Способы задания группы примеры

Способы задания групп

Конкретная группа может быть определена следующими способами:

1. Как множество элементов с бинарной операцией, удовлетворяющей трем групповым аксиомам. Это основное определение, из которого можно получить все другие.

2. При помощи графической схемы (сети), составленной из направленных отрезков и обладающей основными свойствами, которыми должен обладать граф группы.

2. При помощи квадратной таблицы символов, которую мы назвали таблицей умножения группы . Такая таблица задает группу, поскольку в ней указаны все произведения элементов группы[6].

Хотя из таблицы умножения группы можно извлечь все то, что мы хотим знать о группе, поскольку в ней указаны все попарные произведения элементов группы, можно предвидеть ряд трудностей, которые возникнут при любой попытке неограниченно расширить область ее применения. Представьте себе, например, что вам нужно проанализировать группу порядка 60 с помощью ее таблицы умножения.

Поэтому, следует рассмотреть еще одно фундаментальное понятие в теории групп, которое позволяет описывать группу способом, не зависящим от ее порядка. Речь идет об образующих элементах группы[7]. Это и есть еще один способ задания группы, т.е. с помощью образующих и определяющих соотношений. С основными понятиями образующих элементов познакомимся в следующем параграфе.

Образующие элементы группы. Система образующих

Понятие образующего элемента

Пусть а и b — элементы некоторой группы. Тогда, согласно аксиоме об обратных элементах, а –1 и b –1 также являются элементами данной группы наряду с ab –1 a, abа –1 b и т.д. Любое произведение, которое можно записать, используя в качестве сомножителей элементы а, b, а –1 , b –1 в любом порядке и в любом конечном числе, является элементом этой группы, согласно определению бинарной операции. Если все элементы группы можно записать в виде произведений, включающих лишь а и b (и их обратные), то мы назовем а и b образующими (или образующими элементами) группы[8].

Определение

Элемент, из степеней которого составлена данная группа H, называется образующим элементом этой группы.

Замечание

Следует отметить, что понятию «образующий элемент» предлагают схожее по смыслу понятие «порождающий элемент» (от анг. generative — порождающий). Такое различие часто встречается в разных источниках и литературе по теории групп. И, например, вместо того, чтобы говорить: элемент а порождает группу H(a), часто говорят: элемент a есть образующий элемент группы H(a).

Примеры

1. Простейший случай — это группа с одной образующей, скажем а; все ее элементы могут быть представлены как произведения, содержащие в качестве сомножителей а и а –1 . Мы уже сталкивались с группой, порожденной одним элементом: группа вращений треугольника в его плоскости имеет таблицу умножения, представленную на рис. 1.2.1 , и так как I = аа –1 , то ясно, что каждый из трех элементов группы I, а, а 2 является произведением, содержащим в качестве сомножителей лишь а и а –1 . [9]

Рис. 1.2.1. Таблица умножения группы вращений треугольника

2. Знакопеременная группа A_n порождается множеством 3-циклов.

3. Группа поворотов С_n порождается одним поворотом t = 2p/n, а группа диэдра D_n — поворотом t и отражением r относительно одной из осей.

Источник

1 Группы

(При составлении статьи использованы материалы из Википедии)

• Любарский Г. Я., Теория групп и ее применение в физике, M., 1958;
• Вигнер E., Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, пер. с англ., M., 1961;
• Холл M., Теория групп, пер. с англ., M., 1962;
• Хамермеш M., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, пер. с англ., M., 1966,
• Лиховский В. Д., Болохов А. А., Группы симметрии и элементарные частицы, Л., 1983;
• Эллиот Д ж., Добер П., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1-2, M , 1983;
• Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., т. 2, M., 1984;
• Вейль Г., Теория групп и квантовая механика, пер. с англ., M., 1986.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, — Любое издание.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Москва, 2000.
• Постников М. М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, — Любое издание.

2 Определения

Группа – это моноид с бинарной операцией × такой, что кроме аксиом моноида выполняется аксиома об обратном элементе. Аксиомы группы:

( a × b ) × c = a × ( b × c )

2) существует единичный элемент (в аддитивном моноиде – нулевой элемент 0):

3) для любого элемента a существует единственный обратный элемент a –1 такой, что:

a × a –1 = 1 = a –1 × a

Дополнительным свойством моноида и группы может являться коммутативность групповой операции. Для коммутативного (абелева) моноида справедливо утверждение:

Для группы мы также будем рассматривать произведения вида a × M ₁ = M ₂ и M ₁ × M ₂ . Смысл их ясен интуитивно: первый из них объединяет результаты умножения определенного элемента ее на каждый элемент этого множества, второй объединяет результаты умножения каждого элемента ее на каждый элемент этого же множества в смысле объединения результатов.

Символический вид групповой операции не обязательно должен быть определен символом «×» – он может быть произвольным. Например, можно применить оператор +, только вместо «1» тогда надо будет применять символ «0», если под знаком «+» понимать общепринятую сумму чисел, а под обратным элементом – тот же элемент с обратным знаком. В общем можно применить и любой другой символ. Группа с операцией + называется аддитивной группой, а с операцией × и множеством других — мультипликативной. Количество элементов в группе может быть произвольным – конечным или бесконечным. Особый интерес представляют конечные группы и подгруппы групп и конечные образующие бесконечных групп.

Группа называется конечной , если она состоит из конечного числа элементов. Любая конечная группа эквивалентна некоторой перестановочной группе.

Кроме конечных и бесконечных, но дискретных групп, определенных на дискретных множествах, существуют непрерывные группы , определенные на непрерывных множествах. Точнее, топологических множествах, ибо непрерывность – топологическое свойство.

Подмножество H группы G называется образующей группы , если любой элемент можно получить как произведение элементов из H или обратных к нему.

Отображение f : G ₁ → G ₂ одной группы на другую называется изоморфизмом , если это отображение взаимно однозначно и согласовано с групповым умножением обеих групп, т. е. если f ( a * b ) = f(a) × f(b) для любых g, g ‘ Î G 1. В этом случае группа G₁ и G₂ называются изоморфными, что обозначают G₁

Более общим, чем изоморфизм, является понятие гомоморфизма групп. Например, рассмотрим группы (G₁, *), (G₂, ×). Отображение f : G ₁ → G ₂ называется гомоморфизмом групп G₁ и G₂, если оно одну групповую операцию переводит в другую: f ( a * b ) = f(a) × f(b). В этом случае не требуется, чтобы образ отображения f ( G 1) совпадал с группой G₂. Он может быть подгруппой в G₂. Не требуется и взаимной однозначности отображения, так что одному элементу в f ( G ₁ ) может соответствовать более чем один прообраз в G₁. Множество прообразов единицы, f -1 (1₂), образует в G₁ инвариантную подгруппу, наз. ядром гомоморфизма. Факторгруппа G₁/ f -1 (1₂) изоморфна группе f ( G ₁ ).

Если G’ — группа линейных преобразований (невырожденных операторов) в некотором линейном пространстве L, то гомоморфизм U: G → G ‘ называется представлением группы G (точнее, линейным представлением). T.о., линейное представление каждому элементу g группы G ставит в соответствие невырожденный линейный оператор U(g), причём произведению элементов U ( g ₁ g ₂) = U ( g ₁) U ( g ₂) группы соответствует произведение операторов,

Пространство X, на котором задано действие группы G, называется G-пространством. Если группа действует транзитивно, т. е. для любой пары точек х, x ‘: x , x ‘ Î X найдётся элемент группы g, переводящий одну из этих точек в другую: x’ = gx, то X называется однородным пространством. Фактор-пространство всегда является однородным пространством. Например, группа Лоренца L не является инвариантной подгруппой в группе Пуанкаре P, поэтому фактор-пространство P/L является однородным пространством, но не факторгруппой. Любое G-пространство представляется в виде объединения непересекающихся подпространств, в каждом из которых группа действует транзитивно. Эти подпространства называются областями транзитивности или орбитами группы. Стационарной подгруппой (стабилизатором) некоторой точки x ₀ Î X называется множество элементов группы, оставляющих эту точку на месте.

