Способы вычитание дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей

При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.

Прежде чем записать конечный ответ, проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь.

В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями записывают так:

Вычитание правильной дроби из единицы

Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.

Знаменатель вычитаемой дроби равен 7 , значит, единицу представляют как неправильную дробь

7

7

и вычитают по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа.

Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

В примере единицу мы заменили неправильной дробью

7

7

и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание смешанных чисел

При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.

Первый случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого (что вычитаем).

Второй случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей разные знаменатели.

В этом случае вначале нужно привести к общему знаменателю дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Третий случай вычитания смешанных чисел

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.

Сложим полученную неправильную дробь

18

18

и дробную часть уменьшаемого и получим:

Все рассмотренные случаи можно описать с помощью правил вычитания смешанных чисел.

• Привести дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю.
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то занимаем у целой части уменьшаемого единицу. Эту единицу превращаем в неправильную дробь с одинаковым числителем и знаменателем равными наименьшему общему знаменателю.
• Прибавляем полученную неправильную дробь к дробной части уменьшаемого.
• Вычитаем из целой части целую, а из дробной — дробную.
• Проверяем, нельзя ли сократить и выделить целую часть в конечной дроби.

Источник

Вычитание дробей. Вычитание дробей с разными знаменателями.

Следующее действие, которое можно выполнять с обычными дробями это вычитание. Вычитание дробей выполняется по нескольким правилам. Рассмотрим эти правила подробнее. Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями можно посмотреть нажав на ссылку.

Вычитание дробей с одинаковым знаменателем.

Рассмотрим, пока примеры в которых уменьшаемое больше вычитаемого.

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно посчитать разность числителя уменьшаемого и вычитаемого, а знаменатель оставить без изменения.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю, а потом применить правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Выполните вычитание дробей \(\frac<5><6>\) и \(\frac<1><2>\).

Общий знаменатель этих двух дробей latex]\frac<5><6>[/latex] и \(\frac<1><2>\) равен 6. Умножим вторую дробь \(\frac<1><2>\) на дополнительный множитель 3.

Дробь \(\frac<2><6>\) сократили и получили \(\frac<1><3>\).

Буквенная формула вычитания дробей с разными знаменателями.

Вопросы по теме:
Как вычитать дроби с разными знаменателями?
Ответе: нужно найти общий знаменатель и далее по правилу выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Как выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями?
Ответ: у числителей посчитать разность, а знаменатель оставить тот же.

Как правильно сделать проверку вычитания двух дробей?
Ответ: для проверки правильности вычитания дробей, нужно выполнить сложение вычитаемого и разности, результат их суммы будет равен вычитаемому.

Пример №1:
Выполните вычитание дробей: а) \(\frac<1><2>-\frac<1><2>\) б) \(\frac<10><19>-\frac<7><19>\)

При вычитание двух одинаковых дробей получаем нуль.

Пример №2:
Выполните вычитание и проверьте сложением: а) \(\frac<13><21>-\frac<3><7>\) б) \(\frac<2><3>-\frac<1><5>\)
Решение:

а)Найдем общий знаменатель дробей \(\frac<13><21>\) и \(\frac<3><7>\), он будет равен 21. Умножим вторую дробь \(\frac<3><7>\) на 3.

Выполним проверку вычитания:

б) Найдем общий знаменатель дробей \(\frac<2><3>\) и \(\frac<1><5>\), он будет равен 15. Умножим первую дробь \(\frac<2><3>\) на дополнительный множитель 5, вторую дробь \(\frac<1><5>\) на 3.

Источник

Как вычитать дроби с разными знаменателями

Что такое дробь? Какие бывают дроби

Дробь является одним из вариантов записи числа в математике.

• обыкновенная, как 1 2 или a b ;
• десятичная, например, 0 , 5 .

В простой записи дроби над чертой записывают делимое, то есть числитель. Под чертой расположен делитель, то есть знаменатель. Черта в дроби, разделяющая делитель и знаменатель, обозначает, что необходимо сделать, то есть выполнить деление.

В качестве примера можно рассмотреть следующее выражение:

В левой части равенства 7 является делимым, а 8 — делителем. В правой части уравнения записана дробь. Здесь 7 играет роль числителя, а 8 представляет собой знаменатель.

