Способы задания соответствий примеры

Понятие соответствия между множествами

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике этих взаимосвязей.

Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Пример 1. а) (17 – 1) : 4; б) (12 + 18) : (6-6); в) 2´7 + 6. Пример 2. 1) 2+х =6; 2) х-7=4; 3) 2х=8.

В первом примере мы установили соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выяснили, какое число является решением уравнения.

Все эти соответствия имеют общее – во обоих случаях мы имеем два множества: в первом – это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трех уравнений и множество Nнатуральных чисел.

Связь (соответствие) между этими множества можно представить наглядно, при помощи графов.

а· б· в·

·4 ·20

1· 2· 3·

·4 ·11

N 1 N2

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.Соответствия принято обозначать буквами R, P, F, T и др.

2. Способы задания соответствий

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либоперечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.

Пример. Соответствие между множествами Х = <1, 2, 4, 6>и У = <3, 5>можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: а -1 между множествами У и Х называется обратным данному, если у S -1 х тогда и только тогда, когда х S у. Соответствия S и S -1 называют взаимно обратными.

Выясним особенности их графиков. Построим график соответствия S =

Источник

Примеры соответствий (в том числе и взаимно — однозначных)

Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действующих чисел, при котором каждому числу их множества X сопоставляется единственное из множества R. (Множество X называют областью определения функции. Множество R – это множество действительных чисел.)

Способы задания функций. 1. при помощи уравнения-формулы 2. при помощи таблицы 3. с помощью графика

Экзаменационный билет №16.Функциональные соответствия. Числовые функции, способы их задания. График функции. Примеры числовых функций из начального курса математики.

Функциональным соответствием между множествами X и Y называют такое соответствие, при котором каждому элементу из множества X сопоставляется не более одного элемента из множества Y.

Примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Примером функциональных соответствий могут служить соответствия, графы которых изображены на рисунке.

Частным случаем функционального соответствия между множествами X и Y является соответствие, при котором каждому элементу из множества X сопоставляется точно один элемент из множества Y. Такое соответствие называется отображением множества X во множество Y.

Функция — одно из важнейших понятий математики, исходное понятие ведущей ее области — математического анализа. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям.

Числовой функцией называют такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f,g,h и др. Если f— функция, заданная на множестве X, то действительное число y, соответствующее числу x из множества X, часто обозначают f(x) и пишут y=f(x).Переменную x при этом называют аргументом(или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f(x) для всех x из множества X называют областью значений функцииf.

Для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества X соответствует единственное действительное число.

Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.(y=2x-3, y=x₂, y=3x, где x— действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значению x можно, производя указанные в формуле действия, поставить в соответствие единственное значение y). С помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения.

Числовые функции можно представлять наглядно на координатной плоскости. Пусть y=f(x) – функция с областью определения X. Тогда ее графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу x и ординату f(x) для всех x из множества X.

Так, графиком функции y=2x-3, заданной на множестве R, является прямая (рис. 9.1), а графиком функции y=x₂, заданной также на множестве R,- парабола (рис. 9.2).

Функции можно задавать с помощью графика. (рис. 9.3 а, б) задают функции, одна из которых имеет в качестве области определения промежуток [-2, 3], а вторая – конечное множество <-2, -1, 0, 1, 2, 3>.

В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Учитель начальных классов должен обладать определенными знаниями о функции и её свойствах.

2.Основные этапы решения текстовой задачи и приемы их выполнения. Иллюстрация приемов на примере решения задачи из начального курса математики (№553 Н.Б.Истомина, 4 класс,2008 г.)

Решение любой задачи — процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения задачи и некоторые приемы их выполнения:

1)анализ задачи; (понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними).

2)поиск и составление плана решения задачи; (установить связь между данными и исходными объектами, наметить последовательность действий).

3)осуществление плана решения задачи; (найти ответ на требования задачи, выполнив все действия в соответствии с планом).

4)проверка решения задачи. (установить правильность или ошибочность выполненного решения)

200 м.

1) 200:4=50 (м.)- ширина

2) 50+200=250 (м.)- длина

Ответ: площадь дна бассейна 12500 м₂

17. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики. Использование свойств прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач.

Числовая функция – соответствие между числовым мн-вом Х и мн-вом R, при кот каждому числу из мн-ва Х сопоставляется единств число из мн-ва действит чисел(R). Способы задания ф-ции: формула (по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции), график, таблица.

Прямой пропорциональностью наз.ф -ю,к-я может б. задана при помощи формулы y=kx, где k-не равное нулю действит. число. Название ф-и y=kx связано с тем, что в формуле y=kx есть переменные x и y, к-е могут б. значениями величин. А если отношения 2х величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. y/x=k(k≠0) –это число коэффициент пропорциональности.

ф-я y=kx- матем. модель многих реальных ситуаций. Если в одном пакете муки 2кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки обозначим через у можно представить у=2х, т.е зависимость явл. прямой с коэф. k=2.

1) Областью опред. ф-и y=kx и областью ее значения явл. мно-во действит. чисел.

2) Графиковм прямой пропорц. Явл. прямая, проходящая через начало координат. Достаточно найти лишь одну точку, принадл. Ему и не совпадающую с началом координат, а затем провести прямую.

С увеличением(уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увелич(уменьш) во столько же раз. Присуще только прямой пропорц.Им можно польз-ся при решении задач , в к-х рассматрив. Прямо пропорциональн. величины.