Прямым произведением групп G₁ и G₂ называется множество пар (g₁, g₂), где g₁ Î G₁, g₂ Î G₂, с определённой на этом множестве операцией умножения пар (g₁, g₂)(g’₁, g’₂) = (g₁g’₁, g₂g’₂). T.о., прямое произведение групп также является группой, которая обозначается G₁ Ä G₂ или G₁ ´ G₂. Если сомножители совпадают, то используется обозначение G₁ ´ G₂ ´ … ´ G _n = G n . Если сомножители коммутативны, то их прямое произведение — также коммутативная группа. В этом случае иногда вместо термина «прямое произведение» употребляют термин «прямая сумма» и вводят обозначение G₁ Å G₂ или G₁+G₂.

Любую абелеву группу можно получить как произведение циклических групп.

Можно поставить очень интересный вопрос (или задачу, если хотите): сколько групп имеется вообще? и, в частности, сколько можно построить конечных групп из n элементов? с точностью до изиморфизма.

2.1 Подгруппы

Группа может содержать подгруппы . У любой группы имеются две тривиальные несобственные подгруппы:

1) состоящий из единственного единичного элемента и

2) сама группа, если не вводить требование не эквивалентности, тоже является своей подгруппой.

Все остальные подгруппы называются собственными подгруппами .

Если H – подгруппа G , x Î G и xHx –1 = H , то подгруппа H называется нормальной . Все подгруппы абелевой группы нормальны.

Неабелева группа, все подгруппы которой нормальны, называется гамильтоновой группой . Наименьшей такой группой является группа кватернионов.

Наименьшая неабелева группа без собственных нормальных подгрупп – это группа икосаэдра порядка 60. Такие группы без нормальных подгрупп называются простыми группами .

Подмножество g H , состоящее из элементов вида g× h , где h Î H , называется левым смежным классом элемента g по подгруппе S . Два смежных класса g, g’ × H либо не имеют ни одного общего элемента, либо полностью совпадают (последнее имеет место при g ‘ Î g × H ). T.о., группа G разбивается на непересекающиеся смежные классы. Аналогично можно ввести и правые смежные классы H × g, которые также осуществляют (вообще говоря, другое) разбиение G .

Можно рассматривать смежные классы как элементы некоторого нового множества. Оно наз. фактор-группой G по подгруппе H и обозначается G/ H . Множество правых классов также называется фактор-пространством и обозначается H \ G .Для нормальной подгруппы левый и правый смежные классы совпадают.

3 Способы задания групп

Группу можно задать с помощью:

1) основного определения группы с помощью трех аксиом 1, 2, 3 и некоторых дополнительных, выделяющих класс эквивалентности групп;

2) перечислением элементов и квадратной матрицы умножения, определяющей все произведения элементов группы, удовлетворяющих аксиомам группы;

3) графической схемы группы;

4) образующей и определяющих соотношений группы.

С помощью основных трех аксиом практически невозможно определить группу. Единственное, что можно с ее помощью сделать – проверить, является ли создаваемая нами конструкция группой.

3.1 Задание группы графом

3.2 Таблица умножения

Конечные группы могут быть заданы с помощью таблицы умножения. Каждая строка ее представляет собой некоторую перестановку в соединении с первой строкой:

b

a

Рис. 1. Представление таблицы умножения.

Для примера стрелками обозначен результат операции ab = c : b – начало операции, c – конец (результат) операции. Единственное требование к этой таблице – полнота и упорядоченность не только верхней строки и левого столбца (операнды операции группы), но и всех строк и столбцов, ее ассоциативность и существование обратного для каждого элемента группы, что, конечно, тоже следует из свойств группы. Но какой-либо простой схемы определения удовлетворения аксиомам группы по таблице умножения, кроме проверки перебором, не имеется.

Бесконечные группы не все могут быть описаны таблицей умножения, хотя и существуют некоторые индуктивные методы определения этой таблицы. Но индуктивные методы могут существовать только для счетных множеств, изоморфных натуральным и целым числам.

Имеется предположение, что большинство определений групп не может иметь какого-либо интереса в связи с произвольностью ее таблицы умножения. Интересны именно некоторые реализации ее, полученные некоторым однородным конструктивным способом на фоне каких-либо еще дополнительных свойств базового множества, являющегося представителем класса моноидов этого типа.

