Способы задания положения тела координатный

Движение. Виды движений. Описание движения. Система отсчета.

Механическим движением тела (точки) называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки.

Б) Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки.

В) Движение тела по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью.

Г) Гармоническое колебательное движение. Важным случаем механического движения являются колебания, при которых параметры движения точки (координаты, скорость, ускорение) повторяются через определенные промежутки времени.

1. Векторный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Векторный способ описания движения – это описание изменения радиус-вектора материальной точки в пространстве с течением времени.

Рассмотрим движение точки М в некоторой системе отсчета Oxyz (рис.1). Зададим радиус-вектор точки r — вектор, соединяющий начало координат с этой точкой.

При движении точки M вектор r будет с течением времени изменяться, т.е. будет каким-то образом зависеть от времени. Эта зависимость r = r ( t ) представляет собой закон движения в векторном виде.

В процессе движения конец радиус-вектора будет описывать траекторию, а его изменение – перемещение s точки.

2. Координатный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Координатный способ описания движения – описание изменения во времени координат точки в выбранной системе отсчета.

В декартовой системе координат положение точки определяется тройкой чисел ( x , y , z ) — ее декартовыми координатами.

Чтобы задать закон движения точки, необходимо знать значения ее координат в каждый момент времени. Закон движения в координатном виде в общем случае представляет собой систему трех уравнений: x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t )

Между векторным и координатным способом описания движения существует непосредственная связь, а именно: числовые значения проекций радиус-вектора движущейся точки на координатные оси системы с тем же началом отсчета равны координатам точки: r_x = x , r_y = y , r_z = z .

3. Естественный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Естественный способ описания движения – описание движения вдоль траектории. Этим способом пользуются, когда траектория точки заранее известна.

Пусть точка М движется вдоль траектории АВ в системе отсчета Oxyz (рис.3). Выберем на траектории какую-нибудь неподвижную точку О 1 , которую будем считать началом отсчета, и определим положительное и отрицательное направления. Тогда положение точки M будет определяться расстоянием S от точки О 1 . При движении точка М переместится в точку М 1 , соответственно изменится ее расстояние от точки О 1 . Таким образом, расстояние S зависит от времени, а характер этой зависимости позволит определить положение точки М на траектории в любой момент времени. Закон движения в этом случае имеет вид: s = s ( t ) .

Под системой отсчета понимают тело отсчета, которое условно считается неподвижным, систему координат, связанную с телом отсчета, и часы, также связанные с телом отсчета. В кинематике система отсчета выбирается в соответствии с конкретными условиями задачи описания движения тела.

Источник

Способы задания положения тела в пространстве

1. Описание движения с помощью параметров траектории.
Пусть траектория движения известна. Тогда, зная зависимость пути, пройденного телом, от времени, можно определить его положение в любой момент.

2. Векторный способ описания движения.
Положение тела в пространстве можно задать также в виде радиуса-вектора r. В произвольный момент времени оно определяется зависимостью r(t) . Вектор перемещения s(t) рассчитывается как разность между величинами радиуса-вектора r(t) в различные моменты времени t .

3.Координатный способ описания движения.
Поскольку векторная величина может быть представлена как сумма ее проекций, то положение тела в пространстве в любой момент времени можно определить, исходя из зависимостей от времени проекций радиуса-вектора на оси координат x(t), y(t), z(t).

3. Кинематика материальной точки: Путь, перемещение, траектория. Скорость (средний вектор скорости, мгновенная скорость). Проекции вектора скорости на оси координат. Равномерное движение.

Радиус-вектор –вектор, проведенный из начала координат в данную точку.

Траектория –линия, вдоль которой движется частица.

Путь –длина траектории.

Вектор перемещения –отрезок, поведенный из начального положения тела в конечное.

Скорость –быстрота изменения положения точки в пространстве.

1) Средняя – величина, равная проеденному пути ко времени, в течение которого продолжалось движение.

2) Мгновенная – величина, равная производной от радиуса-вектора точки по времени.

υ = lim ∆r/∆t, при ∆t→0 или υ=r’

Равноме́рное движе́ние — механическое движение, при котором тело за любые равные отрезки времени проходит одинаковое расстояние

4. Прямолинейное равнопеременное движение, его характеристики и их взаимосвязь.

Равнопеременное движение, движение точки, при котором её касательное ускорение w_t (в случае прямолинейного Р. д. всё ускорение w) постоянно. Скорость v, которую имеет точка через t сек после начала движения, и её расстояние s от начального положения, измеренное вдоль дуги траектории, определяются при Р. д. равенствами:

где v₀ — начальная скорость точки. Когда знаки v и w_t одинаковы, Р. д. является ускоренным, а когда разные — замедленным.

