Для того, чтобы ввести разность векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Введем следующую теорему:
От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow$ и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $\overrightarrow$.
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».
Теорема доказана.
Вычитание векторов. Правило первое
Пусть нам даны векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$.
Готовые работы на аналогичную тему
Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.
Решение.
Рисунок 3. Разность двух векторов
По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что
Из определения 2, получаем, что
Вычитание векторов. Правило второе
Вспомним следующее необходимое нам понятие.
Вектор $\overrightarrow$ называется произвольным для вектора $\overrightarrow$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.
Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.
Доказательство.
По определению 2, имеем
Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow\right)$, получим
Так как векторы $\overrightarrow$ и $\left(-\overrightarrow\right)$ противоположны, то $\overrightarrow+\left(-\overrightarrow\right)=\overrightarrow<0>$. Имеем
а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим
Из первого правила разности двух векторов, получаем
б) Так как $\overrightarrow=\overrightarrow$, получим
По теореме 2, имеем
Используя правило треугольника, окончательно имеем
Источник
Сумма и разность векторов
В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.
Сумма векторов
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.
Геометрическая интерпретация:
Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .
Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.
Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.
Формула сложения векторов
Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .
Вычитание векторов — это арифметическое действие в геометрии, при котором из одного вектора отнимают другой.
Чтобы вычесть \(\overrightarrow b\) из \(\overrightarrow а\) , нужно найти такой \(\overrightarrow с\) , сложение которого с вектором \(\overrightarrow b\) составляло бы \(\overrightarrow а\) .
Таким образом, формула разности будет выглядеть так:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Если задан \(\overrightarrow а\) , то можно построить противоположный ему \(-\overrightarrow а\) , равный по длине, но противоположно направленный. Тогда происходит сведение двух противоположно направленных векторов к нулевому:
Как производится вычитание векторов по координатам
Если необходимо произвести вычитание векторов по координатам, то следует просто вычесть соответствующие точки. То есть если из \(\overrightarrow а\) отнимается \(\overrightarrow b\) , то из X1 отнимаем X2, из Y1 Y2 и из Z1 Z2.
Для того, чтобы найти значение разности векторов, можно использовать несколько способов.
Правило треугольника
Чтобы графически продемонстрировать разность, необходимо отложить от произвольной точки вектор \(\overrightarrow а\) , из его начала \(\overrightarrow b\) . Тогда вектор, начало которого совпадает с концом \( \overrightarrow b\) , а конец — с концом \(\overrightarrow a\) , и будет искомым вектором разности \(\overrightarrow a\;-\;\overrightarrow b\) . Проиллюстрируем это:
Правило параллелограмма
Если два неколлинеарных, то есть непараллельных вектора \(\overrightarrow а\) и \(\overrightarrow b\) имеют общее начало, то их разностью является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на \(\overrightarrow а\) и \(\overrightarrow b\) , причем начало этой диагонали совпадает с концом \(\overrightarrow b\) , а конец — с концом \(\overrightarrow а\) .
Если векторы \(\overrightarrow а\) и \(\overrightarrow b\) заданы в некотором промежутке:
то, чтобы найти координаты их разности \(\overrightarrow a\;-\;\overrightarrow b\) , необходимо от точек \(\overrightarrow a\) отнять соответствующие точки \(\overrightarrow b\) :
