Геометрические задачи и методы их решения с примерами
Содержание:
Логическое построение геометрии
Геометрия — это наука о пространственной форме и количественных характеристиках предметов реального мира. Прочие свойства предметов изучают другие дисциплины. Если при изучении предмета учитывать только пространственную форму и размеры, то получим абстрактный объект, называемый геометрической фигурой.
Слово «геометрия» — греческого происхождения и в переводе означает землеизмерение. Геометрию, изучаемую в школе, называют евклидовой по имени древнегреческого ученого Евклида. Геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости, а стереометрия — в пространстве (рис. 1).
Чтобы отличать геометрические фигуры друг от друга, их свойства описывают в виде утверждения, которое называют определением. Однако, определить вес геометрические фигуры невозможно. Некоторые из них, первоначальные, вынуждены принять без определения. Принимаем их за неопределяемые, начальные (основные) геометрические фигуры. Логическое построение геометрии осуществляют в следующем порядке: 1. Вначале принимают основные (начальные) геометрические фигуры без определения; 2. Принимают основные свойства этих фигур без доказательств;
3. Определяют другие геометрические фигуры через основные фигуры и их свойства, а затем доказывают свойства этих фигур и утверждений, истинность которых устанавливается путем доказательств, опираясь на известные.
Такое построение науки называют аксиоматическим построением. Свойства фигур, принятые без доказательства, называют аксиомами.
В планиметрии, которую мы изучали до сих пор основными геометрическими фигурами были точка и прямая. Их приняли без определения. Но определили отрезок, луч, треугольник и другие геометрические фигуры. Точно так же следующие свойства (утверждения) мы принимаем без доказательств в качестве аксиом:
I. Аксиомы принадлежности
1.1. Какова бы ни была прямая на плоскости, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
II. Аксиомы расположения
2.1. Из трех точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Любая прямая делит плоскость на две части: на две полуплоскости.
III. Аксиомы измерения
3.1. Любой отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Любой угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера развернутого угла равна 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
IV. Аксиомы откладывания
4.1. На любом луче от его начальной точки можно отложить единственный отрезок, равный данному.
4.2. От любого луча в определенную полуплоскость можно отложить единственный угол, равный данному, не развернутому углу.
4.3. Для любого треугольника существует единственный равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
V. Аксиома параллельности
5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Вывод некоторого утверждения с помощью логических размышлений называют доказательством. Утверждение, верность которого установлена с помощью доказательства, называют теоремой. Обычно теорема состоит из условия и заключения. В первой части теоремы — условии объясняют что задано. А во второй части — заключении формулируют что требуется доказать.
Доказать теорему — эго значит, используя ее условие, опираясь на принятые и доказанные ранее свойства, рассуждая, привести к правильности предложения, сформулированного в заключении.
Уточнение условия и заключения теоремы — разъясняет ее, облегчает понимание и доказательство теоремы.
Древнегреческий ученый Платон отмстил удивительную закономерность в геометрии: из свойств, изученных и доказанных ранее, логически размышляя и обдумывая, можно получить новые свойства. Следовательно, используя эти удивительные возможности, можно формулировать остальные свойства в виде теорем, которые доказывают с помощью логических размышлений, аксиом, а также свойств, доказанных до этого.
В процессе размышления запрещается использование недоказанных свойств, даже если их правильность очевидна.
Таким образом, если рассматривать геометрию как одно здание, начальные понятия и аксиомы составляют его фундамент. Кирпичи, уложенные на этом фундаменте — это новые определяемые понятия и свойства, доказанные в виде теорем.
В формировании геометрии в качестве самостоятельной науки большой вклад внесли древнегреческие ученые. Например, Гиппократ Хиосский дал разъяснения о первых геометрических понятиях. Наибольший вклад в этой области принадлежит великому древнегречеcкому ученому Евклиду (356-300 годы до нашей эры). Его основной труд «Начала» содержит планиметрию, стереометрию и некоторые вопросы теории вероятностей, кроме того, алгебру, основы теории отношений, способы вычисления площадей и объемов и также элементы теории пределов. Евклид в «Началах» собрал все достижения древнегреческих математиков того времени и создал основу для дальнейшего развития математики.
«Начала» состоят из 13 книг и содержат переработанные труды древнегреческих ученых V — IV веков до нашей эры. В нем приведены 23 определения, 5 постулатов и 9 аксиом. В этом труде даны правильные определения прямоугольника, квадрата и окружности. Для точки и прямой приведены следующие определения: «Точка-это то, что не имеет частей», «Линия-это длина без ширины».
В «Началах» приведены 9 аксиом — высказывания, принятые без доказательства. Также приведены следующие 5 математических умозаключений (постулатов), позволяющие осуществлять геометрические построения:
I. Через любые две точки можно провести только одну прямую.
II. Отрезок прямой можно бесконечно продолжить.
III. Из любой точки можно построить окружность произвольныго радиуса.
IV. Все прямые углы равны между собой.
V. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересеченные третьей, образуют внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то при продолжении вышеупомянутых прямых они пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых углов.
Упомянутый труд получил огромную славу и признание. Особенно V постулат стал причиной большой научной дискуссии. Если обозначить внутренние углы в V постулате а и (3 (рис. 1), а прямые а и b, то по смыслу этого постулата а+(3
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Источник
Способы задания геометрических фигур
При решении геометрических задач обычно используются три основных метода: геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других — алгебраическим.
Какой бы путь решения ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения их применять.
Метод дополнительного построения
Всякое геометрическое решение геометрической задачи начинается с работы над чертежом. При этом иногда на «естественном» чертеже (т.е. на чертеже, на котором изображено только условие) трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, а если фигуру достроить, эти связи становятся очевидными.
Две фигуры F и F 1 называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т.е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз.
Признаки подобия треугольников:
1) Если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2) Если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами равны;
3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.
Метод замены широко применяется в алгебре, но не менее эффективно «замена» может быть применена в геометрии. Сущность этого приема решения геометрических задач состоит в следующем: фигура, о которой идет речь в условии задачи, так заменяется фигурой с той же искомой величиной, чтобы найти эту величину было легче.
Метод введения вспомогательного неизвестного
Суть метода заключается в том, что исходя из условия задачи составляют уравнение (или систему уравнений). В качестве вспомогательных аргументов удобно выбирать величины, которые вместе с данными из условия задачи дают набор элементов, однозначно задающих некоторую фигуру.
В математических задачах часто бывает полезен такой прием: двумя способами найти одну и ту же величину и приравнять полученные для нее выражения. Пусть мы, например, двумя способами нашли площадь некоторой фигуры. Если в одном из выражений для площади входит, скажем синус какого-либо угла α, то при помощи соотношения из полученного равенства можно получить некоторое неравенство, порой интересное.
Метод «вспомогательных объёмов»
Для нахождения расстояния от точки до плоскости или при нахождении углов между прямой и плоскостью метод «вспомогательного объёма» во многих случаях оказывается наиболее эффективным. Суть метода заключается в том, что объём некоторой фигуры выражается двумя способами, а затем из полученных равенств выражается искомая величина. Причём в этом методе нет необходимости строить проекцию прямой на плоскость или проекцию точки, что во многих случаях оказывается очень затруднительным.
Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении задач.
Критерии коллинеарности и компланарности векторов служат основной для применения векторной алгебры в решении стереометрических задач. Они позволяют выразить в виде векторных равенств различные утверждения о расположенных точках, прямых и плоскостей в пространстве. Переход от векторных равенств к скалярным происходит на основе единственности разложения вектора по двум неколлинеарным и трём некомпланарным векторам.
Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. И, решая ту или иную геометрическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще, удобнее. Некоторые виды координатных систем, отличные от прямоугольных.
1.Косоугольные (аффинные) координаты.
Рассмотрим самые употребительные и простые координаты в пространстве, называемые прямоугольными. Их называют ещё декартовыми по имени Рене Декарта (1596-1650) – французского учёного и философа, впервые ввёдшего координаты в геометрию (на плоскость).
Источник
Виды заданий геометрического характера, направленные на развитие познавательных процессов младших школьников
Виды заданий геометрического характера, направленные на развитие познавательных процессов младших школьников.
1) Задания на развитие и совершенствование внимания.
Каждое задание этого раздела имеет не только ярко выраженную направленность на развитие и совершенствование внимания, но и обязательно несёт в себе определенное математическое содержание и умственную нагрузку для детей (развитие основных характеристик мышления и мыслительных операций, в частности операции сравнения).
Форма представления задания носит нестандартный, интересный для детей характер.
Задание1 .Послушайте песенки веселых человечков про геометрические фигуры и сравните их признаки.
а) У круга есть одна подруга,
Знакома всем её наружность,
Она идет по краю круга
И называется Окружность.
б) Без конца и края
Хоть 100 лет по ней иди,
Не найдешь конца пути.
Следующее задание дает возможность проводить характеристику фигур, анализ и синтез.
Задание 2. Назови геометрические фигуры. Сравни их. Разбей на группы.
Неотъемлемой частью этого вида заданий являются задания на моделирование, т. е. такого способа построения модели отношения или объекта, как геометрического и технического в виде макета, чертежа, схемы. В частности, задание на формирование умения узнавать и выделять объект.