Основная классификация дробей:

1. Числовые дроби, в состав которых входят числа, к примеру, 5 9 , ( 1 , 5 — 0 , 2 ) 15 .
2. Алгебраические дроби, состоящие из переменных, например ( x + y ) ( x — y ) .

Значение алгебраических дробей определяется значением букв в выражении.

Правильная дробь — это дробь с числителем, который по значению меньше, чем знаменатель.

В качестве примеров правильных дробей можно привести следующие записи:

Неправильная дробь — это дробь с числителем, который больше, либо равен знаменателю.

Пример неправильной дроби:

Данное число является смешанным. Читать его необходимо таким образом: пять целых одна четвертая. Запись числа имеет следующий вид: 5 1 4 .

Использование свойств вычитания при вычитании дробей

1. В том случае, когда делитель дроби является нулем, такая дробь не имеет значения.
2. Дробь равна нулю при условии, что числитель обладает нулевым значением, а знаменатель не равен нулю.
3. Дроби a b и c d равны друг другу, если a × d = b × c .
4. В процессе деления или умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число получается равная ей дробь.

Определение 4

Вычитание является действием в арифметике, когда одно число отнимают от другого числа.

При вычитании справедливо использовать следующие свойства чисел:

• при вычитании суммы из числа из него допускается вычесть одно слагаемое, а затем результат уменьшить на значение второго слагаемого:

a — ( b + c ) = ( a — b ) — c ,

a — ( b + c ) = ( a — с ) — b .

• скобки в выражении ( ( a — b ) – c ) не имеют смыслового значения, допустимо исключить их из выражения:

( a — b ) — c = a — b — c .

• для вычитания числа из суммы необходимо воспользоваться рациональным способом решения, то есть вычесть его из одного слагаемого, а результат увеличить на значение оставшегося:

( a + b ) — c = ( a — c ) + b , если a > c или а = с ,

( a + b ) — c = ( b — c ) + a , если b > c или b = с .

• когда из числа, в том числе, отрицательного, вычитают нуль, получается то же самое число:

• при вычитании числа из аналогичного числа получается нуль:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании различных дробей с одинаковыми знаменателями требуется из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменений.

Таким образом, чтобы из одной дроби вычесть дробь с аналогичным знаменателем, необходимо вычитать числители, а одинаковые знаменатели оставить прежними. Используя буквы, можно представить наглядную запись этого правила:

a c — b c = a — b c

В качестве примеров можно решить следующие выражения:

7 9 — 5 9 = 7 — 5 9 = 2 9

15 17 — 3 17 = 15 — 3 17 = 12 17

27 35 — 11 35 = 27 — 11 35 = 16 35

48 63 — 25 63 = 48 — 25 63 = 23 63

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании смешанных дробей требуется выполнить отдельно вычитание их целых частей и отдельно вычитание их дробных частей.

В том случае, когда дробная часть уменьшаемого меньше, чем дробная часть вычитаемого, следует выполнить следующие действия:

• сначала нужно занять 1 у целой части;
• единицу необходимо представить, как дробь с числителем, равным знаменателю;
• выполнить сложение этой дроби и дробной части уменьшаемого.

Используя буквы, данное правило вычитания смешанных дробей можно записать с помощью формулы:

a m c — b n c = ( a — b ) + m — n c

a m c — b n c = ( a — 1 ) m + c c — b n c = ( a — 1 — b ) + m + c — n c

На нескольких примерах можно рассмотреть правило вычитания смешанных дробей:

8 4 5 — 2 3 5 = ( 8 — 2 ) + 4 — 3 5 = 6 1 5

Допустимо записать менее сложное решение:

8 4 5 — 2 3 5 = 6 4 — 3 5 = 6 1 5

5 2 7 — 1 6 7 = 4 2 + 7 7 — 1 6 7 = 4 9 7 — 1 6 7 = 3 9 — 6 7 = 3 3 7

15 2 9 — 6 4 9 = 14 2 + 9 9 — 6 4 9 = 14 11 9 — 6 4 9 = 8 11 — 4 9 = 8 7 9

17 3 23 — 2 10 23

17 3 23 — 2 10 23 = 16 3 + 23 23 — 2 10 23 = 16 26 23 — 2 10 23 = 14 26 — 10 23 = 14 16 23

54 2 27 — 20 9 27

54 2 27 — 20 9 27 = 53 2 + 27 27 — 20 9 27 = 53 29 27 — 20 9 27 = 33 29 — 9 27 = 33 20 27

Вычитание дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей, которые обладают разными знаменателями, выполняют путем приведения их к общему знаменателю и вычисления разности числителей.