Обратной пропорц. Наз. Ф-ю,кот. Может б. задана формулой у=к/х, где к- не равное нулю действит. число . Название связано с тем, что у у=к/х есть переменные х и у, к-е могут. Б. значениями величн. А если произведение 2х величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их наз. Обратно пропорц. Ху=к(k≠0). Число к-коэфф. Пропорц.

1) Обл. опред. и областью значений х явл. мно-во действит. числе отличных от нуля.

2) Графиком явл. гипербола

3) При к>0 ветви гиперболы расположены в 1 и 3 четв. И ф-я у=к/х явл убывающей на всей области определения х. При к yRx.
На графе все стрелки парные.
3) Антисимметричность. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у их множества Х, из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у следует, что элемент у не находится в отношении R с элементом х. R антисимметрично на Хó х≠у, xRy => yRx
На графе нет парных стрелок.
4) Транзитивность. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, и элемент у находится в отношенииR с элементом z следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z.
R транзитивно на ХóxRy и yRz=> xRz.
5) Антирефлексивность. Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если о любом элементе множества Х можно сказать, что он не находится в отношении R с самим собой.
R антирефлексивно на Хó хϵХ, xRx
6) Связанность. Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и у из множества Х, из того, что х≠у следует, что либо х находится в отношении R с элементом у, либо у находится в отношении R с элементом х.
R связанно на Хóх≠у, xRy или yRx
На графе две любые вершины соединены стрелкой.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Рассмотрим на множестве Х отношение равенства дробей. Построим граф этого отношения. Х=<2>
По графу мы видим, что данное отношение явл-ся отношением эквивалентности.
Данное отношение обладает одновременно тремя свойствами: рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью => отношение R является отношением эквивалентности.
Для отношения эквивалентности выполняется следующее утверждение: Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы. Верно и обратное утверждение: Если какое-либо отношение на множестве Х порождает разбиение множества на классы, то это отношение является отношением эквивалентности.
В нашем случае отношение R породило разбиение множества Х на классы равных дробей.
В 1 класс вошли: 2/4, 6/12, 3/6; во 2: 2/6, 6/18; в 3: 6/18
Произошло разбиение множества х на 3 класса равных дробей. Использование приема классификация тесно связано с изучением конкретного материала. Уже на первых уроках детям предлагаются различные предметы по форме, цвету, размеру. Ставится вопрос «Какой предмет лишний?». При этом возможны различные ответы. Или «Разбейте все предметы на несколько групп» (дочисловой период,с.5,с.26).

Источник

Понятие соответствия. Способы задания соответствий

Первоначально алгеброй называли учение о решении уравнений. За много столетий своего развития алгебра превратилась в науку, которая изучает операции и отношения на различных множествах. Поэтому не случайно уже в начальной школе дети знакомятся с такими алгебраическими понятиями, как выражение (числовое и с переменными), числовое равенство, числовое неравенство, уравнение. Они изучают различные свойства арифметических действий над числами, которые позволяют рационально выполнять вычисления. И, конечно, в начальном курсе математики происходит их знакомство с различными зависимостями, отношениями, но чтобы использовать их в целях развития мыслительной деятельности детей, учитель должен овладеть некоторыми общими понятиями современной алгебры — понятием соответствия, отношения, алгебраической операции и др. Кроме того, усваивая математический язык, используемый в алгебре, учитель сможет глубже понять сущность математического моделирования реальных явлений и процессов.

Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но и главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениями их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем, если скорость движения постоянна.

Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объектами в математике изучались с момента ее возникновения. Но вопрос о том, что общее имеют самые разные соответствия, какова сущность любого соответствия, был поставлен в конце XIX — начале XX века, и ответ на него был найден в рамках теории множеств.

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике изучения этих взаимосвязей.

Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения.

Что общее имеют эти соответствия?

Видим, что во всех случаях мы имеем два множества: в первом — это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений), во втором — это множество из трех геометрических фигур и множество N натуральных чисел; в третьем — это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между элементами этих множеств. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 1).

Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии:

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары — это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между элементами множество X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.

Соответствия принято обозначать буквами Р, S, T, R и др. Если S — соответствие между элементами множеств X и Y, то, согласно определению, S Х х Y.

Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие — это подмножество, то его можно задавать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие между множествами X = <1, 2, 4, 6>и Y = <3, 5>можно задать:

1) при помощи предложения с двумя переменными: а -1 , то S -1 = <(2,4), (3,5), (6,8)>.

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: xSy. Запись xSy можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х = 2у; х > 3у+1 и др.

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному.

Определение. Пусть S — соответствие между элементами множеств X и Y. Соответствие S -1 между элементами множеств Y и X называется обратным данному, если yS -x тогда и только тогда, когда xSy.

Соответствия S и S -1 называют взаимно обратными. Выясним особенности их графиков.

Построим график соответствия S = <(4, 2), (5, 3), (8, 6)>(рис. 5а). При построении графика соответствия S -1 = <(2, 4), (3, 5), (6, 8)>мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = <2, 3, 6>, а вторую — из множества X = <4, 5, 8, 10>. В результате график соответствия S -1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S -1 ,

условились первую компоненту пары соответствия S -1 считать абсциссой, а вторую — ординатой. Например, если (5, 3) S, то (3, 5) S -1 . Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в общем случае (х, у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S -1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Чтобы построить график соответствия S -1 , достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Дата добавления: 2017-02-13 ; просмотров: 11756 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник