Способы задания функций дискретная

Функциональное отношение

Функциональное отношение в теории множеств — это такое бинарное отношение между двумя множествами, при котором каждому элементу первого множества может соответствовать не больше одного элемента второго множества.

Источник

Функция. Способы задания функций.

Функция является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции: табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.

1. Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов, квадратных корней), основное его достоинство – возможность получения числового значения функции, недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.

Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х.

2. Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.

Например: для нахождения по графику у, которому соответствует х = 2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5. Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5, однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76, то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.

Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.

3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.

Функцию можно задать с помощью математической формулы y=x 2 , тогда если х равно 2, то у равно 4, возводим х в квадрат.

4. Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.

Словесно можно задать функцию (задачу), принимающуюся в виде натурального аргумента х с соответствующим значением суммы цифр, из которых состоит значение у. Поясняем: если х равно 4, то у равно 4, а если х равно 358, то у равен сумме 3 + 5 + 8, т. е 16. Далее аналогично.

5. Рекурсивный способ состоит в задании функции через саму себя, при этом значения функции определяются через другие ее же значения. Такой способ задания функции используется в задании множеств и рядов.

При разложении числа Эйлера задается функцией:

Ее сокращение приведено ниже:

При прямом расчёте возникает бесконечная рекурсия, но можно доказать, что значение f(n) при возрастании n стремится к единице (поэтому, несмотря на бесконечность ряда, значение числа Эйлера конечно). Для приближённого вычисления значения e достаточно искусственно ограничить глубину рекурсии некоторым наперёд заданным числом и по достижении его использовать вместо f(n) единицу.

Источник

Дискретная математика — Функции

Функция назначает каждому элементу набора ровно один элемент связанного набора. Функции находят свое применение в различных областях, таких как представление вычислительной сложности алгоритмов, подсчет объектов, изучение последовательностей и строк и многое другое. Третья и последняя глава этой части освещает важные аспекты функций.

Функция — Определение

Функция или отображение (определенное как f : X r i g h t a r r o w Y ) представляет собой отношение элементов одного набора X к элементам другого набора Y (X и Y являются непустыми наборами). X называется Доменом, а Y — Кодоменом функции ‘f’.

Функция ‘f’ представляет собой отношение на X и Y такое, что для каждого x i n X существует единственный y i n Y , такой что ( x , y ) i n R . «x» называется предварительным изображением, а «y» — изображением функции f.

Функция может быть один к одному или много к одному, но не один ко многим.

Инъективная / индивидуальная функция

Функция f : A r i g h t a r r o w B является инъективной или взаимно-однозначной функцией, если для каждого b i n B существует не более одного a i n A , такого что f ( s ) = t ,

Это означает, что функция f инъективна, если из a 1 n e a 2 следует f ( a 1 ) n e f ( a 2 ) .

пример

f : N r i g h t a r r o w N , f ( x ) = 5 x инъективно.

f : N r i g h t a r r o w N , f ( x ) = x 2 инъективно.

f : R r i g h t a r r o w R , f ( x ) = x 2 не является инъективным, так как ( − x ) 2 = x 2

f : N r i g h t a r r o w N , f ( x ) = 5 x инъективно.

f : N r i g h t a r r o w N , f ( x ) = x 2 инъективно.

f : R r i g h t a r r o w R , f ( x ) = x 2 не является инъективным, так как ( − x ) 2 = x 2

Surctive / Onto function

Функция f : A r i g h t a r r o w B сюръективна (на), если образ f равен его диапазону. Эквивалентно, для каждого b i n B существует такой a i n A , что f ( a ) = b . Это означает, что для любого y в B существует такое x в A, что y = f ( x ) .

пример

f : N r i g h t a r r o w N , f ( x ) = x + 2 сюръективно.

f : R r i g h t a r r o w R , f ( x ) = x 2 не сюръективно, поскольку мы не можем найти вещественное число, квадрат которого отрицателен.

f : N r i g h t a r r o w N , f ( x ) = x + 2 сюръективно.

f : R r i g h t a r r o w R , f ( x ) = x 2 не сюръективно, поскольку мы не можем найти вещественное число, квадрат которого отрицателен.

Биектив / Один-на-один Корреспондент

Функция f : A r i g h t a r r o w B является биективной или взаимно-однозначной, если и только если f одновременно инъективна и сюръективна.

проблема

Докажите, что функция f : R r i g h t a r r o w R , определенная как f ( x ) = 2 x − 3 , является биективной функцией.

Источник