Способы задания множеств.
ПЛАН
1. Понятие множества.
2. Способы задания множеств.
3. Отношения между множествами.
4. Операции над множествами.
5. Свойства операций над множествами.
6. Понятие «система счисления».
7. Непозиционная система счисления.
8. Позиционная система счисления.
9. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Понятие множества.
Для сокращенной записи будем использовать следующие символы:
• a Î A — а является элементом множества А;
• a Ï A — а не является элементом множества А;
• 
— пустое множество;
• <a, d, с> — множество, состоящее из трех элементов a, d и с;
• <х|Р(х)> — множество, состоящее из таких элементов х, для которых истинно утверждение Р(х);
• A È B — объединение множеств A и В;
• A Ç B — пересечение множеств А и В;
• A Ì B — А является подмножеством В;
• 
— дополнение множества А до универсального множества;
• U — универсальное множество;
• a R b — между a и b существует бинарное отношение R.
Множество является самым широким понятием в математике и поэтому принимается без определения. Множество считается заданным, если относительно каждого объекта можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов (элементов множества), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли — всё это примеры множеств.
Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.
Пустое множество ( ) не содержит ни одного элемента, например, множество крылатых слонов, множество корней уравнения sin x = 2 и т.д.
Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.
Счётное множество — множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным (множество книг в библиотеке) или бесконечным (множество целых чисел, его элементы можно пронумеровать следующим образом:
элементы множества: . -5, — 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .
номера элементов: . 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 . ).
Несчётное множество — множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным.
Выпуклое множество — множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок АВ. Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством.
Способы задания множеств.
Если объект a является элементом множества A, то говорят, что a принадлежит A, и записывают a 
A . Запись a Ï A означает, что a не принадлежит A.
Множество может быть задано следующим образом:
• перечислением всех его элементов по их названиям (так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);
Множество можно задать перечислением всех его элементов в любом порядке. Если множество A, например, состоит из первых четырех букв русского алфавита, то записывают
• заданием общей характеристики (общих свойств) элементов данного множества (например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачьих и т.д.);
Множество может быть задано с помощью характеристического свойства, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. Если множество A задано с помощью характеристического свойства P, то записывают A = <x|p(x)>
Например, запись A = <x|x R,—7 
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных чисел.
Пример 1.1. Запишем различными способами множество A, элементами которого являются натуральные числа, не превосходящие числа 6.
Решение. Натуральными числами, не превосходящими числа 6, являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому множество A можно записать так: A = <1, 2, 3, 4, 5, 6>, или A = <1, 3, 5, 2, 4, 6>, или A = <6, 5, 4, 3, 2, 1>, или перечислением элементов в каком-либо другом порядке.
По условию множество A задано описанием характеристического свойства его элементов «Быть натуральным числом, не превосходящим числа 6». Используя это свойство, множество можно записать так: A = <x|x N,x 
б>.
Пример 1.2. Прочитаем различными способами следующие записи:
а) 37 
N ;
Решение. а) Число 37 является натуральным. Число 37 принадлежит множеству N. Число 37 — элемент множества N. Число 37 содержится во множестве N. Множество N содержит число 37.
б) Число 2,5 не является натуральным. Число 2,5 не принадлежит множеству N. Число 2,5 не является элементом множества N. Число 2,5 не содержится во множестве N. Множество N не содержит числа 2,5.
Пример 1.3. Используя понятие характеристического свойства, зададим следующие множества:
Решение. Множества A, B и C заданы способом перечисления элементов. Используя характеристические свойства, указанные множества можно задать следующим образом:
A — множество согласных букв русского алфавита;
B — множество цветов радуги;
C — множество дней недели.
Пример 1.4. Изобразим на числовой прямой элементы следующих множеств:
б) A = <x|x 
Z,—4 x
Источник
Конспект лекций по основам теории множеств
Конспект лекции Основы теории множеств
Элементы и множества
Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. О множестве известно, как минимум, что оно состоит из элементов. Можно сказать:
Определение1: Множеством называется любая совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим свойством.
Определение2: Множество – это неопределяемое понятие, которое задается перечислением предметов, входящих в него, либо их свойствами.
Определение3: Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами.
