Способы задания функций предел функций

Способы задания функций

Существуют следующие способы задания функции y = f ( x ) :

1. Явный аналитический способ по формуле вида y = f ( x ) .
2. Интервальный.
3. Параметрический: x = x ( t ) , y = y ( t ) .
4. Неявный, как решение уравнения F ( x, y ) = 0 .
5. В виде ряда, составленного из известных функций.
6. Табличный.
7. Графический.

Явный аналитический способ задания функции

При явном способе, значение функции определяется по формуле, представляющем собой уравнение y = f ( x ) . В левой части этого уравнения стоит зависимая переменная y , а в правой – выражение, составленное из независимой переменной x , постоянных, известных функций и операций сложения, вычитания, умножения и деления. Известными функциями являются элементарные функции и специальные функции, значения которых можно вычислить, используя средства вычислительной техники.

Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y :
;
;
.

Интервальный способ задания функции

При интервальном способе задания функции, область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.

Вот несколько примеров интервального способа задания функции:

Параметрический способ задания функции

При параметрическом способе, вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)

Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t :

Преимущество параметрического способа заключается в том, что одну и ту же функцию можно задать бесконечным числом способов. Например, функцию можно задать так:

А можно и так:

Такая свобода выбора, в некоторых случаях, позволяет применять этот способ для решения уравнений (см. «Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных»). Суть применения заключается в том, что мы подставляем в уравнение вместо переменных x и y две функции и . Затем задаем одну из них по собственному усмотрению, чтобы из получившегося уравнения можно было определить другую.

Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
.
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
.

Уравнения (1) – это не единственный способ параметрического задания функции. Можно вводить не один, а несколько параметров, связав их дополнительными уравнениями. Например можно ввести два параметра и . Тогда задание функции будет выглядеть так:

Здесь появляется дополнительное уравнение , связывающее параметры. Если число параметров равно n , то должно быть n – 1 дополнительных уравнений.

Пример применения нескольких параметров изложен на странице «Дифференциальное уравнение Якоби». Там решение ищется в следующем виде:
(2) .
В результате получается система уравнений. Чтобы ее решить, вводят четвертый параметр t . После решения системы получается три уравнения, связывающие четыре параметра и .

Неявный способ задания функции

При неявном способе, значения функции определяется из решения уравнения .

Например, уравнение эллипса имеет вид:
(3) .
Это простое уравнение. Если мы рассматриваем только верхнюю часть эллипса, , то можно выразить переменную y как функцию от x явным способом:
(4) .
Но даже если можно свести (3) к явному способу задания функции (4), последней формулой не всегда удобно пользоваться. Например, чтобы найти производную , удобно дифференцировать уравнение (3), а не (4):
;
.

Задание функции рядом

Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда, составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.

Самым распространенным представлением является задание функции с помощью степенного ряда. При этом используется ряд функций:
.
Также применяется ряд и с отрицательными степенями:
.
Например, функция синус имеет следующее разложение:
(5) .
Подобные разложения широко применяются в вычислительной технике, поскольку они позволяют свести вычисления к арифметическим операциям.

В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
.
Подставляем в (5):

.

В математике, на ряду со степенными рядами, широко применяются разложения в тригонометрические ряды по функциям и , а также по другим специальным функциям. С помощью рядов можно производить приближенные вычисления интегралов, уравнений (дифференциальных, интегральных, в частных производных) и исследовать их решения.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции мы имеем таблицу, которая содержит значения независимой переменной x и соответствующие им значения зависимой переменной y . Независимая и зависимая переменные могут иметь разные обозначения, но мы здесь используем x и y . Чтобы определить значение функции при заданном значении x , мы по таблице, находим значение x , наиболее близкое к нашему. После этого определяем соответствующее значение зависимой переменной y .

Для более точного определения значения функции, мы считаем, что функция между двумя соседними значениями x линейна, то есть имеет следующий вид:
.
Здесь – значения функции, найденные из таблицы, при соответствующих им значениях аргументов .
Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти значение функции при . Из таблицы находим:
.
Тогда

.
Точное значение:
.
Из этого примера видно, что применение линейной аппроксимации привело к повышению точности в определении значения функции.

Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.

Графический способ задания функции

При графическом способе, значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат – зависимой.

Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных расчетах.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 18-04-2018

Источник

Курс лекций по теме «Функции, теория пределов и непрерывность функции»

«Функции и элементы теории пределов»

Конспект лекций по разделу курса высшей математики «Функции и элементы теории пределов» для студентов специальности «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)», «Документационное обеспечение управления и архивоведение», «Подземная разработка месторождений полезных ископаемых»

Методическое пособие содержит теоретический материал для самостоятельного изучения отдельных тем раздела, подробно разобраны примеры и рекомендации для выполнения практических индивидуальных заданий, может использоваться преподавателем для проведения лекционных занятий.

1. Функция, её свойства и график

Рассмотрим два множества значений действительных величин x и y . Предположим, что между ними существует какая-то зависимость. Из 2-х переменных одну (любую) принимают за независимую (аргумент), который обычно обозначают буквой х . Тогда другая переменная у будет зависеть от х . Символически характер зависимости между у и х обозначается одной из букв f , φ , ψ , F , Ф и др. и записывается в виде y = f ( x ) или F ( x , y ) = 0.

Под символом f , φ , ψ , . понимается последовательность определенных математических операций с переменной х , которые приводят к значениям у .

Определение. Закон (правило), по которому значению каждой переменной величине х из области ее определения соответствует определенное значение у , называется функцией.

Записывается это определение символически как y = f ( x ) или F ( x , y ) = 0.

Определение. Областью определения функции называется множество значений независимой переменной, для которых функция определена (имеет действительное значение).

Область определения функции обозначают D ( f ).

При нахождении области определения функции, заданной формулой y = f ( x ), нужно исходить из следующих соображений:

1. Если формула содержит радикалы четной степени, то функция будет определена только для тех значений x , при которых подкоренное выражение является неотрицательным;

2. Если формула имеет дробное выражение, то функция будет определена только для тех значений x , при которых знаменатели отличны от нуля.

3. Если формула содержит логарифмическую, показательную, тригонометрические или обратные тригонометрические функции, то область определения функции будет определяться областью определения указанных функций.

1. ;

Заданная функция у состоит из двух функций и .

Первая функция определена всюду (– ∞ , + ∞).

Вторая функция определена при условии 10 — х ≥ 0 или х ≤ 10, т.е. на интервале (– ∞, 10). D ( f ) = (– ∞, 10).

2. ;

3. ;

Решим двойное неравенство. Рассматривая левую часть неравенства, получим:

, или , , .

Рассматривая правую часть неравенства, получим:

Определение. Множество, состоящее из всех чисел y = f ( x ), где х принадлежит области определения функции f , называют областью значений функции f и обозначают E ( f ).

1.2. Способы задания функции.

Функция считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно указать соответствующее значение функции. Наиболее употребительные три способа задания функции:

а) Табличный способ общеизвестен (таблицы логарифмов, тригонометрических функций и т.д.). В табличном способе для заданных дискретных значений аргумента задаются числовые значения функции. В этом преимущество табличного способа задания функции перед другими;

б) графический способ состоит в изображении графика функции — множества точек ( х , у ) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента, а ординаты – соответствующие им значения функции y = f ( x );

в) аналитический способ, если функция задана формулой вида y = f ( x ). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , рассмотренная выше, задана аналитически.

Функция может быть задана в виде аналитического выражения, состоящего из 2-х или более формул, для каждой из которых задается ее область определения. Так, например, дана функция: имеет два аналитических выражения: х 2 (при х х + 3 (при х ≥ 0). Функция, заданная аналитическим способом, может быть представлена в явной и неявной форме.

Явная форма – функция задается в виде формулы, указывающей операции (и последовательность их выполнения), которые необходимо совершить над независимой переменной, в результате которых получается значение зависимой переменной. При явном способе задания функции зависимость функции от аргумента имеет вид y = f ( x ), например .

Под неявным заданием функции понимается задание в виде уравнения F ( x , y ) = 0. В этом случае зависимая переменная не разрешена относительно аргумента. Например, .

Аналитически функция может быть задана в параметрической форме.

