Способы задания числовой последовательности аналитический

Содержание

Способы задания числовой последовательности
Числовые последовательности и способы их задания
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Способы задания числовой последовательности

Методические указания

Определение 1.Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y₁, y₂, y₃, . y_n, . или (y_n).

В данном случае независимая переменная – натуральное число.

Способы задания числовой последовательности

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

Пример 1.Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . .

Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, . .

Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, .

Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.

Пример 2.Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, . n 2 , . .

Пример 3. Стационарная последовательность: y = C; C, C, C, . C, .

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, . 5, . .

Пример 4. Последовательность y = 2 n ;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , . 2 n , . .

Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.

Пример 1. Арифметическая прогрессия: a₁=a, a_n₊₁=a_n+d, где a и d – заданные числа, d — разность арифметической прогрессии. Пусть a₁=5, d=0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; . .

Пример 2. Геометрическая прогрессия: b₁= b, b_n₊₁= b_nq, где b и q – заданные числа, b 0, q 0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b₁=23, q=½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; . .

Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y₁=1, y₂=1,y_n_-2+y_n_-1, если n=3, 4, 5, 6, . . Она будет иметь вид: 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . .

Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:

Пример 1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n):

а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2n+1.

б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4n.

Пример 2. Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=2, y_n = y_n_-2+y_n_-1, если n = 3, 4, 5, 6, . .

Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.

Пример 3. Последовательность (y_n) задана рекуррентно: y₁=1, y₂=2,y_n=5y_n_-1— 6y_n_-2. Задать эту последовательность аналитически.

Найдём несколько первых элементов последовательности.

Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; . которую можно представить в виде

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 . .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. .

Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2 n -1 .

Источник

Числовые последовательности и способы их задания

Числовые последовательности и способы их задания.

Определение 1. Функцию y = f ( x ), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f ( n ) или y ₁ , y ₂ , y ₃ , . y _n , . или ( y _n ).

В данном случае независимая переменная – натуральное число.

Способы задания числовой последовательности.

Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . .

Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, . .

Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . .

Любой n -й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2 n .

Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, . n 2 , . .

Пример 3. Стационарная последовательность: y = C ;

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, . 5, . .

Пример 4 . Последовательность y = 2 n ;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , . 2 n , . .

Указывается правило, позволяющее вычислить n -й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.

Пример 1 . Арифметическая прогрессия: a ₁ = a , a _n ₊₁ = a _n + d , где a и d – заданные числа, d — разность арифметической прогрессии. Пусть a ₁ =5, d =0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; . .

Пример 2. Геометрическая прогрессия: b ₁ = b , b _n ₊₁ = b _n q , где b и q – заданные числа, b 0, q 0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b ₁ =23, q =½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; . .

Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y ₁ =1, y ₂ =1, y _n _-2 + y _n _-1 , если n =3, 4, 5, 6, . . Она будет иметь вид:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . .

3.2. Закрепление нового материала. Решение задач.

Для закрепления знаний выбираются примеры в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Пример 1. Составить возможную формулу n -го элемента последовательности ( y _n ):

а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2 n +1.

Пример 2 . Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y ₁ =1, y ₂ =2, y _n = y _n _-2 + y _n _-1 , если n = 3, 4, 5, 6, . .

Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.

Пример 3. Последовательность ( y _n ) задана рекуррентно: y ₁ =1, y ₂ =2, y _n = 5 y _n _-1 — 6 y _n _-2 . Задать эту последовательность аналитически.

Найдём несколько первых элементов последовательности.

Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; . которую можно представить в виде

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 . .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. .

Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2 n -1 .

Пример 4. Дана последовательность y _n =24 n +36-5 n 2 .

а) Сколько в ней положительных членов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Данная числовая последовательность – это функция вида y = -5 x 2 +24 x +36, где x

а) Найдём значения функции, при которых -5 x 2 +24 x +36>0. Решим уравнение -5 x 2 +24 x +36=0.

D = b 2 -4 ac =1296, X ₁ =6, X ₂ =-1,2.

Уравнение оси симметрии параболы y = -5 x 2 +24 x +36 можно найти по формуле x =, получим: x =2,4.

Неравенство -5 x 2 +24 x +36>0 выполняется при -1,2 В этом интервале находится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значит в заданной последовательности пять положительных элементов последовательности.

б) Наибольший элемент последовательности определяется методом подбора и он равен y ₂ =64.

в) Наименьшего элемента нет.

1. Составьте возможную формулу n -го элемента последовательности ( y _n ), если последовательность имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12, . .

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y ₁ =1, y ₂ =3, y _n = y _n _-2 + y _n _-1 .

3. Найдите формулу n -го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,4 и разностью 0,9.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 3,5 и знаменателем —

5 . В арифметической прогрессии a ₅ = -150, a ₆ = -147. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.

6 . Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии

7. Дана последовательность y _n =12 n + 8 — 2,5 n 2 .

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Источник

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

ЧТО ИЗУЧАЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ?

Мы приступаем к изучению раздела математики, который обычно называют «Математический анализ». Это будет первое знакомство с серьезным разделом высшей математики. В основе математического анализа лежит идея движения, изменения процесса. Он предлагает набор некоторых стандартных математических моделей, с помощью которых можно описать различные процессы, разнообразные связи между меняющимися величинами, переменными.

1. Дискретная модель – последовательность.

2. Непрерывная модель – функция, заданная формулой.

3. Модель в форме зависимости – уравнение.

4. Интегральная модель – плотность.

Таким образом, математический анализ создает модели для описания различных процессов,

исследование которых требует применения наряду с известными методами и новых операций – дифференцирования и интегрирования.

ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Функция, область определения которой – множество натуральных чисел или множество первых n натуральных чисел, называется последовательностью.

Если последовательность определена на множестве всех натуральных чисел, то такую последовательность называют бесконечной, а если последовательность определена на множестве первых n натуральных чисел, то её называют конечной.

В общем виде числовая последовательность записывается в следующим образом: а₁, а₂, …а_n.

Значения последовательности а₁, а₂, …а_n, …называют ее членами. Обычно члены последовательности обозначают буквой с индексами. Последовательность иногда обозначают так: . Это означает, что задана последовательность с общим членом а_n. По данному общему члену всегда можно найти любой член последовательности.

СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, а поэтому некоторые свойства функций рассматриваются и для последовательностей.

Последовательность называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего.

Последовательность называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Последовательность <a_n> называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n ∈ N справедливо неравенство a_n ≤ М. Число М называется верхней границей последовательности<a_n>. Если последовательность ограничена сверху, то она имеет бесконечное количество верхних границ.

Последовательность<a_n> называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех n ∈ N справедливо неравенство a_n ≤ m. Число m называется нижней границей последовательности<a_n>.

Последовательность <a_n> называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху, то есть m ≤ a_n ≤ M (n ∈ N).

Последовательность, которая не будет ограниченной хотя бы снизу или хотя бы сверху, называется неограниченной.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: словесный, аналитический и рекуррентный.

Последовательность задана словесно, если правило задания последовательности описано словами, без указания каких-либо формул.

Говорят, что последовательность задана аналитически,еслиуказана формула ееn-го члена.

Например: 1) 2) 3) 4) 5)

В приведенных примерах, подставляя конкретное значение n в формулу, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером.

Рекуррентный способ задания числовой последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-ый член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

Реши самостоятельно: Запишите первые 10 членов последовательности, заданной различными способами:

а) ; б) ; в) ; г) ;