Способы вычисления поверхностных интегралов

Содержание

Поверхностные интегралы
Поверхностные интегралы первого рода.
Поверхностные интегралы второго рода.
Вычисление поверхностных интегралов: теория и примеры
Понятие поверхностного интеграла первого рода
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Понятие поверхностного интеграла второго рода
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Больше примеров на вычисление поверхностных интегралов

Поверхностные интегралы

Поверхностные интегралы первого рода.

Пусть $\Sigma$ — простая (почти простая) поверхность, заданная векторным уравнением $\boldsymbol = \boldsymbol(u, v)$, $(u, v) \in \Omega$. Пусть на поверхности $\Sigma$ определена непрерывная функция $F(x, y, z)$. Двойной интеграл (несобственный интеграл)
$$
\iint\limits_ <\Omega>F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) |[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|\ du\ dv\nonumber
$$
будем называть поверхностным интегралом первого рода от функции $F(x, y, z)$ по поверхности $\Sigma$ и обозначать символом $\displaystyle\iint\limits_ <\Sigma>F\ dS$. Таким образом, по определению
$$
\iint\limits_ <\Sigma>F\ dS = \iint\limits_ <\Omega>F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) |[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|\ du\ dv.\label
$$

Интеграл \eqref не зависит от выбора параметрического уравнения поверхности. Это доказывается так же, как и для интеграла, задающего площадь поверхности. Аддитивность интеграла \eqref относительно поверхности следует из аддитивности двойного интеграла по области интегрирования.

Если функция $F(x, y, z) \geq 0$, то ее можно интерпретировать как плотность материальной поверхности. В этом случае интеграл \eqref равен массе поверхности. В самом деле, произвольному разбиению области $\Omega$ на области $\Omega_$, $i = \overline<1, n>$, соответствует разбиение поверхности $\Sigma$ на простые поверхности $\Sigma_$, $i = \overline<1, n>$. Применяя интегральную теорему о среднем, получаем, что
$$
S(\Sigma_) = \iint\limits_<\Omega_> |[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|\ du\ dv = |[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|_ m(\Omega_).\nonumber
$$

Символ $|[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|_$ означает, что значение функции $|[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|$ вычислено в некоторой точке $(u_, v_) \in \Omega$. Масса поверхности приближенно равна следующей сумме:
$$
\sum_^ F(x_, y_, z_)S(\Sigma_) = \sum_^ F(x(u_, v_), y(u_, v_), z(u_, v_)) |[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|_ m(\Omega_).\nonumber
$$

Точное значение массы есть по определению предел этой суммы при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, то есть равняется интегралу \eqref.

Значение величины $|[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|$ определяется через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности. Подставляя это выражение в формулу \eqref, получаем следующее выражение для поверхностного интеграла первого рода:
$$
\iint\limits_ <\Sigma>F\ dS = \iint\limits_ <\Omega>F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt>\ du\ dv.\label
$$

Найдем положение центра тяжести однородной полусферы $x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= R^<2>$, $z \geq 0$.

$\vartriangle$ Без ограничения общности считаем, что плотность $\rho = 1$. Параметризуем полусферу
$$
x = R \cos \varphi \cos \psi,\ y = R \sin \varphi \cos \psi,\ z = \sin \psi,\ 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\ 0 \leq \psi \leq \frac<\pi><2>.\nonumber
$$

Мы уже вычисляли коэффициенты квадратичной формы для сферы и выяснили, что $\sqrt> = R^ <2>\cos \psi$. Масса полусферы равна числу
$$
M = \iint\limits_ <\Sigma>dS = \int\limits_<0>^ <2\pi>d\varphi \int\limits_<0>^ <\pi/2>\sqrt>\ d\psi = \int\limits_<0>^ <2\pi>d\varphi \int\limits_<0>^ <\pi/2>R^ <2>\cos \psi\ d\psi = 2\pi R^<2>.\nonumber
$$

Координата $z_$ центра тяжести есть
$$
z_ = \frac<1> \iint\limits_ <\Sigma>z\ dS = \frac<1><2\pi R^<2>> \int\limits_<0>^ <2\pi>d\varphi \int\limits_<0>^ <\pi/2>\sqrt>\ d\psi = \frac<1><2\pi R^<2>> \int\limits_<0>^ <2\pi>d\varphi \int\limits_<0>^ <\pi/2>R^ <3>\cos \psi \sin \psi\ d\psi = \frac<2>.\nonumber
$$

