Способы задания значений переменных

Тема 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. Определение функции одной переменной

Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f ( x ) с областью определения X = D( f ) и областью изменения Y = E ( f ). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f ( x ) при фиксированном значении аргумента x = x₀ называют y ₀ = f ( x ₀ ).

Графиком функции y = f ( x ) называют геометрическое место точек M ( x ; f ( x )) на плоскости Oxy , где x Î D ( f ) и f ( x ) Î E ( f ).

1.2. Способы задания функции

1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f ( x ).

Например: , где D( y ) = (– ∞;1) (1;+∞).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y : F( x ; y ) = 0.

Например: – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r . Если из этого уравнения выразить y через x , то получится две функции:

и ,

которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой – , для второй – .

в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t , причём и аргумент x , и функция y зависят от этого параметра:

Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:

2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x , y = cos x и др.

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

1.3. Сложная и обратная функции

Определение 1 . Пусть функция y = f ( U) определена на множестве D( f ), а функция U = g ( x ) определена на D( g ), причём E( g ) D( f ).

Тогда функция y = F( x ) = f ( g ( x )) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ) .

Определение 2 . Пусть задана функция y = f ( x ) взаимно однозначно отображающая множество X = D ( f ) на множество Y = E ( f ). Тогда функция x = g ( y ) называется обратной к функции y = f ( x ), т. е. любому y E( f ) соответствует единственное значение x D ( f ), при котором верно равенство y = f ( x ).

Замечание. Графики функций y = f ( x ) и x = g ( y ) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x , а зависимую y , то графики функций y = f ( x ) и y = g ( x ) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

1.4. Элементарные функции

Основные элементарные функции:

y = const ( постоянная функция), D ( y ) = R ; E ( y ) = c .

( линейная функция), D ( y ) = R ; E ( y ) = R .

y = ( степенная функция), α Î R , E( y ), D ( y ) зависят от α .

y = ( показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D ( y ) = R , E ( y ) = ( 0; +∞).

y = ( логарифмическая функция) ), a > 0, a ≠ 1, D ( y ) = (0;+∞), E ( y ) = R .

y = sin x , D ( y ) = R , E ( y ) = .

y = cos x, D( y) = R, E( y) = .

y = tg x, D( y) = , E( y) = R.

y = ctg x, D( y) = , E( y) = R.

Обратные тригонометрические функции :

y = arcsin x , D ( y ) = , E ( y ) = .

y = arccos x, D( y) = , E( y) = .

y = arctg x , D ( y ) = R , E ( y ) = .

y = arcctg x , D ( y ) = R , E ( y ) = .

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

Графики обратных тригонометрических функций:

Источник

Способы задания функции двух переменных

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП)

ПЛАН

1. Определение функции нескольких переменных (ФНП).

2. Способы задания функции двух переменных.

3. Предел и непрерывность ФНП.

4. Частные и полное приращения функции двух переменных.

5.Частные производные первого порядка функции двух

переменных и их геометрическая интерпретация

Определение ФНП.

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем примеры.

Пример 1. Площадь Sпрямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у вычисляется по формуле: S = х · у, где S– является функцией двух переменных т.к. каждой паре значений х и усоответствует определенное значение площади S.

Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, у, z определяется по формуле V = x y z.

Здесь V – функция трех переменных x, y, z.

Определение. Функцией n переменных х₁, х₂,…,х_n,

где (х₁, х₂,…,х_n) ÎDÌ R n будем называть правило или

закон, по которому каждому набору переменных

(х₁, х₂,…,х_n) ÎD ставится в соответстие единственное число

у ÎЕ Ì R. Тот факт, что задана функция n переменных

будем записывать следующим образом: у = f(х₁, х₂,…,х_n) .

Мы будем рассматривать функции двух переменных, т.к. основные факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функции двух переменных, а также для функций двух переменных можно дать геометрическую интерпретацию.

Определение.Функцией двух переменных х, у будем называть правило

или закон, по которому каждой паре чисел (х, у) Î D

ставится в соответствие единственное число z Î Е.

Тот факт, что задана функция двух переменных, будем записывать в виде: z = f(x, у). При этом хи у будем называть независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).

Множество D(z) называется областью определения функции. Множество Е значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения функции.

Функцию двух переменных z = f(х, у), где (х, у) Î D можно рассматривать как функцию точки М(х, у) координатной плоскости Оху.

Значение функции z = f(х, у) в точке М₀(х₀, у₀) называют частным значением функциии обозначают одним из способов:

z(х₀, у₀), , f(х₀, у₀).

Способы задания функции двух переменных

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами.

1) Аналитический способ состоит в том, что функция zпредставлена с помощью формулы. Если при этом область определения D(z) не указана, то под ней понимают множество таких пар значений (х, у), при которых заданная формула имеет смысл. Областью определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие

на границе, называются внутренними. Об-

ласть, состоящая только из внутренних точек,

называется открытой, область с присоеди-

ненной к ней границей называется замкнутой

областью. Например, функция

z = ln(4 – х 2 – у 2 ) имеет областью определе-

Рис. 1 ния внутреннюю часть круга х 2 + у 2

Если поверхность является графиком функции двух переменных, то уравнение, определяющее эту функцию, является уравнением поверхности.

Например, функция имеет областью определения круг х 2 + у 2 £ 9 (рис.2) и изображается верхней полусферой с центром в точке О(0, 0, 0) и радиусом R = 3 (рис. 3).

Предел функции

Понятия предела функции двух (и более) переменных и непрерывности вводится аналогично понятию предела и непрерывности функции одной переменной.

вем число: .

Определение.d-окрестностью точки М₀(х₀, у₀) назовем множество всех

точек М(х, у) плоскости, таких, что r(М, М₀) 0 существует d > 0 такое, что для всех

точек М(х, у) Î D(z), отличных от точки М₀ и удовлетво-

ряющих неравенству r(М, М₀)

Источник