Способы задания числовой последовательности графический способ

Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей

В математике, статистике и других науках часто приходится работать с последовательностями.

Последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Числовая последовательность — это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел, а областью значений — множество действительных чисел.

Последовательности бывают конечными и бесконечными.

Бесконечная последовательность — это функция, областью определения которой является множество всех натуральных чисел.

Конечная последовательность — это функция, областью определения которой является множество n первых натуральных чисел.

Числа, образующие последовательность, называются членами последовательности. Каждый из них имеет свой порядковый номер. Член последовательности, который стоит на n-м месте, называется n-ым членом последовательности a_n, где n — натуральное число.

Различают возрастающие и убывающие последовательности.

Возрастающая последовательность — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, больше предыдущего.

Нисходящая последовательность — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, меньше предыдущего.

Последовательности можно задавать различными способами:

1) Алгебраический способ — это способ задания последовательности с помощью формулы n-го члена.

2) Рекуррентный способ — это способ, при котором указывается первый или несколько первых членов последовательности и условие, по которому можно определить следующие члены последовательности, зная предыдущие.

3) Графический способ — это способ задания последовательности числовых прямых, диаграмм, графиков.

4) Способ задания последовательности перечнем ее членов в порядке их номеров.

5) Словесный способ — это описание последовательности и ее свойств с помощью слов.

Источник

9.3.1. Числовая последовательность

Функция a_n=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;. ) называется числовой последовательностью.

Числа a₁; a₂; a₃; a₄;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a₁=f (1); a₂=f (2); a₃=f (3); a₄=f (4);…

Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a₁; a₂; a₃; a₄;…, следовательно, a₁ — первый член последовательности;

a₂ — второй член последовательности;

a₃ — третий член последовательности;

a₄ — четвертый член последовательности и т.д.

Кратко числовую последовательность записывают так: a_n=f (n) или n>.

Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.

Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:

0; 5; 10; 15; 20; 25; .

Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; . . Задайте ее словесным способом.

Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.

2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: a_n=f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a_k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.

Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; . .

Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; . . Ответ: a_k=2k-1.

3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности n>,

Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности n>,

4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; . . Ординаты — значения членов последовательности: a₁; a₂; a₃; a₄;… .

Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.

Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a_n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .

Получаем: ( 1 ; -3), ( 2 ; 1), ( 3 ; 4), ( 4 ; 6), ( 5 ; 7).

Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).

Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.

Числовую последовательность называют возрастающей, если ее члены возрастают (a_n+1>a_n) и убывающей, если ее члены убывают (a_n+1n).

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными.

Источник

Разработка урока на тему «Способы задания и свойства числовых последовательностей

Урок по теме «Способы задания и свойства числовых последовательностей»

1 формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом;

2 формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, 3 умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также 4 умений находить саму формулу, задающую последовательность;

5 развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать.

1 Изучение нового материала

3 способы задания числовых последовательностей

5 Свойства числовых последовательностей

6 Решение примеров на свойста

9Подведение итогов урока

1 Изучение нового материала

Функции, область определения которых является множеством натуральных чисел или его частью, называются числовыми последовательностями .

числовой последовательностью является 1,3,5,7,9 .

Числа, записанные в последовательности, называются членами последовательности . Обычно их обозначают маленькими буквами, например, a 1 , a 2 , a 3 . a n . , где индекс 1,2,3,4 . n . после буквы a указывает на порядковый номер каждого члена последовательности.

Общий вид последовательности — это ( a n ) , или a 1 , a 2 , a 3 . a n .

a n называется общим членом последовательности, или n -м членом, где n — порядковый номер члена последовательности.

У натуральных чисел, считая от 1 , десятый член последовательности — это a 10 =10 .

Последовательность возможно задать, указав все её члены или указав общую формулу. Формула показывает, как найти любой член последовательности, если известен порядковый номер n .

в последовательности, где общая формула a n =3 n , написать a) первые четыре члена; b) двадцатый член.

a) Если n =1 , то вместо n в формулу подставляется 1 : a 1 =3 ⋅ 1=3 ;

b) Если n =20 , то вместо n в формулу подставляется 20 : a 20 =3 ⋅ 20=60 .

Числовая последовательность бесконечна, если вместо n можно подставлять любые другие натуральные числа (бесконечное множество).

1 Назвать первые несколько членов последовательности натуральных чисел, кратных 3, взятых в порядке возрастания. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и n-й члены.

Решение: 3; 6; 9; 12; … а ₁ = 3, а ₅ = 15, а ₁₀ = 30, а ₁₀₀ = 300, а _n = 3n

3 Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой n- го члена: х _n = 2n – 1.

3 способы задания числовых последовательностей :

когда правило последовательности описано словами, без указания формулы.

последовательность простых чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31.

— когда указана формула её n -го члена.

последовательность 1,4,9,16. n 2 .