Задание 3.: а) Выберите треугольники и объясните свой выбор
б) Сколько треугольников здесь нарисовано?
Большую роль в формировании навыков анализа образца, его преобразования играют задания на конструирование из палочек.
Задание 4.: а) Из 14 палочек выложите корову по образцу, чтобы она смотрела в другую сторону
б) С помощью кусочков проволоки и пластилина сконструируйте треугольник, квадрат, прямоугольник. Разбейте их на группы
Причем второе задание дается дифференцированно. Для детей, выполнивших это задание быстро и без ошибок – дополнительно провести анализ каждой группы геометрических фигур.
2) Задания на развитие восприятия и воображения.
Содержание таких заданий сложное, способы выполнения разнообразны.
Задание 1. Выполни аппликацию из набора геометрических фигур. Проанализируй этапы выполнения этого задания.
Задание 2. С помощью геометрической мозаики или рамки составь как можно сложную комбинацию из геометрических фигур
Несколько тысяч лет назад китайский ученый Та-нг разрезал квадрат на 7 частей, эта старинная головоломка развивает не только восприятие и воображение, но и логическое мышление, конструкторские способности. Задание дается в занимательной форме.
Мне вцепилась в хвост оса.
Из кусков меня сложите!
Оригами – ещё один вид заданий, где открыт огромный простор творчеству, пространственному воображению и логическому мышлению учащихся. С помощью складывания бумаги дети изготавливают различные изделия: лодочка, поросёнок, собачка. (см. приложение, рис. 8). Повышается уровень самостоятельности учащихся при выполнении геометрических заданий с отрезками одинаковой длины, когда дети выкладывают из счетных палочек заданное число названных фигур не по образцу, а по описанию.
Задание 4. Построй 3 квадрата сначала из 17 счетных палочек, а затем из 18.
При выполнении этого типа задания используется учебный диалог. Учащиеся вступают в спор. В нем выкристаллизовывается точка зрения каждого ученика и вместе с тем обнаруживаются границы её применения.
Учитель является активным участником диалога. В итоге приходят к выводу, что можно использовать свойство общей стороны.
Получаются такие фигуры:
Использование диалога в обучении – одно из условий развития творческого потенциала ребенка. Часто используются задания на построение простейших диаграмм и их чтение.
Задание 5. Прочитай диаграмму, показывающую число учащихся в третьих классах и запиши результат.
3) Задания на развитие памяти.
Большое внимание уделяется развитию всех видов памяти: слуховой, зрительной, наглядно-образной и словесно-логической, для чего используются игры: «Запомни изученные термины», «Цепочка слов», «Повтори-ка» и др., содержание которых обогащается новыми терминами, а их качества увеличивается по сравнению с числом использованных слов в предыдущих играх. Используются задания для зрительных диктантов.
При их выполнении идет более широкая опора на сформированные у детей геометрические представления и умение проводить сравнение и обобщение.
Задание 1. Зрительный диктант «Запомни фигуру».
В течение одной минуты учитель показывает рисунок фигуры, изображенной на рисунке, просит учащихся рассмотреть её и затем, как можно точнее, зарисовать в тетради. Ставится перед детьми проблемный вопрос: – Как быстрее запомнить эту фигуру?
При выполнении этого задания дети будут опираться на сформированные представления об осевой симметрии. При проверке дети обмениваются друг с другом тетрадями. Учитель прикрепляет рисунок с фигурами на доске. Красным карандашом ученики исправляют неправильно начерченные линии, дорисовывают недостающие, убирают лишние.
4) Задания на развитие мышления.
Особое внимание при целенаправленной работе по развитию познавательных процессов у детей уделяется развитию основных характеристик мышления.
Задание 1. а) Чем отличаются значения величин, записанные слева, от значений величин, записанных справа:
б) До своей дачи Галина Васильевна едет 1ч. 50мин., что на 20мин. меньше, чем едет её сестра до своей. Сколько времени едет на дачу сестра?
В чем сходство и различие заданных задач и их решений?
Большое внимание уделяется содержательно-логическим заданиям, в которых нужно провести анализ заданной математической ситуации, подметить заложенные в ней закономерности, свойства, а затем использовать это для выполнения задания по поиску недостающего или лишнего элемента, по проведению обобщения, классификации и т. д.
Задание 2. Раскрась треугольник красным цветом, круг – зеленым, квадрат – желтым.
Изменяя цвет фигур, расположи их в таблице так, чтобы в строках и столбцах не было фигур, одинаковых по цвету и форме.
В 4 классе продолжается работа по решению нестандартных логических задач, предполагающих необходимость проводить рассуждения, рационально перебирать возможные варианты решений и т. д.