3.3 Определение группы определяющими соотношениями

Определение группы с помощью таблицы исчерпывающе, но слишком громоздко при больших n . Сложность этого определения равна квадрату порядка группы. Для очень многих групп имеются другие исчерпывающие способы определения групп с помощью определения некоторых соотношений и свойств между ее элементами. С помощью этих соотношений можно получить все другие свойства группы. Один из этих способов – с помощью образующей и определяющих соотношений группы.

Пусть < a ₁ , a ₂ , … a_n > – некоторое конечное подмножество элементов группы. Если любой другой элемент группы можно получить в виде произведения элементов из этого множества, то это множество элементов называется образующей группы . Единица в эту группу обычно не входит. Простейший случай – это циклическая группа из трех элементов с одной образующей, например, a . Тогда все элементы могут быть перечислены как множество <1, a , a 2 >. Таким же свойством обладает и любая другая простая циклическая группа. Но не каждая группа обладает конечными образующими. Например, тривиальная единичная группа C ₁ , а также бесконечная циклическая группа C _∞ не обладают образующими.

Приступим к определению определяющих соотношений группы. Для этого надо привести некоторые определения.

Определим понятие «слово». Слово – это произвольная конечная последовательность из элементов группы в произвольной степени (в т.ч. и отрицательных), представляющих их произведение. Два слова эквивалентны, если они дают одно и то же групповое движение. Эквивалентные слова составляют класс эквивалентности.

Слово W называется пустым, или тривиальным, если ее с помощью преобразований типа gWg -1 и применением сокращений (вычеркиваний) последовательностей типа gg -1 (или других единичных слов) с применением ассоциативности произведения можно преобразовать до I .

Способом доказательства эквивалентности двух слов является последовательное выполнение операций вставки и зачеркивания слов, равных единице с приведением ее ко второму слову.

Тождество вида W = I , где W – слово, называется соотношением. Способом доказательства является применение этих же операций над словом.

Определяющими соотношениями называется минимальное множество соотношений, из которых следуют все соотношения группы.

Дадим набросок процедуры построения группы при помощи образующих и соотношений.

1) Зададим множество порождающих символов и множество B соотношений R_k = I , где каждое R_k есть непустое слово.

2) Рассмотрим множество F всех слов от заданных порождающих символов.

3) Образуем подмножество K , состоящее из всех слов W из F , таких, что равенство W = I есть следствие заданного множества соотношений R_k = I .

4) Разобьем F на классы эквивалентных слов.

5) Выберем множество G представляющих слов по одному из каждого класса эквивалентности.

В общем случае конкретная группа может быть определена образующими и определяющими соотношениями неоднозначно.

Циклическая группа порядка 5 определяется образующей a 5 =1.

Призма размерности 6 имеет определяющие соотношения a 2 = b 3 = aba -1 b -1 = 1.

Диэдр размерности 6 имеет определяющие соотношения a 2 = b 3 = ( ab ) 2 = 1.

4 Виды (типы) групп

Наиболее простым для классификации групп признаком является их мощность, а среди них – конечные и бесконечные группы. Следующими признаками для классификации групп являются их алгебраические свойства и свойство топологической непрерывности.

4.1 Алгебраические типы групп.

С точки зрения алгебраической (групповой) структуры среди всех групп выделяют следующие типы.

1. Коммутативные (абелевы) группы. Это группы, для которых любые два элемента перестановочны: gg’=g’g. Простейшими дискретными коммутативными Г. являются Г. целых чисел Z (групповая операция — сложение) и группа Z_n вычетов по модулю n (она получается из Z , если элементом группы считать класс целых чисел, отличающихся друг от друга на числа, кратные n ). Простейшими непрерывными коммутативными группы являются группы R всех вещественных чисел (групповая операция — сложение) и группа T — SO(2) поворотов плоскости.