Применение озвученного правила на практике можно рассмотреть на примере дробей, разность которых требуется определить:

В процессе решения задачи можно использовать следующий алгоритм:

1. В связи с тем, что знаменатели не одинаковые, нужно определить самое маленькое общее кратное ( Н О К ), чтобы найти единый делитель. Следует записать в колонку числа, составляющие в сумме значения делителей. Затем необходимо перемножить полученные значения и вычислить Н О К .

Н О К ( 9 , 15 ) = 3 × 3 × 5 = 45

1. На следующем этапе следует определить дополнительные множители. При этом Н О К нужно поделить на каждый из знаменателей.

1. Числа, которые были получены в результате действий, требуется умножить на соответствующие дроби:

2 9 = 2 × 5 9 × 5 = 10 45

1 15 = 1 × 3 15 × 3 = 3 45

1. В завершении алгоритма можно выполнить вычитание заданных чисел:

10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45

2 9 — 1 15 = 7 45

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

При вычитании натурального числа из обыкновенной дроби следует выполнить ряд действий:

• перевод натурального числа в дробь;
• перевод всех элементов выражения к единому знаменателю;
• определение разности.

Пример 6

Рассмотреть принцип вычитания натурального числа из обыкновенной дроби можно на примере:

83 21 — 3 1 = 83 21 — 63 21 = 20 21

В качестве альтернативного варианта решения этого примера можно записать 83 21 , как смешанную дробь. В процессе необходимо разделить делитель на делимое:

83 21 = 3 × 20 21

После вычитания получим:

3 × 20 21 – 3 = 20 21

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Уменьшить обыкновенную дробь на натуральное число можно путем перевода данного действия к вычитанию обыкновенных дробей. Принцип решения подобной задачи можно рассмотреть на конкретном примере:

В первую очередь следует записать натуральное число, как смешанное. Для этого нужно занять единицу и перевести ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:

3 — 6 7 = 2 × 7 7 — 6 7 = 2 × 1 7

Ответ прозвучит таким образом: две целых одна седьмая.

Как из единицы вычесть дробь

Если по условиям задачи из единицы нужно вычесть дробь, то в этом случае следует выполнить ряд последовательных действий:

1. Перевод единицы в дробь с числителем и знаменателем, которые будут равны знаменателю вычитаемого;
2. Вычитание дробей, которые обладают аналогичными знаменателями.

Используя буквы, можно записать алгоритм:

1 — a b = b b — a b = b — a b

1 — 3 8 = 8 8 — 5 8 = 8 — 5 8 = 3 8

Если найти сумму числителя разности и числителя вычитаемого, получится в результате знаменатель вычитаемого. Таким образом, при вычитании дроби из единицы итогом является дробь с числителем, который равен разности знаменателя и числителя вычитаемой дроби, а знаменатель — остается таким же. На основании этого заключения можно упростить вычитание дроби из единицы, то есть:

1 — 7 18 = 18 18 — 7 18 = 18 — 7 18 = 11 18

1 — 153 200 = 200 200 — 153 200 = 200 — 153 200 = 47 200

1 — 4 5 = 5 — 4 5 = 1 5

1 — 3 16 = 16 — 3 16 = 13 16

1 — 25 31 = 31 — 25 31 = 6 31

Сокращенная запись имеет вид:

1 — 21 50 = 29 50

Вычитание смешанного числа из целого числа

Операция вычитания из целого числа смешанного числа (смешанной дроби) выполняется по принципу, аналогичному вычитанию дроби из целого числа. При уменьшении целого числа на значение смешанного следует выполнить несколько действий:

1. Перевод целого числа в смешанную дробь. Нужно занять единицу у целой части и перевести ее в дробь с числителем и знаменателем, которые аналогичны знаменателю дробной части вычитаемого.
2. Вычитание смешанных чисел. Вычитание вычитаемого из уменьшаемого: отдельно — целые части, отдельно — дробные.