Элементы, составляющие множество, обозначаются строчными латинскими буквами: a , b , m , x , y …; множество часто обозначают прописными латинскими буквами А, В, М, Х, У… .
Знак обозначает вхождение или принадлежность; запись х Е читается: «элемент х принадлежит множеству Е», или короче: «х— элемент множества Е». Если х не принадлежит Е, будем писать х Е, что читается « х не является элементом множества Е» или «х не принадлежит множеству Е».
Существует два способа задания множества:
перечисление элементов (только для конечных множеств):
указание характеристических свойств:
— Множество М состоит из таких элементов х, обладающих свойством х≤6, где х – натуральное число.
– множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
R – множество вещественных чисел;
Множество студентов в группе.
Определение 4: Множество называется конечным , если оно одержит конечное число элементов. Все остальные множества называются бесконечными .
Перечислением можно задавать только конечные. Бесконечные множества задаются характеристическим свойством (предикатом) или порождающей процедурой.
Определение 5: Множества, не содержащие элементы, называются пустыми множествами . Пустое множество обозначают символом или <>.
Определение 6: Универса́льное мно́жество (универсум) — в математике множество , содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.
Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E.
Определение 7. Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А является элементом В. Обозначают
.
Пример: 1)В=<1,2,3,4,5,6,7>, A =<2,4,6>, то ; 2) Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества, А , где А – любое множество; 3) само множество А является своим подмножеством,
т.е. А А; 4) Универсальное множество U обладает свойством: все рассматриваемые множества являются его подмножеством А U, где А – любое множество.
Определение 8. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначают так: А = В.
Для того, чтобы доказать равенство множеств А и В нужно:
1) доказать, что каждый элемент множества А является элементом множества В;
2) доказать, что каждый элемент множества В является элементом множества А.
То есть, м ножества А и В считаются равными , если 
Определение 9: В случае, когда и 
, то это записывают 
и говорят, что А есть собственное подмножество В.
Определение 10: Мощность множества А обозначается | А |.
Для конечных множеств мощность – это число его элементов.
Пример: 1) В=<1,2,3>, | В |=3; 2) | Z |= 
; 3) | |=0.
Определение 11: Равные множества являются равномощными. Если А=В, то 
.
Определить все подмножества множества В=
Приведите примеры бесконечного множества.
Конспект лекции Операции над множествами
1. Операции над множествами
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.
Для получения новых множеств из уже существующих, используют операции над множествами. Рассмотрим основные из них.
Определение: Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В без повторения:
Пример, А=<1,2,6,7>, B =<2,4,6,8>, тогда 
=
Определение: Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В: 
Пример, А=<1,2,6,7>, B =<2,4,6,8>, тогда 
=
Определение: Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
Определение: Дополнением множества А называется множество 
(или А ’ ) всех тех элементов универсума , которые не принадлежат множеству А :
Замечание . 
.
Определение: Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
.
Пример, А=<1,2,6,7>, B =<2,4,6,8>, тогда 
=
2. Основные тождества алгебры множеств
Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения (табл. 1):
1. Коммутативность объединения
1’. Коммутативность пересечения
2. Ассоциативность объединения
2’. Ассоциативность пересечения
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения
3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения
4. Законы действия с пустым и универсальным множествами
4’. Законы действия с пустым и универсальным множествами
5. Закон идемпотентности объединения
5’. Закон идемпотентности пересечения
6. Закон де Моргана
6’. Закон де Моргана
7. Закон поглощения
7’. Закон поглощения
8. Закон склеивания
8’. Закон склеивания
9. Закон Порецкого
9’. Закон Порецкого
10. Закон двойного дополнения
Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.
Определение: Декартовым (прямым) произведением множеств X и Y называется множество упорядоченных пар вида ( x , y ), таких что x 
и 
.
<( x , y ) 
x и >.
Пример . Пусть X =<1,2>, Y =<3,4,5>. Тогда <(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)>, 
<(3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2)>, 
<(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)>.
Две пары ( x , y ) и ( u , v ) считаются равными тогда и только тогда, когда x = u и y = v
Аналогично можно определить декартово произведение n множеств 
: 
Если 
, то n -я степень множества X определяется как 
Пример . Пусть X =<1,2,3>, тогда Х 2 =
Источник