Шаги решения: n =1,2,3.

y 1 =1 2 =1; y 2 =2 2 =4; y 3 =3 2 =9; y 4 =4 2 =16; y 5 =.

5,5,5. 5. ( C , C , C . C . ) .

y 1 =5; y 2 =5; y 3 =5; y 4=.

Последовательность y n = C называют постоянной , или стационарной;

— когда указывают правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

— Арифметическая прогрессия — ( a n ) , заданная рекуррентно соотношениями: a 1 = a , a n +1 = a n + d .

— Последовательность Фибоначч и — в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

a n +1 = a n + a n −1 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.

— график последовательности состоит из точек с абсциссами 1,2,3,4.

4 закрепление материала

1 Запиши первые пять членов последовательности, если общая формула последовательности: a n =0,8 n .

2 Найди три первые члена последовательности a n =(−1) 13 n +13 n и вычисли их сумму.

3 Дана последовательность, у которой a 1 =9 , a 2 =6 и a n =3 ⋅ a n −2 − a n −1 . Вычисли четвёртый член последовательности.

4Укажи номер члена последовательности y n =12− n 5 n +5 , равного 825 .

5 Свойства числовых последовательностей

1 Последовательность называется возрастающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n a n +1 .

2 Последовательность называется убывающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n > a n +1 .

3 Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

1. Последовательность, заданная формулой a n = nn +1 , является монотонной, возрастающей, т. к. разница a n +1 − a n = n +1 n +2− nn +1=1( n +1) ⋅ ( n +2)>0 .

то есть a n a n +1 .

2. Последовательность с общим членом a n =1+(−1) n не является монотонной, т. к. a 1 a 2 , a 2 > a 3 .

Последовательность называется ограниченной сверху , если существует такое число M ∈ R , что a n ≤ M . При этом число M называется верхней границей последовательности.

Последовательность называется ограниченной снизу , если существует такое число m ∈ R , что a n ≥ m . Число m называется нижней границей последовательности.

1. последовательность, заданная формулой a n = n (1,2,3. n . ) , ограничена снизу, но не ограничена сверху.

2. Последовательность, заданная формулой a n =(−1) n n ;(−1,2,−3,4. (−1) n n . ) , не ограничена ни сверху, ни снизу.

Последовательность называется ограниченной , если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

6 Решение примеров на свойства

1Начиная с какого номера все члены последовательности ( x n ) будут не меньше заданного числа A ?

x n =5 n −4 ; A =24 .

2 Использование свойств функции в вычислении членов последовательности

Найди наименьший член последовательности и укажи его номер:

y n =4 n 2 −19 n +9 .

3 Вычисление значения параметра р в ограниченной последовательности

При каких значениях параметра p последовательность y n =31 n + p 32 n −1 ограничена сверху числом 1 ?

(В ответе первым выбери знак неравенства, потом введи число.

Самостоятельная работа с выбором ответа

1 Дана последовательность : 2,3,5,8,13.

Найти Четырнадцатый член этой последовательности

Ответы А-25- Б 48 В-69 Г 81

2 Вычисли три последующих члена последовательности, если a 1 =3 и a n =2 ⋅ a n −1 +2 .

Ответы А-6- Б 8 В-13 Г 7

3 По заданной формуле n -го члена вычисли первые три члена последовательности ( y n ) . y n =3 n 2 −7 n

Ответы А [-7. -2 . 6 ] Б [ -5. -1 . 8 ] В [2. -3. 5 ] Г [-1.5. 3 ]

4 Является ли последовательность ограниченной?

Ответы А –да Б- нет

5 Выясни, какой является последовательность: возрастающей или убывающей?

В своих рассуждениях используй доказательство. Запиши, чему равна разность данных членов последовательности (сначала упрости выражение):

y n +1 − y n = n +− n 2 n +1 .

Запиши в виде формулы неравенство, подтверждающее или опровергающее характер монотонности:

Ответ А разность 54 убыв Б разность 72 возр

В разность64 возр Г разность95 убыв

Проверка ответов 1-Г 2- Б 3-, А 4-Б 5 В

1 Выясни , является ли заданная функция числовой последовательностью:

y = 3 x − 3 , x ∈ ( 0 ;+

2 Найди несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных пяти . Вычисли её шестой , девятый, двадцать первый, n -й члены

3 Докажи, что последовательность возрастает:

4 Последовательность задана рекуррентным способом. Вычисли формулу её n -го члена:

а) x 1 = 3 , x n = x n − 1 + 5 , если n = 2,3,4 .

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 795 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 278 человек из 70 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-804196

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр

Время чтения: 1 минута

Правительство предложило потратить до 1 млрд рублей на установку флагов РФ у школ

Время чтения: 1 минута

В 16 регионах ввели обязательную вакцинацию для студентов старше 18 лет

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник