей. Докажите, что по крайней мере 2 из них имеют одинаковые инициалы.
В составе поезда Москва – Саратов 3 купейных, 4 плацкартных и 2 общих вагона. Сколько существует способов сформировать состав?
7 книг расставляют на 1 полке. Сколько существует способов расставить книги так, чтобы 2 определенные книги стояли рядом?
Сколькими способами можно выбрать 4 монеты из 5 рублевых и 4 двухрублевых?
Сколько трехзначных чисел можно составить из четных цифр без повтора?
Сколько четырехзначных чисел делящихся на 5 без остатка можно составить из цифр 0,1,3,5,7 без повтора?
На начальной остановке в вагон метро вошли 100 человек. Сколькими способами они могут выйти на последней 16 остановке?
В урне 15 шариков: 10 черных и 5 белых. Сколькими способами можно извлечь из урны 5 шариков, чтобы 3 белых и 2 черных?
Сколько различных звукосочетаний можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание содержит от 3 до 10 звуков без повторов?
Сколько четырехзначных чисел из цифр 0,1,2,3,4,5 содержат цифру 3?
Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может остановиться на 10 этажах. Пассажиры выходят группами по 2,3 и 4 человека. Сколькими способами это может произойти ?
Выбранный для просмотра документ лекция 2 Правила комбинаторики..docx
Дистанционный курс по математике для студентов 1 курса
Преподаватель: Добрынина Н.В.
Тема: Правила комбинаторики.
Рассмотреть основные правила комбинаторики и их применение.
Формировать навыки решения комбинаторных задач.
Все расчетные формулы комбинаторики базируются на двух основных правилах:
Если элемент х из исходного множества можно выбрать n способами, после чего элемент у можно выбрать m способами, тогда выбрать либо х, либо у можно n + m способами.
Задача 1: Сколькими способами можно выбрать подарок ребёнку из 9 машинок, 7 плюшевых медведей и 3 железных дорог?
Решение: по правилу сложения 9 + 7 + 3 = 19 способами.
Если элемент х из исходного множества можно выбрать n способами, после чего элемент у можно выбрать m способами, тогда выбрать упорядоченную пару (х;у) можно n*m способами.
Задача 2: В группе изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если известно, что все пары должны быть различными и их 4?
Решение: Представим возможные варианты в виде таблицы.
Используем правило умножения: 10*9*8*7=5040
Применение правил комбинаторики.
Задача 3: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Решение: 0 не может стоять первым, значит первую цифру нужно выбрать из 2, 4, 6, 8 — 4 способа; второй цифрой может быть любая из четырёх оставшихся — 4 способа; третью цифру можно выбрать среди трёх оставшихся — 3 способа.
Итак, искомое количество трёхзначных чисел: 4 · 4 · 3 = 48.
Задача 4: Из пункта А в пункт В ведут 3 дороги, а из пункта В в пункт С – 4 дороги. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В ?
Решение : В пункте А есть 3 способа выбора дороги в пункт В , а в пункте В есть 4 способа попасть в пункт С . Согласно принципу умножения, существует 34=12 способов попасть из пункта А в пункт С .
Задача 5: Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?
Задача 6: На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и потом спуститься с неё? Решите ту же задачу при дополнительном условии, что подъём и спуск происходят по разным дорогам.
Решение: 5*5=25; 5*4=20
Задача 7: При составлении одного варианта письменной контрольной работы по математике преподаватель располагает 4 задачами по геометрии, 8 – по алгебре и 3 – по тригонометрии. Сколькими способами можно составить этот вариант, если в него должно войти по одной задаче из перечисленных разделов?
Задача 8: Из двух полуфинальных групп, каждая их которых содержит по 6 команд, в финал выходит по одной команде. Сколько может быть различных вариантов участников финального матча?
Задача 9: В книге из 20 страниц на каких-либо трех страницах надо поместить по одной разной иллюстрации. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 10. На складе имеются 6 ящиков с различными фруктами и 3 ящика с различными овощами. Сколькими способами можно каждой из двух овощных палаток выдать по одному ящику с фруктами и овощами?
