Способы задания функций последовательностей

Функция. Способы задания функций.

Функция является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции: табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.

1. Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов, квадратных корней), основное его достоинство – возможность получения числового значения функции, недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.

Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х.

2. Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.

Например: для нахождения по графику у, которому соответствует х = 2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5. Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5, однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76, то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.

Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.

3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.

Функцию можно задать с помощью математической формулы y=x 2 , тогда если х равно 2, то у равно 4, возводим х в квадрат.

4. Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.

Словесно можно задать функцию (задачу), принимающуюся в виде натурального аргумента х с соответствующим значением суммы цифр, из которых состоит значение у. Поясняем: если х равно 4, то у равно 4, а если х равно 358, то у равен сумме 3 + 5 + 8, т. е 16. Далее аналогично.

5. Рекурсивный способ состоит в задании функции через саму себя, при этом значения функции определяются через другие ее же значения. Такой способ задания функции используется в задании множеств и рядов.

При разложении числа Эйлера задается функцией:

Ее сокращение приведено ниже:

При прямом расчёте возникает бесконечная рекурсия, но можно доказать, что значение f(n) при возрастании n стремится к единице (поэтому, несмотря на бесконечность ряда, значение числа Эйлера конечно). Для приближённого вычисления значения e достаточно искусственно ограничить глубину рекурсии некоторым наперёд заданным числом и по достижении его использовать вместо f(n) единицу.

Источник

Теоретический материал по теме: Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности.

Тема: Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности.

Цели: создание благоприятных условий для изучения понятия числовой последовательности; ввести определение предела последовательности и предела функции; познакомить с правилами вычисления пределов функции в точке и на бесконечности.

Определение№1: множество чисел, каждое из которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью.

Числовая последовательность представляет собой не что иное, как множество нумерованных чисел, упорядоченных наподобие натурального ряда, т.е. располагаемое в порядке возрастания номеров. Последовательность может содержать как конечное, так и бесконечное число членов.

Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной, а последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, — бесконечной последовательностью.

Иногда бесконечную числовую последовательность вводят, используя понятие функции:

Определение №2: Функцию у = f ( x ), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f ( n ), или у₁, у₂, у₃. у _n или у( n ).

Последовательности можно задавать различными способами, например, словесно, когда правило задавания последовательности описано словами, без указания формулы. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n -го члена.

Приведем три примера.

у _n = n 2 . Это аналитическое задание последовательности

Указав конкретное значение n , нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если. Например, n = 9, то у₉ = 9 2 = 81, если

у _n = С. Здесь речь идет о последовательности С, С, С, …., С, …. . Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

у _n = 2 n . Это аналитическое задание последовательности 2, 2 2 , 2 3 , ….,2 n , …

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n — й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (а _n), заданная рекуррентно соотношениями:

(а и d – заданные числа, d – разность арифметической прогрессии)

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность ( b _n )? Заданная рекуррентно соотношениями:

( b и q – заданные числа, b ≠0, q ≠ 0; q знаменатель геометрической прогресси прогрессии).

Пример: Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:у₁ =1; у₂ = 1; у _n = у _n _-2 + у _n _-1

Решение. n –й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов. Значит, последовательно получаем:

Последовательность (х _n ) называется ограниченной, если существуют такие два числа m и М, что для всех n N выполняется неравенство m ≤ х _n ≤М.

Последовательность (х _n ) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n N выполняется неравенство х _n ≤М.

Последовательность (х _n ) называется ограниченной снизу, если существует такое число m , что для всех n N выполняется неравенство m ≤ х _n

Например: последовательность (х _n ), заданная формулой общего члена х _n = n , ограничена снизу (например, число 0) и не ограничена сверху.

Последовательность (х _n ) называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х _n ₊₁ > х _n _.

Последовательность (х _n ) называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х _n ₊₁ n _.

Последовательность (х _n ) называется невозрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, не более предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х _n ₊₁ ≤ х _n _.

Последовательность (х _n ) называется неубывающей, если каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х _n ₊₁ ≥ х _n _.

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей.

Предел числовой последовательности.

Рассмотрим для числовые последовательности – (у _n) и ( x _n).

( x _n): 1,

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой.

0 1 3 5 7 9 11 у

Замечаем, что члены последовательности ( x _n) как бы «сгущаются» около точки 0 – говорят последовательность сходятся , а у последовательности (у _n) такой точки сгущения нет – и говорят, что последовательность расходится.

Математики не используют термин точка сгущения, а они говорят предел последовательности.

Определение: Число b называется пределом последовательности (у _n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут так: у _n→ b или читают так: предел последовательности у _n при стремлении n к бесконечности равен b .

На практике используется еще одно истолкование равенства , связанное с приближенными вычислениями: если последовательность у _n = f ( _n ) сходится к числу b , то выполняется приближенное равенство f ( _n )≈ b , причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n .

Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.

Достаточное условие сходимости последовательности.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. (теорема К.Вейерштрасса)

Свойства сходящихся последовательностей

Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Если , то последовательность у _n= q n расходится.

Теоремы о пределах последовательностей.

Если

Если , то

Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:

Предел суммы равен сумме пределов:

Предел произведения равен произведению пределов:

Предел частного равен частному пределов: , где с≠0.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Нахождение пределов последовательности:

Найти предел последовательности:

а) х _n = б) х _n = в)

Решение: а) применив правило «предел произведения», получим:

б) применим правило «предел суммы» и получим:

в) в подобных случаях применяют искусственный прием: делят числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n . В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n 2 . Имеем: (здесь мы применили правило «предел дроби»).

Пределы функций. Нахождение пределов функции в точке и на бесконечности.

Теория пределов позволяет определить характер поведения функции у = f ( x ) при заданном изменении аргумента.

Пусть функция f (х) определена в некоторой окрестности точки х =х ₀ , за исключением, быть может, самой точки х ₀ .

Число А называется пределом функции f (х) в точке х ₀ , если для любого числа >0 найдется такое положительное число , что для любого х х ₀ , удовлетворяющего неравенству | х — хо | , выполня ется соотношение | f ( x ) — А |

То, что функция f ( x ) в точке х ₀ имеет предел, равный А, обозна чают следующим образом:

Геометрически существование данного предела означает, что каково бы ни было >0, найдется такое число , что для всех х, заключенных между х ₀ + , и х ₀ — (кроме, быть может, самой точки х _с ), график функции у = f ( x ) лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А + и у = А- (рис.1)

Таким образом, понятие предела функции дает возможность от ветить на вопрос, к чему стремятся значения функции, когда значе ния аргумента стремятся к х ₀

Число А называют пределом функции f ( x ) при х, стремящимся к х ₀ , если разность f ( x ) — А по абсолютной величине есть величина бесконечно малая.

Практическое приложение темы «Предел функции в точке».

а) б) в) г) д);

2. Вычислите пределы следующих функций:

а)

б)

в).

3. Используя разложение на множители преобразовать дроби и вычислить предел функции в точке:

а) б) в) г) д)

е) ;

ж) ;

з).

4. Найти предел функции в точке, используя способ избавления знаменателя(числителя) от иррациональности (помножить на сопряженное выражение):
а) ; б) ; в) .