Всякая связная коммутативная одномерная группа изоморфна либо R , либо T (связной называется группа, любые два элемента которой можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей группе). Всякая связная коммутативная ГЛ изоморфна прямому произведению таких групп, т.е. R n Ä T m ( T m — m-мерный тор). Дискретную группу удобно описывать с помощью её образующих, т. е. таких элементов, что всякий элемент группы представляется в виде произведения элементов-образующих. Группа с одной образующей (циклическая) изоморфна либо Z , либо Z_n . Любая дискретная коммутативная группа с конечным числом образующих является прямым произведением циклических групп, т. е. изоморфна (набор чисел n ₁, . n_S не определяется однозначно заданием группы). Важными для физики примерами коммутативных групп являются группы трансляций n-мерного евклидова или псевдоевклидова пространства, изоморфная R n , и группа трансляций n-мерной решетки, изоморфная Z n

2. Разрешимые группы. Группа G называется разрешимой, если в ней есть конечная цепочка вложенных друг в друга подгрупп , обладающая свойствами: a) G_k+1 — инвариантная подгруппа в G_k б) фактор-группа коммутативна. Изучение разрешимых групп в большой степени сводится к изучению коммутативных групп. Абелева ГЛ разрешима. Пример разрешимой группы — группа движений евклидовой плоскости. Термин «разрешимая» отражает роль этих групп в теории алгебраических и дифференциальных уравнений. А именно: алгебраическое уравнение n-й степени разрешимо в радикалах (соответственно обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка разрешимо в квадратурах), если и только если его т.п. группа Галуа (соответственно группа Ли-Ритта-Колчина) разрешима.

3. Нильпотентные группы. Группа G называется нильпотентной, если она разрешима и, кроме того, для любого и любого элемент (называется коммутатором g и g_i) лежит в G_i+1. Др. словами, все G_i инвариантны в G и группа G_i/G_i+1 принадлежит центру группы G/G_i+1.

4. Простые группы. Это класс групп, наиболее далёкий от класса коммутативных групп. Группа G называется простой, если она не содержит инвариантных подгрупп, отличных от самой группы и единичной подгруппы. Примером простых групп являются группой PSU( n ) проективной унитарной симметрии. Прямое произведение простых групп иногда называют полупростой группой (полупростая группа характеризуется отсутствием абелевых инвариантных подгрупп). Описание всех простых групп Ли известно (см. Ли алгебра), а описание всех конечных простых групп близится к завершению.

5. Расширения групп. Пусть в группе G есть инвариантная подгруппа G₀. Обозначим факторгруппу G/G₀ через G₁. Говорят, что G является расширением G₁ с помощью G₀. Предположим, что в каждом смежном классе gG₀ можно выбрать по одному представителю так, чтобы произведение представителей было представителем. Тогда множество представителей образует подгруппу группы G, изоморфную G₁. В этом случае говорят, что расширение тривиально или что G является полупрямым произведением G₁ на G₀. Напр., группа Пуанкаре является полупрямым произведением группы Лоренца на группу 4-мерных трансляций, а группа движений евклидова пространства — полупрямым произведением группы вращений на группу трансляций. В теории групп разработаны методы (когомологии групп), позволяющие описывать все расширения с заданными G₁ и G₀. Для широкого класса групп (например, для конечных групп и для связных ГЛ) доказано, что каждая из них является расширением полупростой группы с помощью разрешимой группы. Большинство кристаллографических групп являются нетривиальными расширениями некоторой конечной группы вращений и отражений с помощью дискретной группы трансляций. Тривиальными расширениями (полупрямыми произведениями) являются группы движений евклидовых и псевдоевклидовых пространств, в т.ч. группа Пуанкаре.

4.2 Топологические типы групп.

Топологическая группа (непрерывная группа) — это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причем умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G → G являются непрерывными в данной топологии. Топологическая группа обобщает понятие группы Ли, от которой требуется, чтобы операции умножения элементов и взятия обратного элемента были не только непрерывными, но аналитическими или голоморфными (для этого на группе вводится не только топология, но и структура аналитического или комплексного многобразия).

Довольно часто встречающиеся на практике группы являются топологическими группами. Это значит, что для элементов группы определены понятия непрерывности и предельного перехода, причём операция умножения и переход к обратному элементу непрерывны (т. е., если g_n → g и g ‘ _n → g ‘ при n → ¥ , то g_ng ‘ _n → gg ‘и g_n -1 → g -1 ). С точки зрения топологии выделяются следующие типы групп.