В силу симметрии полусферы $x_ = y_ = 0$. $\blacktriangle$

Для поверхности $\Sigma$, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции $z = f(x, y)$, $(x, y) \in \Omega$, формула \eqref принимает следующий вид:
$$
\iint\limits_ <\Sigma>F\ dS = \iint\limits_ <\Omega>F(x, y, z(x, y)) \sqrt<1 + z_^ <2>+ z_^<2>>\ dx\ dy.\label
$$

Для функции $F(x, y, z)$, непрерывной на кусочно гладкой поверхности $\Sigma$, поверхностный интеграл определяется как сумма поверхностных интегралов по всем гладким кускам.

Вычислить поверхностный интеграл
$$
\iint\limits_ <\Sigma>\frac<(1 + x + y)^<2>> = I\label
$$
по кусочно гладкой поверхности $\Sigma$, являющейся границей симплекса $T = \<(x, y, z): x \geq 0,\ y \geq 0,\ z \geq 0,\ x + y + z \leq 1\>$.

$\vartriangle$ Граница $\Sigma$ симплекса $T$ состоит из четырех треугольных граней: грань $D_<1>$ лежит в плоскости $z = 0$, грань $D_<2>$ лежит в плоскости $y = 0$, грань $D_<3>$ лежит в плоскости $x = 0$, а грань $D_<4>$ — в плоскости $x + y + z = 1$. Обозначим поверхностные интегралы по соответствующим граням через $I_<1>$, $I_<2>$, $I_<3>$ и $I_<4>$.

Воспользовавшись формулой \eqref, получаем
$$
I_ <1>= \iint\limits_> \frac<(1 + x + y)^<2>> = \int\limits_<0>^ <1>dx \int\limits_<0>^ <1-x>\frac<(1 + x + y)^<2>> = \int\limits_<0>^ <1>\left(\frac<1><1 + x>-\frac<1><2>\right)\ dx = \ln 2-\frac<1><2>.\nonumber
$$

В силу симметрии подынтегрального выражения в формуле \eqref относительно $x$ и $y$ получаем, что
$$
I_ <2>= I_ <3>= \iint\limits_> \frac<(1 + y)^<2>> = \int\limits_<0>^ <1>\frac<(1 + y)^<2>> \int\limits_<0>^ <1-y>dz = \int\limits_<0>^ <1>\frac<(1-y)\ dy><(1 + y)^<2>> = 1-\ln 2.\nonumber
$$

Уравнение грани $D_<4>$ можно записать в виде $z = 1-x-y$, $(x, y) \in D_<1>$. Применяя формулу \eqref, получаем
$$
I_ <4>= \iint\limits_> \frac<(1 + x + y)^<2>> = \iint\limits_> \frac<\sqrt<3>dS><(1 + x + y)^<2>> = \sqrt<3>I_<1>.\nonumber
$$

Складывая интегралы, находим значение интеграла \eqref:
$$
I = I_ <1>+ I_ <2>+ I_ <3>+ I_ <4>= (1 + \sqrt<3>)I_ <1>+ 2I_ <2>= (1 + \sqrt<3>)\left(\ln 2-\frac<1><2>\right) + 2(1-\ln 2).\ \blacktriangle\nonumber
$$

Читайте также: Способы выращивания столовой свеклы
Поверхностные интегралы второго рода.

Ориентируем поверхность $\Sigma$ единичными нормалями
$$
\boldsymbol = \frac<\boldsymbol><|\boldsymbol|>,\ \boldsymbol = [\boldsymbol_, \boldsymbol_].\label
$$

Противоположная ориентация поверхности $\Sigma$ возникает при замене в формуле \eqref вектора $\boldsymbol$ на вектор $\boldsymbol<-N>$. Заметим еще, что для простой поверхности $|\boldsymbol| \neq 0$.

Подчеркнем то обстоятельство, что при изменении ориентации на противоположную интеграл \eqref меняет знак. Интеграл \eqref называют также поверхностным интегралом второго рода.

При выводе формулы \eqref была использована формула \eqref.

При выводе формулы \eqref было применено разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки; определители второго порядка записаны через соответствующие якобианы.