Задача 11: Пусть из города A в город B можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города A в город B ?
Решение : Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3=6 способов.
Задача 12: В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколько способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?
Решение : Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон – другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способов.
Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 32=6 способами.
Замечание. Обычно принцип сложения применяется в тех случаях, когда в задачах встречаются союзы «или», «либо, либо» (телевизор или видеомагнитофон), а принцип умножения – в задачах, содержащих союз «и» (телевизор и видеомагнитофон).
Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.
Задача 13: В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин, после чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?
Решение : Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор 12*11*10+10*12*9 = 2400 способами.
Задача 14: Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?
Решение . В данной задаче мы должны рассмотреть три случая: а) все письма рассылаются по разным адресам, б) все письма посылаются по одному адресу, в) только два письма посылаются по одному адресу. Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n 1 =654=120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n 2 =6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n 3 =365=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно n 1 + n 2 + n 3 = 120+6+90 = 216 способами.
Задача 15: В урне содержится 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Сколькими способами можно вытащить из урны либо два белых шара, либо два цветных шара, из которых один синий, а другой – красный?
Решение: Все шары различимы и порядок важен. Поэтому способов вытащить два цветных шара по правилу умножения: 3*5=15. А вытащить 2 белых шара – 2 способа. Итого всего по правилу сложения 15+2=17 способов.
Задача 16: Имеется 6 различных конвертов без марок, 4 различные марки и 3 различных конверта с марками. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма?
Решение: по правилу умножения 6*4=24 – способы наклеить марку на конверт. По правилу сложения 24+3= 27 способов выбрать конверт с маркой.
Задача 17: Семья новоселов хочет приобрести письменный стол, книжный шкаф и диван. В мебельном магазине имеется 6 письменных столов, 4 книжных шкафа и 12 диванов, Кроме того, есть 2 гарнитура, содержащих письменный стол и диван, и 8 гарнитуров, содержащих книжный шкаф и письменный стол. Сколькими способами может быть сделана покупка?
Решение: Возможны три варианта покупки мебели: 1) По правилу умножения найдем способы выбрать стол, шкаф и диван не из гарнитура 6*4*12=288. 2) Также семья может приобрести гарнитур из стола и дивана и шкаф отдельно. Найдем по правилу умножения количество вариантов: 2*4=8. 3) Или семья может приобрести гарнитур из шкафа и стола, а диван отдельно. Тогда по правилу умножения количество вариантов равно 8*12=96. Найдем по правилу сложения общее количество вариантов 288+8+96=392.
Задача 18: В букинистическом магазине лежат 6 разных изданий романа И.С. Тургенева «Рудин», 3 издания его романа «Дворянское гнездо» и 4 издания романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 разных сборников, в каждом из которых есть романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 сборников с романами «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?
А если в магазине есть ещё 3 сборника, содержащие романы «Рудин» и «Отцы и дети», и 5 книг, содержащих все три романа?
Решение : 1) Можно купить либо по экземпляру каждого романа, либо сборник, содержащий два романа, и экземпляр третьего романа. Из принципов сложения и умножения получаем, что купить три романа отдельно можно 6*3*4=72 способами. Во втором случае можно купить сборник, содержащий романы «Рудин» и «Дворянского гнезда» и один экземпляр «Отцы и дети». Тогда вариантов будет 5*4=20. В третьем случае можно купить сборник с романами «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети» и отдельно «Рудин». Тогда вариантов 7*6=42. Всего по правилу сложения имеем 72+20+42=134 способов.
2) Если в магазине есть еще сборники, содержащие романы «Рудин» и «Отцы и дети», и 5 книг, содержащих все три романа, то возможны еще способы. При покупке сборника «Рудин» и «Отцы и дети» и отдельно романа «Дворянское гнездо» 3*7=21 способ. При покупке сборника с тремя романами – 5 способов. По правилу сложения получаем 134+21+5=160.
Источник