1. Дискретные группы. Это группа с тривиальной топологией: последовательность < g_n > сходится только тогда, когда она стабилизируется, т. е. все её элементы, начиная с некоторого m , равны, g_m = g_{m +1} = … Дискретными являются, например, все конечные группы и кристаллографические группы (группа симметрии кристаллических решёток).

2. Компактные группы. Это группы, в которых из каждой последовательности < g_n > можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

3. Локально компактные группы. Это такие группы, в которых каждый элемент обладает компактной окрестностью.

4. Группы Ли (ГЛ) отличаются тем, что их элементы можно охарактеризовать конечным набором числовых параметров, т. е. на группе можно ввести систему координат (см. ниже).

5. Бесконечномерные группы Ли являются обобщением uhegg Kb . Элементы таких групп характеризуются заданием бесконечного набора числовых параметров (или некоторого количества функций).

5 Группы Ли

Элементы группы Ли являются топологической группой и задаются конечным набором числовых параметров (координат) так, что групповое умножение и переход к обратному элементу выражаются с помощью гладких (бесконечно дифференцируемых) функций от этих параметров. Число параметров называется размерностью группы Ли. Параметры могут быть вещественными или комплексными, в соответствии с этим группы Ли называются вещественной или комплексной группами Ли. Каждую комплексную группу Ли можно рассматривать как вещественные группы Ли вдвое большей размерности. Примерами групп Ли являются физически важные группы трансляций, вращений ( SO ), конформных и унитарных преобразований разных размерностей, группа Лоренца, группа Пуанкаре и т.д. Группа Ли в целом может обладать такой топологией, что её невозможно покрыть одной системой координат. Это имеет место даже для такой простой группы Ли, как группа поворотов плоскости, SO(2). Топологически эта группа эквивалентна окружности и не может быть гладко отображена на вещественную прямую (ось координат) или какой либо интервал этой прямой.

Поэтому в общем случае на группы Ли вводят целое семейство систем координат (карт), каждая из них покрывает некоторую область группы (координатную окрестность). На пересечении любых двух координатных окрестностей, где имеют смысл сразу две системы координат, переход от одной из них к другой описывается с помощью гладких (бесконечно дифференцируемых) функций. Операция умножения в группе и переход к обратному элементу в любой системе координат описываются гладкими (бесконечно дифференцируемыми) функциями. Сказанное можно сформулировать следующим образом: группа Ли — это группа, которая одновременно является гладким многообразием, причём групповая структура согласована со структурой многообразия.

5.1 Классификация простых групп Ли

Простая группа Ли — группа Ли, не имеющая нормальных подгрупп, кроме тривиальных, состоящих из единицы группы и всей группы. Близким понятием является «полупростая группа Ли», которая не имеет абелевых инвариантных подгрупп, опять-таки, кроме тривиальных.

Простые группы Ли относительно легко поддаются классификации, что было проделано Эли Картаном в начале XX века. Наиболее наглядна классификация по схемам Дынкина.

Простые группы Ли делятся на 4 бесконечных ряда:

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике. — М.: 1983 Т. 2.

Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.. — Мир, 1985.

6 Ортогональные группы

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований n -мерного векторного пространства V над полем k , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q на V (то есть таких линейных преобразований , что Q(φ(v)) = Q(v) для любого ).

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL( n ). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу SO( n , Q ), обозначаемую так же как и ортогональная группа но с добавлением буквы «S». SO(n,Q) , по построению, является также подгруппой специальной линейной группы SL(n) .

Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно Q ) преобразованиями V , а также автоморфизмами формы Q (точнее, автоморфизмами пространства V относительно формы Q ). Обозначается O_n , O_n(k) , O_n(Q) и т.п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей. Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ( l плюсов, m минусов) где n = l + m , обозначается O( l , m ), см. напр. O(1,3).

6.1 Свойства

В случае если характеристика основного поля больше двух, то с Q связана невырожденная симметрическая билинейная форма F на V , определенная формулой

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства V , которые сохраняют F , и обозначается через или (когда ясно о каком поле k и форме F идёт речь) просто через O_n .