Используя буквы, можно записать правило вычитания смешанного числа из целого:

a — b m c = ( a — 1 ) c c — b m c = ( a — 1 — b ) c — m c

8 — 1 2 5 = 7 5 5 — 1 2 5 = 6 5 — 2 5 = 6 3 5

11 — 3 7 8 = 10 8 8 — 3 7 8 = 7 8 — 7 8 = 7 1 8

33 — 20 2 11 = 32 11 11 — 20 2 11 = 12 11 — 2 11 = 12 9 11

40 — 9 7 50 = 39 50 50 — 9 7 50 = 30 50 — 7 50 = 30 43 50

28 — 10 5 14 = 27 14 14 — 10 5 14 = 17 14 — 5 14 = 17 9 14

Вычитание смешанных чисел

Алгоритм действий при вычитании одного смешанного числа из другого:

1. Приведение дробных частей к самому маленькому единому знаменателю.
2. В том случае, когда дробная часть уменьшаемого меньше, чем дробная часть вычитаемого, следует перевести ее в вид неправильной дроби путем уменьшения на единицу целой части. При этом числитель уменьшаемого увеличивают на значение знаменателя.
3. Отдельно вычесть целые части и отдельно вычесть дробные части.
4. Выполнить проверку полученной дроби на возможность сокращения.

Пример 9

В первую очередь при вычитании смешанных чисел следует найти самый маленький единый знаменатель дробных частей:

12 на 9 не делится;

12∙2=24 на 9 не делится;

12∙3=36 на 9 делится.

Таким образом, минимальный единый знаменатель этих дробей соответствует 36. Для поиска дополнительного множителя к каждой из дробей необходимо новый знаменатель разделить на старый знаменатель. Отдельно следует вычитать целые части, отдельно — дробные. В итоге получится дробная часть, которая является правильной и несокращаемой. Можно сделать вывод о том, что ответ является окончательным.

7 1 \ 2 6 — 2 3 \ 3 4 = 5 2 — 9 12 = 4 2 + 12 — 9 12 = 4 5 12

Для вычитания смешанных чисел необходимо найти минимальный единый знаменатель для дробных частей:

6 на 4 не делится;

6∙2=12 на 4 делится.

Таким образом, 12 является минимальным единым знаменателем. Дробная часть уменьшаемого меньше по сравнению с дробной частью вычитаемого. Нужно позаимствовать единицу у целой части. В связи с тем, что знаменатель соответствует 12, единицу допустимо расписать, как 12 12 , то есть к числителю дробной части уменьшаемого следует прибавить знаменатель. Итоговым результатом будет дробная часть в виде правильной несократимой дроби.

10 — 3 4 7 = 9 7 7 — 3 4 7 = 6 3 7

В том случае, когда в процессе вычитания смешанных чисел в уменьшаемом нет дробной части, следует занять единицу у целой части. В связи с тем, что значение знаменателя вычитаемого соответствует 7, единицу можно представить в виде 7 7 . В результате получена дробь, которая является правильной и не подлежит сокращению.

3 7 \ 2 9 — 1 5 \ 1 18 = 2 14 — 5 18 = 2 9 18 = 2 1 2

Начать вычитание смешанных чисел целесообразно с определения минимального единого знаменателя. В связи с тем, что 18 делится на 9, то 18 является самым маленьким общим знаменателем. Дробь, которая получилась в результате, сокращается на 9.

Как перевести смешанную дробь в обыкновенную

Смешанная дробь обладает целыми числами:

В обычной дроби знаменатель больше, чем числитель:

В действительности невозможно перевести обычную дробь в смешанную дробь и наоборот.

Неправильная дробь, в которой числитель больше по сравнению со знаменателем, имеет вид:

Неправильную дробь можно записать в виде смешанной дроби. Возможен и обратный перевод.

К примеру, имеется некая неправильная дробь:

В результате деления 17 на 3 получится 5 с каким-то остатком. Выяснять значение остатка не обязательно, так как для последующих расчетов необходимо только целое число. Затем нужно 5 умножить на 3. Из 17 следует отнять полученный результат 15. В итоге получится 2, что позволит записать 2 3 . В результате получится 5 целых 2 3 :

Смешанная дробь может быть преобразована в неправильную дробь. Для этого следует выполнить действия в обратном порядке:

Источник