При параметрическом задании функции соответствующие друг другу значения переменных х и у выражаются через третью величину, называемую параметром:

; .

Например, функция х = sin t , y = cos t задана в параметрической форме.

Для того, чтобы выразить зависимость у от х в явной или неявной форме, нужно исключить параметр t . Исключим параметр t в этом примере, для чего возведем в квадрат левую и правую части уравнений и сложим их:

,

х 2 + у 2 = 1. Полученное уравнение описывает окружность с центром в начале координат, радиусом R = l .

1.3. Основные свойства функций.

1.3.1. Четность и нечетность.

Функция y = f ( x ) называется четной, если:

а) область определения функции симметрична относительно точки О числовой оси (т.е. если точка х _о принадлежит области определения функции, то и точка – х _о также принадлежит области определения функции);

б) для любого значения независимой переменной, принадлежащей области определения функции, выполняется равенство:

Функция y = f ( x ) называется нечетной, если:

а) область определения функции симметрична относительно точки О числовой оси (т.е., если точка Х _о принадлежит области определения функции, то и точка – Х о также принадлежит области определения функции;

б) для любого значения независимой переменной, принадлежащего области определения функции, выполняется равенство:

График четной функции симметричен относительно ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если не выполняется ни одно из приведенных равенств, то функция не является не четной, ни нечетной, т.е. является функцией общего вида.

1. .

Нетрудно проверить, что функция удовлетворяет условию четности. Действительно, область определения функции симметрична относительно точки О и .

2. ; область определения функции D ( f ) = ( – ∞, 0) U (0, + ∞) симметрична относительно начала координат и .

3. Функция не является четной и не является нечетной, т.к. ее область определения не симметрична относительно точки О (в точке х =1 функция определена, а в точке х = –1 не определена).

4. Область определения функции

D ( f ) = (– ∞, 0) U (0, + ∞) симметрична относительно начала координат, но и, следовательно, f (- x ) ≠ f ( x ) и f (- x ) ≠ – f ( x ).

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция f ( x ) называется периодической, если она удовлетворяет условию:

где Т – период функции – наименьшее положительное число от прибавления (вычитания) которого к аргументу значение функции не меняется, k – целое число, отличное от нуля.

Все тригонометрические функции периодические.

Пусть функция y = f ( x ) определена в некотором интервале (а, в).

Функция называется возрастающей (убывающей) в промежутке (а, в), если большему значению аргумента х ₂ > х ₁ соответствует большее f ( x ₂ ) > f ( x ₁ ) (меньшее f ( x ₂ ) f ( x ₁ )) значение функции.

Если из неравенства х ₂ > х ₁ следует неравенство f ( x ₂ ) ≥ f ( x ₁ ), функция называется неубывающей.

Если из неравенства х ₂ > х ₁ следует неравенство f ( x ₂ ) ≤ f ( x ₁ ), функция называется невозрастающей.

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции называются монотонными.

1.3.4. Ограниченные функции.

Функция y = f ( x ) называется ограниченной сверху, если существует такое число М , что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство f ( x ) М , и ограниченной снизу, если существует такое число m , что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство f ( x ) > m . Функция, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной.

1.4. Понятие обратной функции.

Пусть имеются связанные между собой какой-то функциональной зависимостью две переменные х и у .

В этой зависимости с равным правом за аргумент можно принять как х , так и y .

В первом случае переменная у будет являться функцией х , y = f ( x ), во втором случае переменная х будет являться функцией у , х = φ ( у ).

Несмотря на то, что переменные поменялись местами, и уравнение y = f ( x ) и уравнение х = φ ( у ) выражают одну и ту же кривую, но в первом уравнении за ось аргумента принять ось ОХ , во втором уравнении – ось OY .

Если функцию y = f ( x ) назвать прямой, то х = φ ( у ) будет ей обратной и наоборот, если функцию х = φ ( у ) считать прямой, то y = f ( x ) будет ей обратной.

Таким образом, функции y = f ( x ) и х = φ ( у ) являются взаимообратными.

Например, уравнение у = 2 х + 3 и уравнение в системе осей OXY описывают одну и ту же прямую (рис.1.1).

Источник