Если B — матрица формы F в неком базисе пространства V , то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц A с коэффициентами в k , что

В частности, если базис таков, что Q является суммой квадратов координат (то есть, матрица B единична), то такие матрицы A называются ортогональными.

Над полем действительных чисел, группа компактна тогда и только тогда, когда форма Q знакоопределена.

6.2 Группа Лоренца O(1,3)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Группа Лоренца является группой преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами). [1] В математике обозначается . Группа всех преобразований Лоренца, включая и параллельный перенос , по историческим причинам называется группой Пуанкаре . С другой стороны, группа Лоренца содержит как подгруппу группу вращений 3-мерного пространства.

Специальная группа Лоренца — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ).

Ортохронная группа Лоренца , специальная ортохронная группа Лоренца — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты ). Группа , единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца можно построить при помощи спиноров.

6.3 Группа Пуанкаре P

Группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца) — группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов вида , где — преобразование из группы Лоренца, — 4-вектор смещения (трансляции). Элемент группы Пуанкаре обычно обозначается , а закон композиции имеет вид

Группа Пуанкаре играет важную роль в специальной теории относительности, являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма

являются инвариантными при преобразованиях Лоренца. Поэтому можно сказать, что группа Пуанкаре выражает фундаментальную симметрию многих из известных фундаментальных законов природы.

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре. Как и группа Лоренца, группа имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями и знаком . Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли. Наиболее важной является компонента , у которой , 0″>, содержащая тождественное преобразование.

Группа — 10-параметрическая: к шести генераторам группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций.

6.4 Группа вращений SO(3)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В механике и геометрии группа вращения является набором всех вращений вокруг начала координат в 3-мерном Евклидовом пространстве, . По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3, SO(3)).

· Группа вращений некоммутативна.

· Группа вращений является группой Ли.

· Группа SO(3) диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера, любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором ), проходящей через центр координат, и углом . Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса . Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам и соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.

· Универсальная накрывающая группы SO(3) является специальной унитарной группой SU(2), или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.

6.5 SO(4)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике SO(4) — группа вращений вокруг фиксированной точки (начала координат) в четырёхмерном Евклидовом пространстве. Название возникло из-за того, что эта группа изоморфна специальной ортогональной группе степени 4.

7 Унитарная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Унитарной группой (обозн. U(n) ) называется подгруппа группы невырожденных линейных преобразований пространства состоящая из так называемых унитарных линейных преобразований, т.е. преобразований, сохраняющих эрмитово скалярное произведение в пространстве А именно, если — эрмитово скалярное произведение, то линейное преобразование унитарное, если

Свойства унитарных групп

· Унитарные преобразования образуют группу ( U(n) ).

· Определитель унитарного преобразования — комплексное число, по модулю равное 1 . Унитарные преобразования с определителем 1 образуют подгруппу специальных унитарных преобразований SU(n) в U(n).

7.1 Группа U(2)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

U(2) (унитарная группа порядка 2) в математике — мультипликативная группа всех пар комплексных чисел, равных по модулю единице: . Является также двухмерной группой Ли. Изоморфна группе SO(3) .

Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера . Данная группа естественным образом изоморфна группе SO(3) . Обозначается иногда как T или в связи с тем, что квадрат этой группы представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп , не обязательно двух, как, например, максимальный тор.

Группа U(2) компактна , и является единственно возможной (вещественной) двухмерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную U(2) .

Группа U(2) не является односвязной .

Сложение углов:
150° + 270° = 60°

Элементы группы U(1) определяют, фактически, величину угла: комплексное число z можно записать как z = e i ϕ (причём ϕ будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу U(1) можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов SO(2) всей плоскости вокруг начала координат.

Углы, различающиеся на целое число оборотов ( 2πn , если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на и будет равна нулю. Таким образом, группа U(1) изоморфна фактор-группе группы вещественных чисел по модулю 2π . Если измерять угол в оборотах ( ), то — группа дробных частей вещественных чисел.

Источник