Формула \eqref, несмотря на ее громоздкий вид, удобна для запоминания. При переходе от левой части к правой нужно произвести следующие замены символов:
$$
dy\ dz \rightarrow \frac<\partial (y, z)><\partial (u, v)>,\quad dz\ dx \rightarrow \frac<\partial (z, x)><\partial (u, v)>\ du\ dv,\quad dx\ dy \rightarrow \frac<\partial (x, y)><\partial (u, v)>\ du\ dv,\nonumber
$$
но при этом важно помнить, что левую часть нужно записывать в том виде, как в формуле \eqref, не допуская в символах типа $dx\ dy$ перестановок. В левой части формулы \eqref достаточно запомнить написание слагаемого $R\ dx\ dy$, так как остальные слагаемые получаются при помощи круговой перестановки символов.
$$
R\rightarrow P \rightarrow Q \rightarrow R,\qquad dx\rightarrow dy\rightarrow dz\rightarrow dx.\nonumber
$$

Полагая в формуле \eqref $P = Q = 0$, получаем
$$
\iint\limits_ <\Sigma>R\ dx\ dy = \iint\limits_ <\Omega>R(x(u, v),\ y(u, v),\ z(u, v)) \frac<\partial (x, y)><\partial (u, v)>\ du\ dv.\label
$$

Особенно просто вычисляется поверхностный интеграл \eqref, если поверхность $\Sigma$ задается как график непрерывно дифференцируемой функции $z = f(x, y)$, $(x, y) \in \Omega$. В этом случае
$$
\iint\limits_ <\Sigma>R\ dx\ dy = \iint\limits_ <\Omega>R(x, y, f(x, y))\ dx\ dy.\label
$$

Ясно, что в формуле \eqref выбрана такая ориентация поверхности $\Sigma$, при которой нормаль $\boldsymbol$ составляет острый угол с осью $Oz$, так как
$$
\boldsymbol = (-f_, -f_, 1),\ \cos \widehat<\boldsymbol> = \frac<1><\sqrt<1 + f_^ <2>+ f_^<2>>> > 0.\nonumber
$$

Заметим, что формула \eqref может иметь смысл и в том случае, когда частные производные $f_(x, y)$ и $f_(x, y)$ не определены на $\Omega$. В этом случае будем под поверхностным интегралом $\iint\limits_ <\Sigma>R\ dx\ dy$ понимать двойной интеграл в правой части формулы \eqref.

Вычислить поверхностный интеграл
$$
\iint\limits_ <\Sigma>z^<2>\ dx\ dy\nonumber
$$
по внешней стороне полусферы $x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= 1$, $z \geq 0$ (внешняя сторона определяется нормалями, направленными от центра).

$\vartriangle$ Полусферу $\Sigma$ можно задать как график функции $z = \sqrt<1-x^<2>-y^<2>>$, $(x, y) \in \Omega$, $\Omega = \ <(x, y): x^<2>+ y^ <2>\leq 1\>$ (рис. 54.2). Внешняя сторона полусферы в данном случае определяется нормалями, составляющими острый угол с осью $Oz$. Воспользовавшись формулой \eqref, получаем
$$
\iint\limits_ <\Sigma>z^<2>\ dx\ dy = \iint\limits_ <\Omega>(1-x^<2>-y^<2>)\ dx\ dy = \int\limits_<0>^ <2\pi>d\varphi \int\limits_<0>^ <1>(1-r^<2>)r\ dr = 2\pi \left(\frac<1><2>-\frac<1><4>\right) = \frac<\pi><2>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Вычислить поверхностный интеграл
$$
\iint\limits_ <\Sigma>z\ dx\ dy
$$
по внешней стороне конической поверхности $z^ <2>= x^ <2>+ y^<2>$, $0 \leq z \leq 1$, считая, что внешняя сторона определяется нормалями, составляющими с осью $Oz$ тупой угол (рис. 54.3).

Рис. 54.3

$\vartriangle$ Уравнение поверхности $\Sigma$ можно задать в виде
$$
z = \sqrt + y^<2>>,\ (x, y) \in \Omega,\ \Omega = \<(x, y): 0 Пример 5.

