Способы задания двумерной случайной величины

Интегральная функция распределения задается формулой $F(x,y)=P(X\lt x, Y\lt y)$. Даже для самого простого закона распределения 2 на 2 функция занимает 5 строк, поэтому ее редко выписывают в явном виде.

Если для любой пары возможных значений $(X=x_i, Y=y_k)$ выполняется равенство

$$P(X=x_i, Y=y_k)=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_k),$$

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми.

Если случайные величины зависимы, для них можно выписать условные законы распределения (для независимых они совпадают с безусловными законами):

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

Далее вы найдете разные примеры задач с полным решением, где используются дискретные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 10%, а вследствие дефекта В — 20%. Годная продукция составляет 75%. Пусть X — индикатор дефекта А, a Y — индикатор дефекта В. Составить матрицу распределения двумерной случайной величины (X, Y). Найти одномерные ряды распределений составляющих X и У и исследовать их зависимость.

Задача 2. Два баскетболиста по два раза бросают мяч в корзину. При каждом броске вероятность попадания для первого баскетболиста 0,6, для второго – 0,7. Случайная величина X – число попаданий первым баскетболистом по кольцу. Случайная величина Y – суммарное число попаданий обоими баскетболистами. Построить таблицу распределения случайного вектора (X,Y). Найти характеристики вектора (X,Y). Зависимы или независимы случайные величины X и Y.

Задача 3. Слово РОССИЯ разрезано по буквам. Случайным образом вынимаем две буквы, тогда X – количество гласных среди них, затем вынимаем еще две буквы и Y – количество гласных во второй паре. Составить закон распределения системы случайных величин X, Y.

Задача 4. $X, Y$ — индикаторы событий $A, B$, означающий положительные ответы соответственно на вопросы $\alpha, \beta$ социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина $(X,Y)$ имеет следующую таблицу распределения.
Положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному – 0.
Найти коэффициент корреляции $\rho_$.

Задача 5. Составить закон распределения X — сумм очков и Y — числа тузов при выборе двух карт из колоды, содержащей только тузов, королей и дам (туз=11, дама=3, король=4)
Найти законы распределения величин Х и Y. Зависимы ли эти величины? Написать функцию распределения для (Х, Y). Построить ковариационный граф. Посчитать ковариацию (X,Y). Написать ковариационную матрицу. Посчитать корреляцию (X,Y) и написать корреляционную матрицу.

Задача 6. Бросаются две одинаковые игральные кости. Случайная величина X равна 1, если сумма выпавших чисел четна, и равна 0 в противном случае. Случайная величина Y равна 1, если произведение выпавших чисел четно, и 0 в противном случае. Описать закон распределения случайного вектора (X,Y). Найти D[X], D[Y] и cov[X,Y].

Задача 7. В урне лежат 100 шаров, из них 25 белых. Из урны последовательно вынимают два шара. Пусть $X_i$ – число белых шаров, появившихся при $i$-м вынимании. Найти коэффициент корреляции между величинами $X_1$ и $X_2$.

Задача 8. Для заданного закона распределения вероятностей двухмерной случайной величины (Х, Y):
Y\X 2 5
8 0,15 0,10
10 0,22 0,23
12 0,10 0,20
Найти коэффициент корреляции между величинами Х и Y.

Задача 9. Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y).
А) найти безусловные законы распределения составляющих;
Б) построить регрессию случайной величины Y на X;
В) построить регрессию случайной величины X на Y;
Г) найти коэффициент ковариации;
Д) найти коэффициент корреляции.
20 30 40 50 70
3 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01
4 0,04 0,3 0,06 0,03 0,01
5 0,02 0,03 0,06 0,07 0,05
9 0,05 0,03 0,04 0,02 0,03
10 0,03 0,02 0,01 0,01 0,02

Задача 10. Система (x, y) задана следующей двумерной таблицей распределения вероятностей. Определить:
А) безусловные законы распределения составляющих;
Б) условный закон распределения y при x=1;
В) условное математическое ожидание x при y=2.
Г) вероятность того, что случайная величина (x,y) будет принадлежать области $|x|+|y|\le 3$.
-3 0 2
-1 0 0,1 0,15
1 0,05 0,3 0,05
2 0,15 0,05 0,15

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Источник

Способы задания двумерной случайной величины

Пример 100. Найти , , , , , , / , / для функции плотности вероятности

= 1 — (- , Вопросы для самоконтроля

1. Какие способы задания двумерной случайной величины вы знаете?

2. Геометрический смысл интегральной функции распределения.

3. Как найти центр рассеивания двумерной случайной величины?

4. Свойства интегральной функции распределения.

5. Вычисление условных математических ожиданий на графе распределения.

6. Что называется линией регрессии?

7. Как находятся условные плотности распределения?

8. Как определить независимость составляющих двумерной случайной величины?

I 191. Найти закон распределения для числа белых и черных шаров при извлечении двух шаров из урны, содержащей один белый и два черных шара.

192. Составить закон распределения для сумм очков на «костях» из полного набора домино, взятых по модулю 4, и для их разностей по модулю 2.

193. Составить закон распределения для сумм очков на «костях» из полного набора домино, взятых по модулю 4, и для их абсолютных разностей.

194. Найти интегральную функцию распределения для числа «гербов» и «решек» при одном подбрасывании монеты.

195. Двумерная случайная величина задана дифференциальной функцией

196. Найти условные математического ожидания двумерной случайной величины, заданной законом распределения:

II 197. Найти линию регрессии на для двумерной случайной величины из предыдущего примера.

198. Двумерная случайная величина ( , ) имеет плотность вероятности

Найти: а) величину ; б) функцию распределения , ; в) вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми = 0, = 0, = 1, .

III 199. Плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины = cos cos в квадрате , ; вне квадрата = 0. Доказать, что составляющие и независимы.

200. Найти линию регрессии для двумерной дискретной случайной величины из примера 182 [перейти].

Источник

Двумерные случайные величины

Свойства функции распределения двумерной случайной величины.

1.Функция 0 ≤ F(x,y) ≤ 1, т.е. величина неотрицательная меньше 1.

2.Функция F(x,y) есть возрастающая функция по каждому из аргументов.

3.Функция распределения F(x,y) = 0, если хотя бы один из аргументов x или y стремится к минус бесконечности.

4.Функция F(x,y) равна функции от одного аргумента F(x) (F(y)), если y (x) стремится к бесконечности.

5. Функция F(x,y) равна 1, если оба аргумента стремятся к плюс бесконечности.

Геометрический смысл функции распределения есть поверхность на координатной плоскости Оxy.(Рис.2) Значение функции равно вероятности попадания случайной величины в область, рассчитанную по формуле:

Формула рассчета вероятности, состоящая из 4-х слагаемых, объясняется тем, что вероятность равна вероятности попадания случайной величины в бесконечный квадрант, исходящий из точки В, минус квадрант в точках А и С и плюс бесконечный квадрант в точке D, т.к. квадрант в точке D был вычтен дважды.

2.Плотность вероятности двумерной случайной величины.

Как известно, случайная величина имеет плотность вероятности, если она непрерывна. Говоря о случайных величинах, двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения является непрерывной функцией. И существует вторая смешанная производная F » xy (x,y), которая и является плотностью вероятности двумерной случайной величины.

Т.е. плотность вероятности это вторая смешанная производная от функции распределения двумерной случайной величины:

В общем виде плотность вероятности двумерной случайной величины выражается следующей формулой:

r — коэффициент корреляции случайных величин X и Y
σ x — среднее квадратическое отклонение случайной величины X
σ y — среднее квадратическое отклонение случайной величины Y
m x — математическое ожидание случайной величины X
m y — математическое ожидание случайной величины Y

Если случайные величины подчинены нормальному закону распределения и не коррелированы (r = 0 ), то формула плотности вероятности примет вид:

Геометрический смысл вероятности двумерной случайной величины — это поверхность похожая на купол. На рис.3 изображен график плотности вероятности с параметрами r, σ x , σ y , m x , m y , которые имеют следующие значения:

r = 0
σ x = 2
σ y = 2
m x = -1
m y = 1

Рассматривая выражения для плотности вероятности двумерной случайной величины, можно заметить, что данный закон распределения задается пятью параметрами: двух координат центра распределения случайных величин x и y по осям X и Y, средних квадратических отклонений σ x и σ y , и коэффициентом корреляции случайных величин x и y.

Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область D равна:

Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины имеет вид:

Пример 1

Двумерная случайная величина распределена равномерно в геометрической фигуре ограниченной осью Ox и параболой y = x² — 1 (рис.4). Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X,Y). Найти также плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y и вероятность того, что расстояние от точки (X,Y) до оси X будет не больше 3/4.

Источник

Двумерная непрерывная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю — двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(X\lt x, Y\lt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 \le X \le x_2, y_1 \le Y \le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы $$ f(x)= \left\< \begin C, \mbox < в треугольнике>O(0,0), A(4,0), B(4,1)\\ 0, \mbox < в остальных точках>\\ \end \right. $$ Найти:
$C, \rho_1(x), \rho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ — плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$ f(x,y)=c\sqrt, \quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0) $$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y): $$ F(x)= \left\< \begin 0, \mbox < при >x \le 0 \mbox < или >y\le 0\\ (1-e^<-2x>)(1-e^<-3y>), \mbox < при >x \gt 0 \mbox < и >y\gt 0\\ \end \right. $$ Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) $$f(x,y)=C e^<-x^2-2xy-4y^2>$$ Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 \sin(x+y)$ в квадрате $0 \le x \le \pi/2$, $0 \le y \le \pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 \le x \le \pi/2$, $0 \le y \le \pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=\sin x \sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна $$f(x,y) = c(R-\sqrt), \quad x^2+y^2 \lt R^2.$$ Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $a\lt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y $$f(x,y)=\frac<36+9x^2+4y^2+x^2y^2>.$$ Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_$.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Источник

Вам также может понравиться

Ясень семена способ распространения

Ясень обыкновенный Fraxinus excelsior – так в ботанической

Ярлыки способы создания ярлыков ос windows

Создаем ярлыки на рабочем столе Windows Создаем ярлыки

Японское удобрение фуджима способ применения

Удобрения Фуджима Знаете потрясающее удобрение, палочка

Японский чай способ заварки

Технология заваривания японского чая Известно, что

Главная > Учебные материалы > Математика: Двумерные случайные величины 1.Двумерная случайная величина. 2.Плотность вероятности двумерной случайной величины. 1.Двумерная случайная величина. Функция распределения одной случайной величины не может описать все многообразие природных и, в том числе, экономических процессов и явлений. Для описания этих процессов используются двумерные и многомерные случайные величины. В данной главе остановимся на двумерных случайных величинах. Двумерной случайной величиной называется функция вероятного события, наступившего в результате принятия величинами х и y случайных значений. X и Y случайные величины, которые могут быть как дискретными, так и непрерывными. Двумерную случайную величину можно интерпретировать как случайно взятую точку на плоскости Оxy, где x и y координаты этой точки.(Рис.1) Т.е. функция распределения F (x,y) есть вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке А(x,y), лежащей левее и ниже этой точки. Для дискретной случайной величины функция распределения имеет следующий вид: где вероятность суммируется для всех x i i Рис.1