5. Движение материальной точки при движении по криволинейной траектории, тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

При неравномерном движении скорость частицы может меняться как по величине, так и по направлению. Быстрота изменения скорости определяется ускорением, которое равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени.

Ускорение –изменение скорости тела со временем.

a= lim ∆υ/∆t=dυ/dt= υ’ при ∆t→0

a=d/dt*(dr/dt)=d 2 r/dt 2 =dr/dt=r’’

Быстрота поворота вектора скорости пропорциональна модулю скорости и кривизны траектории.

с=lim ∆φ/∆S=∆φ/∆S, при ∆S→0 ,

∆φ – угол между кривой и касательной

R=1/С – радиус кривизны

Тангенциальное ускорение – изменение величины вектора скорости точки со временем.

Нормальное ускорение-изменение направления вектора скорости материальной точки со временем.

a_n=a-a_τ=(υ 2 /R)*n, где n-вектор нормали, перпендикулярный вектору τ, т.е(n, τ)=0, τ-единичный вектор направленный параллельно вектору скорости

R- радиус кривизны, где определяется скорость движения или радиус окружности касательной в данной точке к искривленной траектории движения.

6. Прямая и обратная задача кинематики. Поступательное и вращательное движение твердого тела.

Абсолютно твердое тело —тело деформациями которого можно пренебречь в данной задаче.

Поступательное движение – движение при котором любая прямая, жестко связанная с телом остается при своём движение параллельно самой себе.

Следовательно, для описания поступательного движения твердого тела достаточно знать, как движется одна из его точек.

Вращательное движение – движение тела, при котором все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, а плоскости окружности перпендикулярны оси вращения.

7. Кинематические характеристики вращательного движения, связь между угловыми и линейными характеристиками движения материальной точки.

Угловая скорость –это вектор ω, численно равный первой производной от угла поворота по времени, и направленный вдоль оси вращения в направлении dφ (ω и dφ всегда направлены в одну сторону).

ω=lim ∆φ/∆t=dφ /dt при ∆t→0

Угловая скорость направлена вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта. Как и угол поворота ∆φ, она является псевдовектором

При неравномерном вращении вектор угловой скорости может менять как свою величину, так и свое направление за счет поворота оси вращения.

Угловое ускорение –это вектор ε, второй производной от угла поворота по времени.

ε=lim ∆ω/∆t=dω/dt при ∆t→0

Угловое ускорение тоже является пседовектором, его размерность. Если e >0, то вектор направлен в ту же сторону, куда направлен и вектор. Если e

Источник

Координатный способ задания движения точки

Введение

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):

Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат:
;
;
Модули скорости и ускорения:
;
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Она является проекцией скорости на направление единичного вектора .

Читайте также: Способы тестирования мобильных приложений
Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального (касательного) ускорения:
.
Здесь также, как и для скорости, – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: .

Нормальное ускорение:
.
Вектор нормального ускорения:
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории):
.
Здесь – это модуль нормального ускорения: . Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Пример решения задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки:
, см;
, см.

Решение

Определение вида траектории

Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде:
; .
Применим формулу:
.
;
;
;
.

Итак, мы получили уравнение траектории:
.
Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .

Поскольку
, то
; или
.
Аналогичным образом получаем ограничение для координаты :
;
;

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы
,
расположенная при
и .

Строим параболу по точкам.

0 6

± 3 5,625

± 6 4,5

± 9 2,625

± 12 0

Определяем положение точки в момент времени .
;
.

Определение скорости точки

Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости.
.
Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии:
. Тогда
;
.

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени :
;
.
Модуль скорости:
.

Определение ускорения точки

Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки.
;
.

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени :
;
.
Модуль ускорения:
.

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории. Выберем направление совпадающим с направлением скорости . Тогда ; алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление скорости :
.
Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .

Нормальное ускорение:
.
Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

Траекторией движения точки является дуга параболы
; .
Скорость точки: .
Ускорение точки: ; ; .
Радиус кривизны траектории: .

Определение остальных величин

При решении задачи мы нашли:
вектор и модуль скорости:
; ;
вектор и модуль полного ускорения:
; ;
тангенциальное и нормальное ускорения:
; ;
радиус кривизны траектории: .

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального ускорения:

.
Вектор нормального ускорения:

.
Единичный вектор в направлении главной нормали:
.
Координаты центра кривизны траектории:

.

Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе
; .
Единичный вектор в направлении бинормали:

.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-02-2016 Изменено: 29-01-2020

Источник