$\vartriangle$ Поверхность конуса можно параметризовать следующим образом:
$$
\begin
\boldsymbol = r \cos \varphi\ \boldsymbol + r \sin \varphi\ \boldsymbol + r\ \boldsymbol,\quad (r, \varphi) \in \Omega,\\
\Omega = \<(r, \varphi): 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \varphi \leq 2\pi\>.
\end\label
$$

Заметим еще, что при параметризации \eqref для проекции вектора нормали $\boldsymbol$ на ось $Oz$ справедливо неравенство
$$
N_ = \frac<\partial(x, y)> <\partial(r, \varphi)>= \begin\cos \varphi&\sin \varphi\\-r \sin \varphi&r \cos \varphi\end = r > 0.\nonumber
$$

Поэтому вектор нормали $\boldsymbol = \boldsymbol/|\boldsymbol|$ составляет с осью $Oz$ острый угол и вектор $\boldsymbol$ определяет внутреннюю сторону конической поверхности. $\blacktriangle$

Поток через кусочно гладкую ориентированную поверхность равен по определению сумме потоков через все гладкие куски.

Вычислить поверхностный интеграл
$$
J = \iint\limits_ <\Sigma>xy\ dx\ dy\nonumber
$$
через внешнюю сторону поверхности $\Sigma$, являющейся границей симплекса $T = \<(x, y, z): x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1\>$ (см. рис. 54.1).

$\vartriangle$ Как и в примере 2, обозначим через $J_<1>$, $J_<2>$, $J_<3>$, $J_<4>$ соответствующие поверхностные интегралы по граням симплекса. Получаем
$$
J_ <1>= \iint\limits_> xy\ dx\ dy = -\int\limits_<0>^ <1>dx \int\limits_<0>^ xy\ dy = -\frac<1><8>,\nonumber
$$
$$
J_ <2>= \iint\limits_> xy\ dx\ dy = 0,\nonumber
$$
$$
J_ <3>= \iint\limits_> xy\ dx\ dy = 0,\nonumber
$$
$$
J_ <4>= \iint\limits_> xy\ dx\ dy = \int\limits_<0>^ <1>dx \int\limits_<0>^ xy\ dy = \frac<1><8>.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
J = J_ <1>+ J_ <2>+ J_ <3>+ J_ <4>= 0.\nonumber
$$

При вычислении поверхностных интегралов было использовано то обстоятельство, что внешняя нормаль к грани составляет тупой угол с осью $Oz$, а поэтому поток через эту грань равен двойному интегралу по плоской области $D_<1>$, взятому со знаком минус. На грани $D_<4>$ внешняя нормаль составляет с осью $Oz$ острый угол, и поток равен соответствующему двойному интегралу, взятому со знаком плюс. $\blacktriangle$

Читайте также: Простые способы избавиться от комаров
Источник

Вычисление поверхностных интегралов: теория и примеры

Понятие поверхностного интеграла первого рода

Поверхностный интеграл — обобщение понятия криволинейного интеграла на случаи, когда интегрирование происходит не по отрезку кривой, а по ограниченной поверхности. Как и криволинейные интегралы, поверхностные интегралы бывают первого рода и второго рода.

Поверхностный интеграл первого рода записывается в виде

,

где f(M) = f(x,y,z) – функция трёх переменных, а поверхность σ — область интегрирования этой функции. Если f(x,y,z) равна единице, то поверхностный интеграл равен площади поверхности.

Представьте себе довольно большой подсолнух с очень-очень маленькими семечками. Тогда по сумме поверхностей очень-очень маленьких семечек, расположенных на поверхности подсолнуха, можно вычислить поверхность подсолнуха — таким может быть упрощённое толкование поверхностного интеграла. Почему так?

Давайте перейдём к более формальному определению поверхностного интеграла. Поверхность σ разбита на n частей с площадями Δσ 1 , Δσ 2 , . Δσ n . Если выбрать на каждой частичной поверхности (семечке) произвольную точку M i с координатами (ζ i , η i , ς i ,) , то можно составить сумму

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности σ . Теперь будем максимально увеличивать число таких маленьких частей, а наибольший диаметр Δσ i — наоборот, уменьшать. Если интегральная сумма при стремлении наибольшего из диаметров частей к нулю (то есть, как мы уже отмечали, все части очень маленькие) имеет предел, то этот предел и называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверхности σ .

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сводением к двойному интегралу.