Задание 3. Из школы вышли 5 учеников – Витя, Галя, Толя, Лариса и Миша – и пошли друг за другом. Известно, что Толя идет впереди Миши, а Витя – позади Ларисы. Подпиши, кто идет первым, вторым, последним.
Так как в условии задачи сказано, что Витя идет позади Ларисы, то Лариса идет первой (за второй девочкой не идет никто), за ней – Витя, последней идет Галя.
При решении таких задач используется групповой метод обучения. Каждая группа обсуждает возможные варианты решения этой задачи, доказывает свою точку зрения. Затем идет выбор верного варианта решения.
Задания на развитие мышления могут быть и при знакомстве с новым материалом. Здесь используются необычные ситуации: поисковые, ситуации успеха, ситуации творчества. Так при знакомстве в 1 классе с понятием прямая линия вместе с Незнайкой рассказывается сказка. Попутно при этом дети выполняют задания вместе с точкой.
В стране Геометрия жила – была маленькая точка (учитель и дети ставят точку). Однажды точка подумала:
– Как мне хочется иметь много друзей!
Только вышла за калитку, а навстречу ей другая точка идет – зеленая. Говорит красная точка:
– А я иду искать друзей. Вставай со мной рядом и идем вместе путе-шествовать. (Ставят вторую точку).
Потом они встречают еще одну. Идут по дороге друзья – точки, и с каждым днем их становится все больше и больше.
А потом они выстроились в ряд плечом к плечу и получилась линия. Когда точки идут прямо – получается прямая линия, когда криво – кривая. (дети и учитель чертят линию).
Идут точки и поют:
Без конца и края линия прямая!
Хоть 100 лет по ней иди,
Не найдешь конца пути!
Задания на развитие мышления используются не только при знакомстве с новым материалом, при закреплении, но и в различных видах контроля. Часто проводятся тесты в интересной форме.
В мешочке круглые фишки с номерами. Ученик вытаскивает фишку, называет номер, учитель под этим номером читает описание свойств этой фигуры. Ученик должен ее назвать.
1 – Я – многоугольник. Имею 6 вершин, 6 сторон и 6 углов (шестиугольник).
2 – Я не многоугольник. Зато меня можно найти в тарелке, чашке, машине, на меня даже солнышко издали похоже (круг).
3 – Я – прямоугольник, у которого все стороны равны (квадрат).
4 – Я – замкнутая четырёхзвенная ломаная линия (четырехугольник).
Даже здесь дети могут попасть в «ловушку», за чем они зорко следят.
Иногда материал бывает очень сложным, возникают противоречие между его сложностью и возрастными особенностями младшего школьного возраста, между требованиями программы и недостаточным количеством времени, отведенного на прохождение курса «Математики», сложностью материала и перегрузкой учащихся. Вот и приходят здесь на помощь занимательность, наглядность, минутки отдыха.
Упражнение на мышечное расслабление.
«Роняем ручки», «Трясем кистями», Стряхиваем воду с пальцев», «Мельница», «Деревянные и тряпичные куклы».
Хлопай, Мишка, топай, Мишка!
Приседай со мной, братишка!
Руки вверх, вперед и вниз,
Улыбайся и садись!
Все приведенные задания существенно повышают уровень геометрических умений и навыков учащихся, развивают пространственные представления и воображение, графические и конструкторские навыки и умения во взаимосвязи с алгебраическим материалом.
Дети хорошо конструируют модели различных геометрических фигур, распознают и выделяют изученные фигуры на рисунках, составляют фигуры из отдельных частей и наоборот – происходит развитие творческих способностей учащихся на уроках.
Итак, задания способствуют на развитии познавательных процессов, которые являются основой творческих познавательных способностей детей как сенсорных (восприятие предметов и их внешних свойств), так и интеллектуальных, обеспечивающих продуктивное овладение и оперирование знаниями, их знаковыми системами, что будет содействовать качественным положительным изменениям в математическом образовании младших школьников.
1. , Кабанова и конструирование – моделирование. – 1990 – №9, с. 20.
2. Волкова курса математика и конструирование. // Начальная школа. – 1990 – №9, с. 16.
3. , Столярова познавательных способностей учащихся на уроках математики. // Начальная школа. – 1993 – №8, с. 29.
4. Жикалкина и занимательные задания по математике. 2 класс. – М., 1989.
5. , Шеврин по стране Геометрии. – М., 1994.
6. Крутецкий математических способностей школьников. – М., 1968.
7. Лейтес способности и возраст. – М., 1971.
8. Лубковска это сами. – М., 1983.
9. Мастерим из бумаги (оригами). / Под ред. . – Спб., 1997.
10. Сухомлинский отдаю детям. – К., 1988.
11. Эльконин обучения младшего школьника. – М., 1974.
Источник
