Способы задания соответствий множества

§8. Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствий

Пусть заданы два множества X и Y. Если для каждого элемента х Î Х указан элемент y Î Y, с которым сопоставляется х, то говорят, что между множествами X и Y установлено соответствие.

Иначе говоря, соответствием между элементами множеств X и Y называется любое подмножество G декартова произведения X ´ Y этих множеств. Если (х, у) Î G, то множество первых компонентов (D(G)) называется областью определения соответствия G, множество вторых компонентов (E(G)) –– областью значений этого соответствия.

Множество всех y Î Y, которые сопоставляются элементу х Î Х, называется образом х в Y. Множество же всех х Î Х, которым сопоставляют элемент y Î Y, называется прообразом y в Х.

Способы задания соответствия. Поскольку соответствие — это множество, то его можно задать теми же способами, что и любое множество: перечислением всех пар (х, у), где элементы х Î Х и y Î Y связаны данным соответствием; указанием характеристического свойства всех пар (х, у) элементов х Î Х, y Î Y, находящихся в рассматриваемом соответствии.

Когда множества X и Y конечные, то соответствие между элементами можно задать таблицей, где в левом столбце записывают элементы множества Х, а в верхней строке — элементы множества Y. Пары элементов, находящихся в соответствии G, будут находиться на пересечении соответствующих столбцов и строк.

Соответствие между двумя конечными множествами можно показать и при помощи графа. Множества X и Y показывают оваломи, элементы множеств X и Y обозначают точками, а стрелками соединяют соответствующие элементы так, что если имеет место (х, у) Î G, то стрелку проводят из точки х в точку у.

Когда множества Х и Y числовые, то можно построить график соответствия G на координатной плоскости.

Пример, график соответствия «меньше» между элементами множеств Х = <1, 3, 4, 6>и Y = <2, 5, 7>. Выпишем пары элементов, находящихся в данном соответствии: (1, 2), (1, 5), (1, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (6, 7). Если изобразить элементы множества Х на оси Ох, а элементы множества Y на оси Оу, а выписанные пары отметить точками на координатной плоскости, то получим график рассматриваемого соответствия между элементами множеств X и Y (рис. 13).

Источник

Тема 3. Понятие соответствия Содержание

Понятие соответствия между множествами.

Способы задания соответствий.

Соответствие обратное данному.

Взаимно однозначное соответствие.

Равномощные множества. Счетные множества.

Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;

Дополнительная литература 1, 10, 14, 74

1. Понятие соответствия между множествами

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике этих взаимосвязей.

Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Пример 1. а) (17 – 1) : 4; б) (12 + 18) : (6-6); в) 27 + 6. Пример 2. 1) 2+х =6; 2) х-7=4; 3) 2х=8.

В первом примере мы установили соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выяснили, какое число является решением уравнения.

Все эти соответствия имеют общее – во обоих случаях мы имеем два множества: в первом – это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.

Связь (соответствие) между этими множества можно представить наглядно, при помощи графов.

N 1 N 2

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами R, P, F, T и др.

2. Способы задания соответствий

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.

Пример. Соответствие между множествами Х = 1, 2, 4, 6 и У = 3, 5 можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: а  в при условии, что а  Х, в  У; 2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения ХУ: (1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(4,5). К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа и графика.

у

Х У

3. Соответствие обратное данному

Пример. Пусть S – соответствие «больше на 2» между множествами Х = 4, 5, 8, 10 и У = 2, 3, 6. Тогда S = (4,2), (5,3), (8,6) и его граф будет как на рисунке.

Соответствие обратное данному, — это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между множествами У и Х, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное (См. рисунок).

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: х S у.

Определение. Пусть S – соответствие между множествами Х и У. Соответствие S -1 между множествами У и Х называется обратным данному, если у S -1 х тогда и только тогда, когда х S у. Соответствия S и S -1 называют взаимно обратными.

Выясним особенности их графиков. Построим график соответствия S = (4,2), (5,3), (8,6)

у

у

При построении графика соответствия S -1 = (2,4), (3,5), (6,8) мы должны первую компоненту выбирать из множества У = 2,3,6, а вторую – из множества Х = 4, 5, 8, 10. В результате график соответствия S -1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S -1 , условились первую компоненту пары соответствия S -1 считать абсциссой, а вторую – ординатой. Например, если (5,3)  S, то (3,5)  S -1 . Точки с координатами (5,3) и (3,5), а в общем случае (х,у) и (у,х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S -1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Чтобы построить график соответствия S -1 , достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Источник

Соответствия между множествами

Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениями их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем при условии, что скорость движения постоянна. Начальная частная школа помогает учащимся устанавить соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями, между числом, характеризующим площадь данной фигуры, и самой этой фигурой и т.п.

Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами P, S, T, R и др. Если xSy – соответствие между элементами множеств X и Y, то, соглаcно определению, SXY.

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в данном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Например, соответствие между множествами X= и Y= можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: a Просмотров 82 145 Комментариев 2

Источник

Понятие соответствия между множествами

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике этих взаимосвязей.

Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Пример 1. а) (17 – 1) : 4; б) (12 + 18) : (6-6); в) 2´7 + 6. Пример 2. 1) 2+х =6; 2) х-7=4; 3) 2х=8.

В первом примере мы установили соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выяснили, какое число является решением уравнения.

Все эти соответствия имеют общее – во обоих случаях мы имеем два множества: в первом – это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трех уравнений и множество Nнатуральных чисел.

Связь (соответствие) между этими множества можно представить наглядно, при помощи графов.

а· б· в·

·4 ·20

1· 2· 3·

·4 ·11

N 1 N2

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.Соответствия принято обозначать буквами R, P, F, T и др.

2. Способы задания соответствий

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либоперечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.

Пример. Соответствие между множествами Х = <1, 2, 4, 6>и У = <3, 5>можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: а -1 между множествами У и Х называется обратным данному, если у S -1 х тогда и только тогда, когда х S у. Соответствия S и S -1 называют взаимно обратными.

Выясним особенности их графиков. Построим график соответствия S =

Источник

Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий

Понятие соответствия. Способы задания соответствий

СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ

Лекция 16. Соответствия

1. Понятие соответствия. Способы задания соответствий.

2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.

3. Взаимно-однозначные соответствия

Первоначально алгеброй называли учение о решении уравнений. За много столетий своего развития алгебра превратилась в науку, которая изучает операции и отношения на различных множествах. Поэтому не случайно уже в начальной школе дети знакомятся с таки­ми алгебраическими понятиями, как выражение (числовое и с пере­менными), числовое равенство, числовое неравенство, уравнение. Они изучают различные свойства арифметических действий над числами, которые позволяют рационально выполнять вычисления. И конечно, в начальном курсе математики происходит их знакомство с различ­ными зависимостями, отношениями, но чтобы использовать их в це­лях развития мыслительной деятельности детей, учитель должен овла­деть некоторыми общими понятиями современной алгебры — поняти­ем соответствия, отношения, алгебраической операции и др. Кроме того, усваивая математический язык, используемый в алгебре, учитель сможет глубже понять сущность математического моделирования реальных явлений и процессов.

Читайте также:  Способ образования металлической связи схема

Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но и главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениями их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем, если скорость движения постоянна.

Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объектами в математике изучались с момента ее возникновения. Но вопрос о том, что общее имеют самые разные соответствия, какова сущность любого соответствия, был поставлен в конце XIX — начале XX века, и ответ на него был найден в рамках теории множеств.

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике изучения этих взаимосвязей.

Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Рис.66

I. Найти значение выражения:	II.Найти площадь фигуры	III. Решить уравнение:
в1) (17-1):4; в2) (12 + 18) : (6-6); в3) 2·7 + 6.	y1) 2 + x = 6; y2) x – 7 = 4; y3) 2x = 8

В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения.

Что общее имеют эти соответствия?

Видим, что во всех случаях мы имеем два множества: в первом -это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором -это множество из трех геометрических фигур и множество N натуральных чисел; в третьем — это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 67).

Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, плодящихся в заданном соответствии:

Рис. 67

Полученные множества показывают, что любое соответствие меж­ду двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упоря­доченные пары — это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение.Соответствием между множествами X и Y назы­вается всякое подмножество декартова произведения этих мно­жеств.

Соответствия принято обозначать буквами Р, S, Т, К и др. Если S -соответствие между элементами множеств X и Y то, согласно опреде­лению, S с Х х У.

Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множест­вами. Поскольку соответствие — это подмножество, то его можно за­давать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристиче­ское свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие меж­ду множествами X — <1, 2, 4, 6>и У = <3, 5>можно задать:

1) при помощи предложения с двумя переменными: а -1 , то S -1 = <(2,4), (3,5), (6,8)>.

Рис.70

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: хSу. Запись хSу можно рас­сматривать как обобщение записей конкретных соответствий: x= 2у; х > 3у+1 и др.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник