Способы задания отношений между элементами множеств

Отношения между элементами одного множества

В процессе обучения дошкольникам часто приходится рассмат­ривать элементы одного множества и устанавливать отношения между ними:

— сравнивать по величине;

— выстраивать сериационный ряд;

В математике изучают взаимосвязи между числами («быть больше», «следовать за», «быть меньше на 1»), в геометрии рассмат­ривают отношения равенства, пересечения, параллельности и др.

Чаще всего мы сталкиваемся с отношениями между двумя объ­ектами, их называют бинарными.

Способы задания отношений:

1. Указывают характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в этом отношении. При этом характеристическое свойство представляет собой предложение с двумя переменными.

2. Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.

Например элементы множества X = <1, 2, 3, 4, 5 >связаны от­ношением «быть больше на 1». В этом случае отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на 1». Это же от­ношение можно задать, перечислив все пары чисел, связанных дан­ным отношением: <(2;1), (3;2), (4;3), (5; 4) >.

В математике отношения между двумя элементами часто за­писываются при помощи символов: х>у, а//b, y=3х, с^ l

Способы задания отношений взаимосвязаны – от одного мож­но переходить к другому, и наоборот. Например, детям предложе­но задание: «Маша, Катя, Сережа, Валера – дети одних родителей. Назовите, кто кому является братом». Выполняя его, дети должны перейти от задания отношения с помощью характеристического свойства к перечислению пар элементов.

В математике изучают большое разнообразие отношений. Что­бы облегчить решение этой задачи, отношения классифицируют по свойствам.

Пусть R – некоторое отношение на множестве X, a x, y, z — лю­бые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с эле­ментом у, то пишут xRy.

1. Рефлексивность: каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой («параллельность», «равенство»).

R рефлексивно х R х

2. Симметричность: если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находит­ся в этом отношении с элементом х («параллельность», «перпенди­кулярность», «равенство», «быть родственником» ).

3. Антисимметричность: если из того, что х находится в дан­ном отношении с элементом у и х ¹ у, следует, что элемент у в этом отношении с х не находится («больше», «меньше», «длиннее», «короче»).

4. Транзитивность: если из того, что элемент х находится в
данном отношении с элементом у, а элемент у находится в этом
отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом z («больше», «выше», «старше», «рав­но», «параллельно»).

Одно и то же отношение может обладать несколькими свойст­вами. Так отношение «равно» — рефлексивно, симметрично, тран­зитивно, отношение «больше» — антисимметрично и транзитивно.

Если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности («равенство», «па­раллельность»).

Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то оно определяет разбиение этого множества на классы. И наоборот, любое разбиение множества X на классы определяет на этом мно­жестве отношение эквивалентности.

Это утверждение проявляется, например, при выполнении за­даний: «Подбери полоски равные по длине и разложи по группам».

«Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одно­го цвета».

Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение множеств полосок и мячей на классы.

Если отношение транзитивно и антисимметрично, то оно на­зывается отношением порядка («больше», «длиннее», «следовать»).

Эти отношения упорядочивают элементы множества.

Множества с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Например, выполняя задания: «Разложи полоски по ширине от самой узкой до самой широкой». «Разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают элементы множеств полосок и числовых карточек при помощи отношений порядка: «быть шире», «следовать».

Вообще, отношения эквивалентности и порядка играют боль­шую роль в формировании у дошкольников правильных представ­лений о классификации и упорядочивании множеств. Кроме того, дети встречаются с большим числом других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

Задание 22.

На множестве детей группы сада рассматриваются отношения: «быть ниже по росту», «быть старше по возрасту», «жить в одном и том же доме», «родиться в одном и том же месяце». Какие из этих отношений определяют разбиение множества детей на классы, а какие из них упорядочивают данное множество? Можете ли вы на­звать другие отношения на множестве детей?

Источник

Тема 5. Отношения на множестве

Понятие отношения между элементами одного множества.

Способы задания отношений.

Свойства бинарных отношений.

Отношение эквивалентности. Отношение порядка.

Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;

Дополнительная литература 1, 10, 14, 74

1. Понятие отношения между элементами одного множества

В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.

Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.

Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.

Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = 2, 4, 6, 8 задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2 4, 2  6, 2  8, 4  6, 4  8, 6  8. Но все эти пары есть элементы декартова произведения ХХ, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве Х, можно сказать, что оно является подмножеством множества ХХ.

Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то определимся, на множестве Х мы их будем определять следующим образом:

Определение. Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.

Условимся отношения обозначать буквами R, S, T, P и др.

Если R – отношения на множестве Х, то, согласно определению, R ХХ. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества ХХ , то оно определяет на множестве Х некоторое отношение R.

Замечание. Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записать так: (х,у)  R или х R у. Последняя запись читается : “Элемент х находится в отношении R с элементом у”.

2. Способы задания отношений

По определению отношения R между элементами множества Х есть всякое подмножество декартова произведения Х  Х, т.е. множество, элементами которого являются упорядоченные пары. Поэтому способы задания отношений, по существу, такие же, как и способы задания множеств.

Отношение R на множестве Х можно задать, перечислив все пары элементов, взятых из множества Х и связанных этим отношением.

Формы записи при этом могут быть различными. Например, некоторое отношение R на множестве Х = 4, 5, 6, 7, 9можно задать, записав множество пар: (5,4),(6,4),(6,5),(7,4),(7,5),(7,6),(9, 4),(9,5),(9,6),(9,7).То же отношение можно задать при помощи графа.

Отношения на конечном множестве Х можно представлять наглядно, при помощи особых чертежей, состоящих из точек, соединенных стрелками. Такие чертежи называют графами.

Построим граф отношения «меньше», заданного на множестве Х = 2, 4, 6, 8. Для этого элементы множества Х изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» – стрелкой.

На том же множестве Х можно рассмотреть другое отношение – «кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе.

2   4

8   6

Чаще отношение R на множестве Х задают, указав характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство задается при помощи предложения с двумя переменными.

Пример. Пусть заданы рассмотренные выше отношения «меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений«число х меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записать используя символы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было записать в таком виде: «х  у», «ху». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3). Отношение между прямыми плоскости задают, используя символы: х // у, х у.

Для отношения R, заданного на множестве Х, всегда можно задать отношение R -1 , ему обратное. Например, если R – отношение “х меньше у”, то обратным ему будет отношение “ у меньше х”.

Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори?» – ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?». Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».

Источник

ТЕМА 5. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ

1. Понятие отношения между элементами одного множества.

2. Способы задания отношений.

3. Свойства бинарных отношений.

4. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.

Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];

Дополнительная литература [1, 10, 14, 74]

Понятие отношения между элементами одного множества

В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.

Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.

Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.

Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = <2, 4, 6, 8>задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2

Источник

Лекция 2. Отношение между множествами.

Лекция 2. Отношения между множествами.

Между двумя множествами существует пять видов отношений.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются и записывают этот факт в виде А∩В = ∅ . Например, А = < a , c , k >, В = < d , e , m , n >, общих элементов у этих множеств нет, поэтому множества не пересекаются.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются и записывают А∩В≠ ∅ . Например, множества А = < a , c , k > и В = < c , k , m , n > пересекаются, т. к. у них есть общие элементы c , k .

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В ⊂ А)

Пустое множество и само множество называют несобственными подмножествами . Остальные подмножества множества А называются собственными. Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2 n подмножеств. Если рассматривают лишь подмножества некоторого множества U, то U называют универсальным множеством.

Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.

Например, А = < a , c , k , m , n > и В = < m , n , a , c , k >, А = В.

Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами или диаграммами Эйлера-Венна.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества. Если выбирается только одно свойство, то такую классификацию называют дихотомической . Например, натуральные числа можно разбить на четные и нечетные. Буквы русского языка можно разбить на гласные и не гласные. Вообще, если на множестве Х задано одно свойство А, то это множество разбивается на два класса: первый класс – объекты, обладающие свойством А, второй класс – объекты, не обладающие свойством А.

Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса. Например, на множестве натуральных чисел заданы два свойства: «быть кратным 2» и «быть кратным 3». При помощи этих свойств в множестве N можно выделить два подмножества А и В. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 6). Тогда в первый класс войдут числа, кратные 2 и 3, во второй – кратные 2, но не кратные 3, в третий – кратные 3, но не кратные 2, в четвертый – не кратные 2 и не кратные 3.

П р и м е р 1. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:

а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;

б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?

Р е ш е н и е. а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.

б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.

Задания для самостоятельной работы по теме:

Приведите примеры множеств А, В, С, если отношения между ними таковы:

2. Образуйте все подмножества множества букв в слове «крот». Сколько подмножеств получилось?

3 . Из множества N выделили два подмножества: А – подмножество натуральных чисел, кратных 3, и В – подмножество натуральных чисел, кратных 5. Постройте круги Эйлера для множеств N , A , B ; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества N ; укажите характеристические свойства этих множеств.

5. Имеется множество блоков, различающихся по цвету (красные, желтые, зеленые), форме (круглые, треугольные, прямоугольные), размеру (большие, маленькие). На сколько классов разбивается множество, если в нем выделены подмножества: А – круглые блоки, В – зеленые блоки, С – маленькие блоки? Сделайте диаграмму Эйлера и охарактеризуйте каждый класс.

6. Известно, что А – множество спортсменов класса, В – множество отличников класса. Сформулируйте условия, при которых: а) А ∩В=Ø

7. Пусть Х= < x N/ 1 x 15>. Задайте с помощью перечисления следующие его подмножества:

А – подмножество всех четных чисел;

В – подмножество всех нечетных чисел;

С – подмножество всех чисел, кратных 3;

D – подмножество всех чисел, являющихся квадратами;

Источник