Пусть поверхность σ задана уравнением z = z(x, y) , её проекцией на плоскость xOy является область D xy , при этом функция z = z(x, y) и её частные производные и непрерывны в области D xy .

Это и есть формула, выражающая поверхностный интеграл первого рода через двойной интеграл по проекции поверхности σ на плоскость xOy.

Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где σ — часть плоскости в первом октанте.

Из уравнения плоскости получаем выражение «зет»: .

Тогда частные производные: , и

.

Поверхность σ является изображённым на чертеже треугольником ABC , а его проекцией на плоскость xOy — треугольником AOB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 и 3x + y = 6 . От поверхностного интеграла перейдём к двойному интегралу и решим его:

.

Понятие поверхностного интеграла второго рода

Прежде чем перейти к определению поверхностного интеграла второго рода, требуется познакомиться с понятиями стороны поверхностей и ориентированных поверхностей.

Пусть в пространстве дана гладкая поверхность σ. На этой поверхности выберем произвольную точку M и проведём через неё вектор нормали к поверхности. Через точку M проведём также на поверхности σ произвольный контур, не имеющий общих точек с границей поверхности σ. Точку M вместе с вектором нормали будем перемещать по контуру так, чтобы вектор нормали постоянно был перпендикулярен поверхности σ. По возвращении точки M в начальное положение возможны два случая: направление вектора нормали сохранится или же поменяется на противоположное.

Если направление вектора нормали не поменяется, то поверхность σ называется двусторонней. Если же при обходе контура направление вектора нормали поменяется на противоположное, то поверхность называется односторонней. Двусторонние поверхности называются ориентированными поверхностями, односторонние — неориентированными поверхностями.

Пример односторонней поверхности — лист Мёбиуса (на рисунке выше), который можно сделать из полоски бумаги, одна сторона которой повёрнута на 180 градусов, и затем концы склеены. И вот что здесь важно: для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.

Так что будем рассматривать только двусторонние поверхности. Примеры двусторонних поверхностей — плоскости, сфера, эллипсоил, параболоид.

Положительную сторону двустороней поверхности определяет направление вектора нормали. Противоположная сторона поверхности называется отрицательной. Положительной стороной поверхности называется её верхняя сторона. Если единичные векторы нормали составляют острые углы с осью Oz, то выбрана верхняя сторона поверхности z = z(x, y) , если углы тупые, то нижняя сторона поверхности.

Как и в случае поверхностного интеграла первого рода, поверхность можно разбить на n частей. При формулировке понятия поверхностного интеграла первого рода в интегральной сумме присутствовали площади каждой из частей, на которые умножаются значения функции f(M i ) . В случае поверхностного интеграла второго рода берутся площади не самих частей, а площади их проекций на координатные плоскости. А функцию трёх переменных для отличия от интеграла первого рода обозначим R(x,y,z) . Тогда интегральная сумма запишется так:

,

где Δs i — площади упомянутых проекций частей стороны поверхности на координатную ось (пока будем считать, что на ось xOy).

При таких соглашениях и обозначениях определение поверхностного интеграла второго рода аналогично определению интеграла первого рода. А именно: поверхностным интегралом второго рода называется предел данной интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей рассматриваемой поверхности.

Записывается он так:

.

В данном случае функция R(x,y,z) интегрируема по переменным x и y, так как части поверхности проецировались на плоскость xOy.

Аналогично можно записать и два других поверхностных интеграла второго рода:

Читайте также: Основные способы разливки стали

(функция P(x,y,z) интегрируема по переменным y и z, так как части поверхности проецируются на плоскость yOz),

(функция Q(x,y,z) интегрируема по переменным z и x, так как части поверхности проецируются на плоскость zOx).

Сумма этих интегралов

называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Поверхностный интеграл второго рода вычисляется путём разложения общего поверхностного интеграла второго рода на сумму поверхностных интегралов (см. окончание предыдущего параграфа) и сведением каждого из них к двойному интегралу.

Рассмотрим подробно вычисление интеграла

.

Пусть поверхность σ задана уравнением z = z(x, y) . Положительную сторону поверхности обозначим , отрицателную , а проекцию на плоскость xOy — D xy .

Таким образом, получаем формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода:

.

Если выбрана отрицательная сторона поверхности, то знак интеграла меняется:

.

Аналогично вычисляются два других отдельных интеграла — слагаемых общего:

,

.

Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ — верхняя сторона части плоскости , отсечённая плоскостями y = 0 и y = 4 и находящаяся в первом октанте.

Решение. Чертёж — на рисунке сверху. По определению получаем сумму трёх двойных интегралов:

Второй интеграл равен нулю, так как плоскость σ параллельна оси Oy . Поэтому найдём первый и третий интегралы:

Остаётся лишь сложить все отдельные интегралы и получить общий поверхностный интеграл второго рода:

.

Если требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности, можно перейти к тройному интегралу, используя формулу Остроградского. Тогда, если функции P(x,y,z) , Q(x,y,z) и R(x,y,z) и их частные производные , , — непрерывные функции в области W , которую ограничивает замкнутая поверхность σ , то при интегрировании по внешней стороне поверхности в силе равенство

Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ — внешняя сторона поверхности конуса, образованного поверхностью и плоскостью z = 2 .

Решение. Данная поверхность является поверхностью конуса с радиусом R = 2 и высотой h = 2 . Это замкнутая поверхность, поэтому можно использовать формулу Остроградского. Так как P = 3x , Q = 4y , R = −z , то частные производные , , .

Переходим к тройному интегралу, который и решаем:

Больше примеров на вычисление поверхностных интегралов

Пример 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

,

где σ — боковая поверхность конуса при .

Решение. Так как частные производные , , то

Сводим данный поверхностный интеграл к двойному:

.

Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг с центром в начале координат и радиусом R = 2 , поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:

Получаем следующий интеграл, который окончательно и решаем:

Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ — верхняя часть треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями.

Решение. Данный поверхностный интеграл разделим на сумму двух интегралов

, где

,

.

Чтобы вычислить интеграл I 1 , построим проекцию поверхности σ на плоскость yOz. Проекцией является треугольник OCB , который на плоскости yOz ограничивают прямые или , y = 0 и z = 0 . Из уравнения плоскости выводится . Поэтому можем вычислить интеграл I 1 :

Чтобы вычислить интеграл I 2 , построим проекцию поверхности σ на плоскость zOx. Проекцией является треугольник AOC , который ограничивают прямые или , x = 0 и z = 0 . Вычисляем:

Складываем два полученных интеграла и окончательно получаем данный поверхностный интеграл:

.

Пример 6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ — внешняя поверхность пирамиды, образованной плоскостью и координатными плоскостями.

Решение. Данный поверхностный интеграл вычислим двумя способами

1) интегрируя по каждой грани пирамиды;

2) используя формулу Остроградского.

1) Вычисление интегрированием по каждой грани пирамиды.

а) Вычислим интеграл по треугольнику ABC . Для этого разделим интеграл на сумму трёх интегралов, которые отдельно решим:

;

Складываем и получаем:

.

б) Вычислим поверхностный интеграл по треугольнику AOB , который находится в плоскости z = 0 . Тогда dz = 0 и, учитывая, что нормальный вектор плоскости образует с осью Oz тупой угол, получаем

в) Треугольник AOC находится в плоскости y = 0 , таким образом, dy = 0 и (нормальный вектор плоскости образует с осью Oy тупой угол) получаем

г) Осталось вычислить поверхностный интеграл по треугольнику CBO находится в плоскости x = 0 , таким образом, dx = 0 и получаем

.

В результате получаем данный поверхностный интеграл второго рода:

.

2) Используя формулу Остроградского, от поверхностного интеграла по замкнутой поверхности перейдём к тройному интегралу, где W — область, ограниченная поверхностью σ . Так как P = xz , Q = 1 , R = 2y , то частные производные , , .

Получаем следующее решение данного поверхностного интеграла:

В последнем примере вернёмся к вычислению поверхностного интеграла первого рода.

Пример 7. Вычислить площадь поверхности параболоида во внутренней части сферы .

Решение. Определим, при каком значении z данные поверхности пересекаются:

Значение −3 не подходит, поэтому остаётся только z = 1 .

Обозначим через C часть поверхности данного параболоида во внутреней стороне сферы. Проекция поверхности C (обозначим её D ) на плоскость xOy является кругом с центром в начале координат и радиусом √2 , так как при z = 1 получаем уравнение окружности . Решаем поверхностный интеграл первого рода:

.

.

Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг, поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:

Получаем окончательное решение данного поверхностного интеграла:

Источник