Способы задания плоскости математика

Способы задания плоскости в пространстве

Все возможные способы задания плоскости в пространстве представлены в следующей таблице.

Аксиома о плоскости, заданной тремя точками.

Через три различные точки в пространстве проходит одна и только одна плоскость.

Теорема о плоскости, определяемой прямой и точкой.

Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми.

Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми.

Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Аксиома о плоскости, заданной тремя точками.

Через три различные точки в пространстве проходит одна и только одна плоскость.

Теорема о плоскости, определяемой прямой и точкой.

Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми.

Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми.

Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Утверждение . Через любую прямую в пространстве проходит бесконечно много плоскостей (рис.5).

Замечание . Через любые две скрещивающиеся прямые скрещивающиеся прямые не проходит ни одной плоскости.

Источник

Способы задания плоскости математика

Уравнение (14) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты A,B,C являются координатами вектора , перпендикулярного к плоскости, заданной уравнением (14). Он называется нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.

Существуют различные способы задания плоскости и соответствующие им виды уравнения.

1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Если плоскость проходит через точку M₀(x₀,y₀,z₀) и перпендикулярна к вектору =(A,B,C), то ее уравнение записывается в виде: A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

2. Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает оси координат O_x, O_y, O_z в точках M₁(a,0,0) M₂(0,b,0) M₃(0,0,c) соответственно, то ее уравнение можно записать в виде:
(16)
где a≠0, b≠0, c≠0

3. Уравнение плоскости по трем точкам. Если плоскость проходит через точки M_i(x_i,y_i,z_i (i=1,3), не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде:

(17)

Рассмотрим простейшие задачи.

1) Величина угла φ между плоскостями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 вычисляется на основании формулы:

(18)

где n₁=(A₁,B₁,C₁), n₂=A₂,B₂,C₂)- нормальные векторы данных плоскостей. С помощью формулы (5) можно получить условие перпендикулярности данных плоскостей:
n₁•n₂=0 или A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0
Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид:

2) Расстояние d от точки до плоскости, заданной уравнением (14), вычисляется по формуле:

Пример 14. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями
3x+3y+2z–15=0 и 3x+3y+2z+13=0.

Для решении задачи находим любую точку принадлежащую на одной из плоскости, например считая y=z=0 из уравнения первой плоскости находим , что x=5 Тогда по формуле нахождения расстояния от данной точки М₀(5,0,0) до второй плоскости находим d= 4.

Источник

Чертежи и 3d визуализация по России!

Положение плоскости в пространстве определяется:
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линий, рис.1
б) прямой и точкой, взятой вне прямой, рис.2
в) двумя пересекающимися прямыми, рис.3
г) двумя параллельными прямыми. рис.4

Каждое из представленных на рис. 1— 4 заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 1) прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 2: от него мы можем пе¬рейти к рис. 4, если через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ.

рис.1 рис.2

рис.3 рис.4

Важное замечание!
Многие студенты, изучающие начертательную геометрию или инженерную графику , сталкиваются с проблемой: вроде бы читаешь текст в учебнике, а все равно не понимаешь темы! Одна из причин этого – это то, что человек не мыслит образно. В чем заключается этот метод образного мышления? Да все просто, читая текст, представляйте себе «картинку» объекта (сцены). Ну, например, читая слово плоскость или прямая, кто вам мешает плоскость представить в виде ровного куска стекла (рис.5), а прямую как очень тонкую трубу без изгибов! И таких примеров можно привести миллион. Используя метод образного мышления, вы сможете не только научиться правильно решать задачи по начертательной геометрии или инженерной графике, но и ускорять процесс работы! Например, вам нужно построить по двум видам (вид спереди и сверху) аксонометрию детали. Используя метод образного мышления, вы представляете себе будущий объем детали, понимаете, что часть невидимых линий совершенно не обязательно простраивать (рис.6). В данном случае достаточно просто показать те линии, которые будут видны! Тем самым вы раза в полтора ускоряете свою работу – это очень помогает на экзаменах, когда вы делаете работу не только за себя, но и за друга – балбеса ).

Источник

Способы задания плоскости математика

Рассмотрим некоторые способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис. 41 );

Фигура	Рисунок	Тип утверждения и формулировка
Три различные точки
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой
Две пересекающиеся прямые
Две параллельные прямые
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой

Рисунок 41. Плоскость, заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой

а) модель		б) эпюр

2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис. 4 2);

Рисунок 42. Плоскость, заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии

а) модель		б) эпюр

3. двумя пересекающимися прямыми (рис.43);

Рисунок 43. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми

а) модель		б) эпюр

4. двумя параллельными прямыми (рис.44);

Рисунок 44. Плоскость, заданная двумя п араллельны ми прямы ми

а) модель		б) эпюр

5. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам (рис.45).

С ледом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная a плоскость различают горизонтальный a _П1, фронтальный a _П2 и профильный a _П3 следы.

Рисунок 45. Плоскость, заданная следами

а) модель		б) эпюр

Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках a _x , a _y , a _z . Эти точки называются точками схода следов , их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций.

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.

Источник